Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai 
HS:Biết được các sai lầm cần tránh 
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m 
Giả sử a = 0 m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp
Trường hợp a0 
Lập biệt số = b2 –4ac hoặc ’ = b’2 –ac 
Biện luận théo từng trường hơp : > 0 ; = 0 ; < 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên
II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
Có hai khả năng xẩy ra :
a = 0, b 0
a 0 , 
III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:
 
IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:

V BÀI TOÁN 5:
Điều kiên hai nghiệm cùng dấu 

Điều kiện để hai nghiêm điều dương:

3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:

Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu
VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:
Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m
Hoặc dựa vào S ;P tìm m
VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Điều kiên chung :Theo Định lý Vi et ta có :
a)Trường hợp : Ta giải HPT => x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào 
x1x2 = giải tìm giá trị của tham số
b)Trường hợp :x12+x22 = k (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m
Trường hợp : x12+x22 h (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2 –4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính = b2 –4ac =..= 4-m 
Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép
Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm
Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m = 0 
Tìm m để PT có nghiệm
Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại
HD: = b2 –4ac = 9 +4m 
Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0
PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 Giải PTb tìm giá trị của m
Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn:
Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
2x1+ 3x2 = 13
HD:Tính = m2 +14m +1 
PT có hai nghiệm m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m 
Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;

Giải HPT tìm m
Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4: 
Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10
HD: = a2-4a –28 PT có hai nghiệm a2-4a –28 0 
Biến đổi x12+x22 = 10 (x1+x2)2 –2x1x2 = 10
Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m 
Ví dụ 5:
Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn 
Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP: 
Bài 1: (TN 1996)
Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai: .
Giải các phương trình:
a/ 
b/ 
Bài 2: (TN 2001)
Cho phương trình bậc hai: với m là tham số.
Giải phương trình với m = 8.
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.
Bài 3: (TS 10 - 1993)
Cho phương trình : (1) với m là tham số.
Giải phương trình (1) với m = 2.
Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 4: (TS 10 - 1996)
Cho phương trình : (1) với m là tham số.
Giải phương trình (1) khi m = 2.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2. Chứng minh rằng:.
Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)
Giải phương trình sau: .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: .
HD: 
1) Tập xác định 

Biến đổi phương trình: , từ đó có cách giải phương trình đưa đến 2 nghiệm .
2) Tập xác định .
Đặt , ta có , ta loại nghiệm . Với 
Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)
Cho phương trình: (1)
Giải phương trình (1) khi m = 1.
Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 và x2 là hai nghiệm của (1).
HD: Với 3) chú ý điều kiện ...
 Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Giải phương trình: 
HD: Phương trình: , ta đặt , đưa về dạng , biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ...
Một số phương trình tham khảo:
 
Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: ; c, d là hai nghiệm của phương trình: . Chứng minh hệ thức: .
HD: Aùp dụng định lý Víét ta có hệ , sử dụng để biến đổi VT bằng VP ...
Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)
Giải phương trình: .
HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích.
Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)
Cho phương trình: 
Giải phương trình trên khi k = -1.
Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)
Cho phương trình: (ẩn x). Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: và 
Đặt . Chứng minh rằng: với 
Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x1, x2 .
Bài giải: 
1. Vì là các nghiệm của phương trình nên ta có :

, với 
2. Theo định lý Víet ta có , kết hợp với giả thiết ta tìm được 
3. Ta có . Bài toán quy về việc tìm nghiệm nguyên của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:
 
Bài tập tương tự: Gọi là 2 nghiệm của phương trình 
Đặt , với 
Chứng minh rằng .
Aùp dụng tính 
HD: Đặt . Vậy là 2 nghiệm của phương trình 
Aùp dụng (*) cho (2) ta có 
Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)
Giải phương trình: 
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình. 
 . Từ (1), (2) và (3) ta có 
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 
.
HD: 
Từ , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.
Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)
Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình với một nghiệm nào đó của phương trình là nghiệm của phương trình .
Chứng minh rằng: .
Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình với a là tham số.
Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn lại.
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: .
Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999)
Cho phương trình ẩn x: 
Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
Giải phương trình (1) khi .
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b.
Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000)
Cho phương trình 
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
Gọi là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của:

Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình (a, b là tham số): 
Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: .
Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002)
Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình trái dấu?
Giải phương trình , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74.
Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: , m là tham số.
Xác định m sao cho .
Chứng minh rằng: .
Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và . Chứng minh rằng nếu phương trình và phương trình có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình .
HD: (Sử dụng định lý Viét).
Gọi là nghiệm chung của (1) và (2), ta có , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta được , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là . Gọi và lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có . Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là điều cần chứng minh. 
Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình và có nghiệm chung thì 
HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm có nghiệm.
Đặt , ta có hệ 
Nếu : Giải hệ phương trình này ta có nghiệm . Do 
Suy ra , khai triển và biến đổi ta có (*).
Nếu ta có hệ . Hệ này có nghiệm khi , khi đó rõ ràng (*) cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh. 
Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:
Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

HD:
Nếu là nghiệm chung thì , dễ thấy (từ (2)).
Nhân vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế , thay vào (1) và (2) rút ra .
Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)
Giải phương trình (HD: )
Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giải phương trình: . (Xem bài giải của bài 14 và 14’).
Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thõa mãn: .
Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm, thì phương trình: cũng có nghiệm. 
HD: Với (1) có nghiệm ta có .
Kết hợp với (3) khi đó (2) có . Vậy (2) có nghiệm.
Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: và có các hệ số thỏa mãn điều kiện thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm.
HD: 
Từ ,
 nên . Do đó 1 trong 2 số là không âm nên ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
 (HD: )
Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau đây có nghiệm: 
HD: Từ (1) suy ra:
. Do đó ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Bài 28*: Phương trình có đúng một nghiệm dương là chứng minh rằng phương trình cũng có đúng một nghiệm dương và .
HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).
Giả sử là nghiệm của (1), khi đó ta có , chia 2 vế của phương trình cho ta được , nghĩa là (2) nhận làm nghiệm. Khi đó 
Bài 29: Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương . Chứng minh rằng phương trình cũng có 2 nghiệm dương . Chứng minh 
HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho và , ta có:
 , nghĩa là (2) nhận và làm 2 nghiệm dương của nó.
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm ta có kết quả.
Bài 30: Cho phương trình bậc hai: 
Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng.
Đặt 
a/ Chứng minh .
b/ Tìm m sao cho .
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. 
Bài 31**: Giải các phương trình sau: 










 HD: 1) Rõ ràng không thỏa (1).
Nên . Đặt , ta có phương trình , ...
2) 
Với . Giải tiếp ....
3) 

(với ), ...
4) Đưa về phương trình tích 
5) Đặt ẩn phụ 
6) Khai triển rút gọn , chia 2 vế cho rồi đặt , ta đưa về phương trình .
7) Vì: 

Nên 
8) Điều kiện . Ta có 
Nên 
9) Tập xác định: 
Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 
, với , phương trình ,
, phương trình vô nghiệm.
10) Đặt , được .
Vậy nghiệm của phương trình (10) là 
Bài 32: Định m để phương trình: có nghiệm và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Bài 33: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thõa mãn hệ thức .
Tìm hệt thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 35: Cho phương trình có các nghiệm . Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức: . (ĐS ) 
Bài 36**: Cho tam thức bậc hai . Biết rằng vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.
HD: Vì (2) vô nghiệm nên hoặc 
* Nếu 
, hay (*) vô nghiệm.
* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm.
Vậy (*) vô nghiệm.
Bài 37*: 
Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì .
Chứng minh rằng nếu phương trình , có nghiệm dương là thì .
Chứng minh nếu phương trình có nghiệm . Chứng minh 
HD: 
Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (1).
Ta có (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì , không thỏa (2).
Ta có . Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
 
. Vậy 
-------š{›-------