Những bài toán sai – Giải sao cho đúng

 Nhöõng baøi toaùn sai – Giaûi sao cho ñuùng
Bµi 1: So s¸nh; vµ 
 Ta thÊy : = 8100 vµ = 9100
 Nªn < . B¹n thÊy ®· ®óng ch­a ?
Bµi 2: Chøng minh : f(x) = mx(x+3) + (x+2)(x-5) lu«n cã 2 nghiÖm
 XÐt f(0).f(-3) = -80 < 0 nªn f(x) = 0 lu«n cã 2 nghiÖm. Lêi gi¶i thËt ng¾n gän ph¶i kh«ng b¹n?, liÖu cã vÊn ®Ò g× kh«ng ? 
Bµi 3: Khi viÕt : A:B.C th× hiÓu lµ hay 
Bµi 4: Cho pt bËc hai : x2 - (2k +1)x + k2 + 2 = 0 (k lµ tham sè, kє R)
H·y x¸c ®inh k ®Ó x12 + x22 nhá nhÊt (x1 , x2 lµ 2 nghiÖm cña pt )
 Theo ®Þnh lý Viet ta cã: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
 = (2k + 1)2 - 2(k2 + 2)
	 = 2k2 + 4k - 3 =A
A = 2k2 + 4k - 3 = 2(k + 1)2 - 5 A nhá nhÊt lµ -5 khi k = -1. B¹n cã ý kiÕn g× kh«ng?
Bµi 5: Cho a, b , c lµ 3 sè tïy ý thuéc [1,3] tháa m·n a + b +c = 6 .CMR 
 a2 + b2 +c2 ≤ 14
 Ta cã : 1 ≤ a ≤ 3 ↔ a2 – 4a + 3 ≤ 0 t­¬ng tù b2 - 4b + 3 ≤ 0
	c2 - 4c + 3 ≤ 0
Céng 3 vÕ cña c¸c B§T trªn ta cã :
 a2 + b2 +c2 - 4(a + b + c) + 9 ≤ 0
 → a2 + b2 +c2 ≤ 4(a + b + c) - 9 = 15. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña 
 a2 + b2 +c2 lµ 15 . T¹i sao l¹i cã kÕt qu¶ kh¸c nh­ vËy?
Bµi 6: C¸ch ghi 00 = 0 hay 00 lµ kh«ng x¸c ®Þnh. H·y x¸c ®Þnh c¸ch ghi ®óng ?
Bµi 7: Cho x ,y lµ 2 sè d­¬ng tháa m·n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
Tõ x, y > 0 ta cã ; ; x, y vµ ta cã 
 Do vËy M = 
§¼ng thøc x¶y ra khi x = y .VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 7932. Nh­ng x = y 
th× M = 2031 . Sai lÇm cña lêi gi¶i ë ®©u 
Bµi 8: Cho c¸c sè kh«ng ©m x,y,z tháa m·n : x + y + z = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 
Ta cã: x2 ≥ x2 - (y-z)2 = (x - y +z)(x + y - z) = (1 - 2y)(1 - 2z)
 → x2 ≥ (1 - 2y)(1 - 2z)
 T­¬ng tù : y2 ≥ (1 - 2z)(1 - 2x) 
 z2 ≥ (1 - 2x)(1 -2y)
Tõ ®ã ta cã : (xyz)2 ≥ (1 - 2x)2(1 -2y)2 (1 - 2z)2
 xyz ≥ (1 - 2x)(1 -2y) (1 - 2z) = 1 - 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) - 8xyz -1
§¼ng thøc x¶y ra khi : x = y = z = , lóc ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc lµ 
Lêi gi¶i trªn cã s¬ hë g× kh«ng ?
Bµi 9: Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh :
§k: -1≤ x≤ 3, khi ®ã ta cã:
KÕt hîp vãi ®k ta ®­îc: lêi gi¶i trªn ®· ®óng ch­a?
Bµi 10:
 Gi¶i pt : 
 Gi¶i: (1)
 §Æt : 
Ta cã : (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : 
NÕu : a – b = 0 ta cã : 
NÕu : a + b – 1 = 0 ta cã : a + b = 1 (3)
Tõ (1) vµ (3) ta cã : 
 Thö l¹i : x = 0 kh«ng tho¶ m·n (4) ; x = 56/65 tho¶ m·n (4)
VËy pt cã nghiÖm lµ : 
Lêi gi¶i trªn ®· ®óng ch­a ? ph¶i söa l¹i nh­ thÕ nµo ?
Bµi 11: Gi¶ sö a , b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
Gi¶i: V× a , b , c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn 
Lêi gi¶i trªn ®· ®óng ch­a ? cÇn söa g× kh«ng?
Bµi 12: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
Gi¶i: A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 
 §Æt : t = ta cã : t(1-t) = -t2 + t = -(t2 -1) = 
 Víi 
 DÔ thÊy r»ng lín nhÊt khi nhá nhÊt, khi ®ã 
Hay : .VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 4
 Lêi gi¶i trªn ®óng hay sai ? nÕu sai th× söa nh­ thÕ nµo ?
Bµi 13: chøng tá r»ng nÕu ta cã 
Th× suy ra ®­îc : 
Gi¶i:
C¸ch 1:
®Æt 
Suy ra 
DÉn ®Õn: 
T­¬ng tù ta cã: 
Tõ ®ã dÉn ®Õn ®iÒu ph¶i chøng minh.
C¸ch 2:
Tõ gi¶ thiÕt ta cã : 
Suy ra: 
Nªn: 
Suy ra: 
Nh©n c¶ 3 vÕc¸c ®¼ng thøc trªn víi ta ®­îc ®iÒu cÇn chøng minh.
Nh­ng chØ cÇn cho x=y=x=3 vµ a=1 ,b=2, c=3 ch¼ng h¹n th× gi¶ thiÕt vÉn ®óng mµ ë kÕt luËn
 lµ nh÷ng ph©n sè kh¸c nhau.
 Nµo! c¸c b¹n cã ý kiÕn g× vÒ ®Ò bµi vµ c¸c lêi gi¶i trªn.
Bµi 14: Gi¶i pt : (1)
 Gi¶i: 
§Æt : (2) . Ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : t = -x , t = 2x
NÕu t =-x , tõ (1) ta cã (-x)2=x(x2-4x -9) suy ra x1 =0 ; 
NÕu t=2x tõ (1) cã 4x2 =x(x2-4x -9) 
Suy ra x1=0 ;x4=9 ;x5 =-1
T¹i sao ph­¬ng tr×nh bËc 4 cã 5 nghiÖm ? C¸c b¹n cã ý kiÕn g×?
Bµi 15: Cí sao M=?
Trong quyÓn s¸ch to¸n n©ng cao ®¹i sè 9 cña c¸c t¸c gi¶ VHB vµ TT cã bµi to¸n 
Cho 
tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt r»ng 
Gi¶i
V× vµ nªn M > 0 víi mäi x
Ta cã ; M + 2 = Û M 2 + 4M +4 = 4( x2 – 4x + 9) (1)
 M – 2 = Û M 2 – 4M + 4 = 4(x2 – 4x + 8) (2)
Trõ tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®­îc: 8M = 4 Û M = 
Nh­ng dÔ thÊy ®­îc: 
Cí sao M = 
Bµi 16:
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : 
Gi¶i:
 . DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi kh«ng tho¶ m·n
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña D kh«ng tån t¹i.Lêi gi¶i trªn ®· ®óng ch­a? nÕu sai h·y söa l¹i
Bµi 17:
Gi¶ sö a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c .CMR:
 (1)
Gi¶i:
BDT (1)Û 
Ta cã: 
T­¬ng tù ta cã : 
Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. B¹n thÊy lêi gi¶i trªn ®· chinh x¸c ch­a?
Bµi 18:
Cho vµ ab ≠ 0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 
Gi¶i:
Tõ gt ta cã : 
B¹n cã ý kiÕn g× kh«ng ?
Bµi 19: 
Gi¶i pt: (1)
Gi¶i:
§k: x ³ 1, ®Æt : vµ , tõ ®ã ta cã hÖ pt 
Tõ (2) rót U theo V råi thÕ vµo (3) ta ®­îc : hay 
Gi¶i pt nµy ta ®­îc 2 nghiÖm V1 = 17 vµ V2 = 3 ®Òu lµ sè d­¬ng .Tõ ®ã tÝnh ®­îc 
x1= 145 , x2 = 5. B¹n thÊy nh­ thÕ nµo ? lêi gi¶i trªn sai ë ®©u ?
Bµi 20:
T×m c¸c sè x,y tho¶ mÉn d·y tØ sè sau: 
Gi¶i:
B¹n A gi¶i: Sö dông t/c cña d·y tØ sè b»ng nhau xÐt ph©n sè bªn tr¸i vµ ph©n sè bªn ph¶i ta ®­îc : Tõ ®ã ta cã : 8x – 9 = 15 ® x = 3
Thay vµo ®¼ng thøc ë ®Ò bµi ta ®­îc : ® y = 6
B¹n B gi¶i : Sö dông t/c cña d¨y tØ sè b»ng nhau: Lêy tö trõ tö vµ mÉu trõ mÉu cña 2 ph©n sè ®Çu bªn ph¶i ®­îc d·y tØ sè suy ra: 
Hai b¹n ®Òu cho r¨ng m×nh lµm kh«ng sai , ý cña b¹n thÕ nµo?
Bµi 21:
T×m x ®Ó d¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Gi¶i:
§Î A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× (x – 1)2 – 4 d¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . HiÖu nµy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi (x – 1) = 0 hay x = 1 . Khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ -1/4 . Sai lÇm lêi gi¶ trªn ë ®©u?
Bµi 22:
Gi¶i pt: 
§k: -1 ≤ x ≤ 3,¸p dông BDT Bunhiac«pski cho 2 bé sè (x, 1) ; ta ®­îc
Tõ (1) vµ (2) suy ra viÖc gi¶i pt (1) ®­îc quy vÒ viÖc gi¶i pt (1) ®­îc quy vÒ viÖc gpt ( khi dÊu b»ng ë B§T trªn s¶y ra) 
Vëy pt cã 3 nghiiÖm lµ : . Theo b¹n lêi gi¶i trªn cã vÊn ®Ò g× kh«ng?
Bµi 23:
Cho a,b lµ 2 sè d­¬ng vµ x,y,z lµ c¸c sè d­¬ng tuú ý . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
Gi¶i:
DÔ dµng chøng minh ®­îc: (ay + bz)2 £ (a2 + b2)(y2 + z2)
 (az + by)2 £ (a2 + b2)(z2 + y2)
VËy 
Do ®ã .MÆt kh¸c ta c/m ®­îc:
MÆt kh¸c ta c/m ®­îc: ® M ³ 
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 
Lêi gi¶i trªn theo b¹n ®· ®óng ch­a?
Bµi 24:
Víi a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng , h·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
Gi¶i: ¸p dông B§T c«si ta cã : 
Suy ra: do ®ã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 
B¹n thÊy lêi gi¶i trªn nh­ thÕ nµo?
Bµi 25:
Gi¶i pt: 
Gi¶i:
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi: 
 « 
 « 
Cã thÓ thÊy r»ng x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña pt ®· cho, lêi gi¶i trªn cã vÊn ®Ò g× ?
Bµi 26: Cho 2 ®­êng trßn (O) , (O’) ngoµi nhau víi 
tiÕp tuyÕn chung ngoµi MM’ vµ tiÕp tuyÕn
chung trong NN’ ( M, N lµ tiÕp ®iÓm cña (O)
M’,N’ lµ tiÕp ®iÓm cña (O’)). Gäi giao ®iÓm
cña c¸c ®­êng th¼ng MM’ vµ NN’ lµ P, giao
®iÓm cña c¸c ®­êng th¼ng MN vµ M’N’ lµ Q
CMR: O , Q , O’ th¼ng hµng
Gi¶i: 
Nèi OQ, O’Q dÏ dµng c/m ®­îc , ta cã M’Q // OP (cïng vu«ng gãc víi O’P)
MÆt kh¸c MQ ^ OP nªn MQ ^ M’Q ® . Ta cã 
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 
 . Hay O , Q , O’ th¼ng hµng
Chøng minh trªn cã æn kh«ng ?
Bµi 27:
Cho ®­êng trßn(O,r) néi tiÕp trong DABC , ®­êng th¼ng kÎ qua O c¾t 2 c¹nh CA vµ CB t¹i M vµ N , ®­êng th¼ng MN ë vÞ trÝ nµo th× diÖn tÝch DCMN nhá nhÊt
Gi¶i: 
§Æt S CMN = S , ta cã : S = . Theo B§T C«si ta cã: do ®ã : 
§¼ng thøc x¶y ra khi CM = CN hay DCMN c©n t¹i C, mµ CO lµ ph©n gi¸c nªn CO^MN, nghÜa lµ ®­êng th¶ng MN vu«ng gãc víi CO t¹i O th× diÖn tÝch DCMN nhá nhÊt
Lêi gi¶i cã vÊn ®Ò g× kh«ng?
Bµi 28:
Cho ®­êng trßn t©m O cè ®Þnh b¸n kÝnh R 
kh«ng ®æi vµ 1 ®iÓm T cè ®Þnh ë bªn trong 
®­êng trßn ®ã , hai d©y cung AB vµ CD cña
®­êng trßn vu«ng gãc víi nhau t¹i T. T×m 
gi¸ trÞ lín nhÊt cña SDTAC khi c¸c d©y cung
 AB vµ CD quay quanh T
Gi¶i:
Gäi TH vµ TM lÇn l­ît lµ ®­êng cao vµ
 trung tuyÕn cña DATC , ta cã: TH ≤ TM
mµ nªn , do ®ã: SDTAC =
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña SDTAC lµ R2. B¹n thÊy lêi gi¶i trªn nh­ thÐ nµo?
Bµi 29:Cho DABC vu«ng t¹i A , AB = b, AC = c , M lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABM , vµ DACM. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tich DAEF nhá nhÊt. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã theo b, c
Gi¶i:
Dùng AH^BC (HÎBC) . Ta cã : 
 ® 
® 
® 
Do ®ã tø gi¸c AEMF néi tiÕp
trong ®­êng trßn ®­êng kÝnh EF
Ta thÊy: S DAEF =S AEMF
 = AM.EF. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi M º H. Do ®ã gi¸ tri nhá nhÊt cña S DAEF = , ®¹t ®­îc khi vµ chØ khi M º H . 
C¸ch gi¶i trªn theo b¹n ®· hîp lÝ ch­a?
 Bµi 30:
§Ó c/m 82 = 65 , b¹n Nam ®· dïng ph­¬ng ph¸p ghÐp h×mh nh­ sau :
	H×nh 1
C¾t h×nh vu«ng cã canh b»ng 8 thµnh 4 phÇn nh­ h×nh 1	H×nh 2
Råi ghÐp thµnh tam gi¸c nh­ h×nh 2. V×: 
S ABCD = S DMNP ® 8 2 = (5 + 5)(5 + 8) ® 8 2 = 65. B¹n nghÜ nh­ thÕ nµo ? 
Bµi 31:
 CMR: nÕu abc ¹ 0 vµ th× 
Gi¶i:
Ta cã: ( v× a + b + c ¹ 0 )
 (1)
Tõ ( v× a + c = - b )
 . T­¬ng tù : vµ 
MÆt kh¸c : 
 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : ( ®pcm)
Lêi gi¶i rÊt ®Ñp nh­ng cã g× ®ã kh«ng æn . Theo b¹n th× nh­ thÕ nµo?
Bµi 32:
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , ®iÓm M trªn c¹nh BC ( M ¹ B , M ¹ C ) . VÏ MD ^ AB, ME ^ AC
( DÎ AB , E ÎÎ AC ). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch DMDE lín nhÊt 
Gi¶i
S DABC = S DABM = S DACM 
® S DABC = 
 mµ AB = AC nªn S DABC = 
® 
( h lµ ®­êng cao cña DABC)
KÎ EH ^ DM , ta cã S DMDE = (kh«ng ®æi)
§¼ng thøc s¶y ra khi M º H ; ME = MD Û M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC . VËy khi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC th× S DMDE lín nhÊt. Bµi gi¶i trªn cã sai sãt g× kh«ng ?
Bµi 33:
Mét ®iÓm M di ®éng trªn (O; ) . TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓn C vµ D , gäi E lµ giao ®iÓm cña OC vµ AM , F lµ giao ®iÓm cña OD vµ BM. CMR CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp trong 1 d­êng trßn , h·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña b¸n kÝnh ®­êng trßn ®ã.
Gi¶i:
V× OMDB lµ tø gi¸c néi tiÕp 
() nªn 
L¹i cã : ( ®ång vÞ, so le
Trong ) nªn 
Tø gi¸c CEFD cã : 
 nªn nã lµ 
tø gi¸c néi tiÕp . Gäi K lµ t©m cña ®­êng trßn
ngo¹i tiÕp tø gÝac CEFD vµ xÐt b¸n kÝnh CK
Do CD lµ d©y cung cña ®­êng trßn (K;KC)
nªn 
® KC nhá nhÊt b»ng R Û CD = AB hay M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®­êng trßn ®· cho
B¹n cã nhËn xÐt g× vÒ lêi gi¶i ®Ñp nµy kh«ng ?
Bµi 34:
T«i dù kiÕn kÕ ho¹ch cña m×nh cho n¨m 2008 ( n¨m nhuËn ) nh­ sau :
Mçi ngµy dïng vµo viÖc ngñ, kÓ c¶ viÖc chuÈn bÞ ®i ngñ vµ thøc dËy hÕt 9,5 giê, b»ng kho¶ng 2/5 thêi gian cña 1 ngµy. Nh­ vËy 1 n¨m mÊt kh«ng Ýt h¬n 146 ngµy
Mçi ngµy dïng vµo viÖc ¨n s¸ng , ¨n tr­a , ¨n tèi hÕt chõng giê , b»ng thêi gian cña 1 ngµy. Nh­ vËy 1 n¨m hÕt kho¶ng 20 ngµy
Trung b×nh mçi ngµy mÊt Ýt h¬n 2 giê dµnh cho viÖc xem phim, ®äc s¸ch ,nghe nh¹c.Nh­ vËy 1 n¨m mÊt kh«ng Ýt h¬n 30 ngµy
Trªn ®­êng ®Õn tr­êng vµ nghØ ng¬i mÊt 90 phót , b»ng thêi gian cña 1 ngµy.Nh­ vËy 1 n¨m mÊt kh«ng Ýt h¬n 20 ngµy 
Trong 1 n¨m cã kh«ng Ýt h¬n 52 ngµy chñ nhËt , 10 ngµy nghØ lÏ vµ tÕt, 88 ngµy nghØ hÌ
Thêi gian cßn l¹i t«i dµnh cho häc tËp .T«i nhÈm tÝnh sè ngµy dµnh cho viÖc häc tËp cña t«i lµ : 366 – 146 – 20 -30 – 20 – 52 – 10 – 88 = 0 (ngµy)
T«i thÊy môc nµo còng rÊt cã lÝ , thÐ mµ kÕt qu¶ vÒ thêi gian häc tËp l¹i lµ sè 0 trßn trÜnh. B¹n cã thÓ gi¶i thÝch gióp t«i kh«ng?
Bµi 35:
T×m x, y biÕt : (1)
Gi¶i:
Tõ 2 tØ sè ®Çu ta cã : (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : 
Thay x = 2 vµo 2 tØ sè ®Çu ta cã : 
VËy x = 2 ; y = 3 . B¹n thÊy lêi gi¶i trªn cã tuyÖt vêi kh«ng...???!!!
Bµi 36:
Sau khi häc c¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña 2 tam gi¸c. T«i ®· ph¸t hiÖn ra t­êng hîp b»ng nhau thø t­ cña 2 tam gi¸c lµ: c¹nh – c¹nh – gãc. ta cã:
MÖnh ®Ò: nÕu DABC vµ DA’B’C’ cã , AB = A’B’ , BC = B’C’ th× DABC = DA’B’C’ 
Chøng minh:
Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC kh«ng chøa A
kÎ tia Bx sao cho :. Trªn 
tia Bx lÊy ®iÓm D sao cho BD = A’B’
Ta cã : DDBC = DA’B’C’ (c-g-c) (1)
Nèi AD , tõ c¸ch dùng ® BD = BA
® DABD c©n t¹i B 
MÆt kh¸c: 
® DACD c©n l¹i C ® CA = CD 
®DABC = DDBC (c-c-c) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : DABC = DA’B’C’. VËy mÖnh ®Ò ®· ®­îc chøng minh
ý kiÕn cña b¹n thÕ nµo ?
Bµi 37:
Cho a, b ¹ 0 . CMR: (1)
Gi¶i:
(1) « 
 « (2). 
V× ® (2) lu«n ®óng víi mäi a, b ¹ 0. VËy (1) lu«n ®óng víi mäi a ,b ¹ 0
B¹n cã ý kiÕn g× vÒ lêi gi¶i trªn kh«ng??
Bµi 38:
Cho ®iÓm M ®o¹n th¼ng AB , dùng vÒ cïng 1 phÝa cña AB hai h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF , gäi N lµ giao ®iÓm thø 2 cña c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 2 h×nh vu«ng nµy (N ¹ M) . CMR 3 ®iÓm A, E, N th¼ng hµng 
Gi¶i:
C¸ch 1:
DAME = DCMB (c.g.c) ® .MÆt kh¸c: 
(DCEN vu«ng t¹i N , DAME vu«ng t¹i M) ® , mµ C, E , M th¼ng hµng nªn suy ra A , E , N th¼ng hµng 
C¸ch 2:
DAME = DCMB (c.g.c)
MÆt kh¸c : ( DCMB 
vu«ng t¹i M ) ® 
®DABN vu«ng t¹i N ®AN^NB (1)
L¹i cã : (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ANºEN
Hay A, E , N th¼ng hµng 
C¸ch 3:
Theo t/c cña ®­êng chÐo trong h×nh vu«ng
dÔ dµng c/m ®­îc BE^AC . MÆt kh¸c tõ
gt ta ®­îc CM^AB ® E lµ trùc t©m cña
DABC , suy ra AE^BC (1)
L¹i cã (2)
Tõ (1) vµ (2) ® ANºEN hay A , E , N th¼ng hµng
B¹n h·y t×m sai lÇm cña 3 c¸ch gi¶i trªn 
Bµi 39:
CMR nÕu 3 ®iÓm A,B,C kh«ng th¼ng hµng th× c¸c ®iÓm A’,B’,C’ lÇn j­ît ®èi xøng víi A,B,C qua 1 ®iÓm O bÊt k× còng kh«ng th¼ng hµng
Gi¶i:
A,B,C kh«ng th¼ng hµng nªn AC + AB > BC ( B§T tam gi¸c)
MÆt kh¸c v× A’,B’,C’, lÇn l­ît ®èi xøng víi A,B,C qua ®iÓm O nªn AC = A’C’, AB = A’B’ , BC = B’C’ . Do ®ã A’C’ + A’B’ > B’C’ . VËy A’, B’, C’, kh«ng th¼ng hµng
T«i thÊy c¸ch gi¶i nµy cã vÊn ®Ò , b¹n nghÜ nh­ thÕ nµo??
Bµi 40:
Gpt 
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: 
Râ rµng x = 0 lµ nghiÖm cña pt ®· cho
Víi x ¹ 0 ta cã :
VËy tËp nghiÖm cña pt lµ : {0 ; 6 ; }
KiÓm tra trùc tiÕp ta thÊy trong tËp nghiÖm trªn cã 1 gi¸ trÞ kh«ng h¶i lµ nghiÖm cña pt ®· cho.B¹n h·y cho biÕt gi¸ trÞ ®ã vµ nguyªn nh©n dÉn ®Õn thõa nghiÖm trong lêi gi¶i trªn ?
Bµi 41:
Cho DABC cã 2 ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. BiÕt r»ng ID = IE , t×m mèi liªn hÖ gi÷a sè ®o vµ 
Gi¶i:
VÏ IH ^AB, IK^AC . V× I lµ giao ®iÓm cña 2
®­êng ph©n gi¸c BD, CE cña DABC nªn AI lµ
ph©n gi¸c cña ® IH = IK
MÆt kh¸c ID = IE nªn 2 tam gi¸c vu«ng IHE
vµ IDK b»ng nhau ®
l¹i cã: 
(tÝnh chÊt gãc ngoµi cña 1 tam gi¸c). Nªn 
B¹n cã nhËn xÐt g× vÒ lêi gi¶i trªn ???
Bµi 42:
Chøng minh dÞnh lÝ : Trong 1 tam gi¸c gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n
Gi¶i:
VÏ DABC cã AB > AC , ta sÏ c/m >
ThËt vËy: dùng AH^BC t¹i H ,trªn tia HC lÊy
®iÓm M sao cho HM = HB 
Ta cã : DAHB = DAHM (c.g.c) 
MÆt kh¸c: lµ gãc ngoµi cña DAMC nªn
 hay >
B¹n thÊy c¸ch c/m trªn nh­ thÕ nµo ???
Bµi 43:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cua biÓu thøc 
Gi¶i:
§¼ng thøc x¶y ra khi 
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 5 khi x = 1/2
Lêi gi¶i trªn theo b¹n cã vÊn ®Ò g× kh«ng??..??
Bµi 44:
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 
Gi¶i:
 Ta cã : . VËy A = 
Lêi gi¶i thËt ®¬n gi¶n. B¹n cã ý kiÕn g× kh«ng ???
Bµi 45:
Cho DABC nhän , ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh BC , gäi R1 vµ R2 lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABM vµ DACM . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tæng R1 + R2 nhá nhÊt
Gi¶i:
 VÏ ®­êng cao AH cña DABC (H Î BC ) . 
Ta cã H lµ ®iÓm cè ®Þnh , ®é dµi AH kh«ng ®æi
vµ AM ³ AH
V× 2R1 lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp
DABM nªn : 
T­¬ng tù ta cã : 
Suy ra : R1 + R2 AM AH, ®é dµi AH kh«ng 
®æi , d¼ng thøc s¶y ra khi MºH. VËy khi M lµ ch©n ®­êng cao vÏ tõ A cña DABC th× tæng 
R1 + R2 nhá nhÊt 
Lêi gi¶i trªn cã sai kh«ng? theo b¹n th× thÕ nµo?
Bµi 46:
Cho T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó cho P còng lµ sè nguyªn
Gi¶i:
Ta cã thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc ta ®­îc 
®Ó P nguyªn th× ph¶i chia hÕt cho hay ®a thøc d­ trong phÐp chia nµy ph¶i b»ng 0 : 2x = 0 « x = 0 
Víi x = 0 th× P = -1. VËy x = 0 lµ gi¸ trÞ nguyªn duy nhÊt ®Ó P lµ sè nguyªn
NX: Ta thÊy r»ng víi x = -1 th× P = 2 còng tho¶ m·n diÒu kiÖn cña bµi to¸n .B¹n cã thÎ gi¶i thÝch v× sao l¹i nh­ thÕ kh«ng ??
Bµi 47: 
Mét nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xuÊt lo¹i bÓ n­íc b»ng t«n cã d¹ng h×nh hép ®øng , ®¸y kh«ng cã n¾p cã thÓ tÝch 4m3 .Ng­êi ta ®· tÝnh to¸n ®Ó x¸ch ®Þnh kÝch th­íc cña bÓ sao cho l­îng t«n ph¶i sö dông lµ Ýt nhÊt , cô thÓ nh­ sau
 Gäi c¹nh ®¸y cña bÓ lµ a vµ chiÒu cao cña bÓ lµ b ( a,b d­¬ng, ®¬n vÞ tÝnh lµ mÐt)
Nh­ vËy thÓ tÝch cña bÓ lµ V = a2b = 4 vµ diÖn tÝch t«n ph¶i sö dông lµ S = a2 + 4ab
 ¸p dông B§T c«si cho 2 sè d­¬ng ta cã S = a2 + 4ab ³
§¼ng thøc s¶y ra « a2 = 4ab « a = 4b. Khi ®ã th× S nhá nhÊt b»ng 
Ph¶i ch¨ng víi kÝch th­íc trªn th× l­îng t«n ®· sö dông lµ Ýt nhÊt ???...
Bµi 48: 
Cho DABC víi H lµ trùc t©m vµ 3 ®­êng cao lµ AA1, BB1, CC1. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c tØ sè : 
Gi¶i:
Ta cã : S DHBC + S DHCA + S DHAB = S DABC ®
 ® . Theo b¹n th× lêi gi¶i trªn cã cho ®iÓm tèi ®a ®­îc hay kh«ng ??
Bµi 49:
Cho DABC cã AB < AC , ®­êng cao AH vµ ®­êng 
ph©n gi¸c AD . H·y tÝnh theo vµ 
Gi¶i :
Ta cã : 
® (1)
L¹i cã : 
® (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : . Theo lêi gi¶i trªn th× râ rµng lêi gi¶i ®· thõa d÷ kiÖn , b¹n nghÜ nh­ thÕ nµo ??
Bµi 50: 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 
Gi¶i:
Ta cã : vµ 
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi : 
VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 khi x=0. B¹n nghÜ g× vÒ lêi gi¶i trªn ???
Bµi 51:
Cho ph­¬ng tr×nh : , h·y t×m a ®Ó pt v« nghiÖm 
Gi¶i:
Víi mäi x ta cã . Nªn pt : v« nghiÖm khi vµ chØ khi a – 3 < 0 a < 3 .Theo t«i lêi gi¶i trªn kh«ng æn , c¸c b¹n nghÜ sao?
Bµi 52: 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F(x,y) = 
Gi¶i:
Ta thÊy : kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn F(x,y) > 0 
 F(x,y) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi a = (x + 1)2 vµ b = (x + y)2 + (y – x)2 ®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 
a = (x + 1)2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0 khi x = -1. khi ®ã b = (x + y)2 + (y – x)2 = 2y2 + 2 , nªn b ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi y = 0 
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña F(x,y) lµ 2 khi . Bb¹n nghÜ sao ? , ph¶i ch¨ng lêi gi¶i trªn ®· ®óng ???
Bµi 53:
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm nhá nhÊt : x2 +(m +1)x + 1 = 0 
Gi¶i:
§iÒu kiÖn ®Ó pt cã nghiÖm lµ (*)
Khi ®ã tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm lµ :
Ta cã : (m +1)2 – 2 -2 nªn tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -2 khi vµ chØ khi m + 1 = 0 m = -1
Gi¸ trÞ m = -1 kh«ng tho¶ m·n (*) nªn kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®Ò bµi. Theo t«i kÕt qu¶ trªn ch­a tho¶ ®¸ng , cßn b¹n th× sao???
Bµi 54:
Cho DABC cã AB = 3cm ; AC = 4cm
BC = 5cm , vÒ bªn ngoµi tam gi¸c vÏ 2 nöa 
®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, AC , mét ®­êng
th¼ng d di ®éng qua A c¾t 2 nöa ®­êng trßn
®­êng kÝnh AB, AC lÇn l­ît t¹i M vµ N ( 
kh¸c A ) . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña chu vi tø
gi¸c BCNM 
Gi¶i:
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , DABC vu«ng 
t¹i A ( v× ) ® BC = 2.AI
VÏ BE^CN (E Î CN ) , dÔ thÊy BMNE lµ
h×nh ch÷ nhËt nªn 
Gäi D lµ trunng ®iÓm cña MN ,ta cã DI lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCNM suy ra
MB + NC = 2.DI £ 2.AI = BC
Do ®ã chu vi cña tø gi¸c BCNM kh«ng v­ît qu¸ BC + BC + BC = 15 (cm)
§¼ng thøc x¶y ra khi EºC , DºA. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña chu vi tø gi¸c BCNM lµ 15 cm 
B¹n h·y cho biÕt ý kiÕn cña m×nh vÒ lêi gi¶i trªn ???
Bµi 55:
Gäi O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB . KÎ 
tia Ax , By cïng vu«ng gãc víi AB vµ n»m vÒ 2
 phÝa cña ®­êng th¼ng AB . Trªn tia Ax , By lÇn
l­ît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho AM = BN 
CMR : O lµ trung ®iÓm cña MN
Gi¶i: 
Theo gt ta cã : AO = BO , AM = BN 
®DMAO = DNBO (c.g.c) ®
MO = NO , hay O lµ trung ®iÓm cña MN
Lêi gi¶i trªn cã vÊn ®Ò g× kh«ng???
Bµi 56:
T×m m ®Ó pt : (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
Gi¶i:
Ta cã (1) 
Ta nhËn thÊy pt (2) cã 2 nghiÖm lµ 1 vµ -2 v× vËy ®Ó pt (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× pt (3) còng ph¶i cã 2 nghiÖm ph©n biÖt , nghÜa lµ D’ > 0 víi mäi x 
Ta cã: D’ = 
VËy tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi . B¹n cã cho r»ng lêi gi¶i trªn lµ sai kh«ng ???
Bµi 57:
Gi¶i pt : (1)
Gi¶i:
Pt (1) Û 
VËy pt cã 2 nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1. C¸c b¹n nghÜ nh­ thÕ nµo vÒ lêi gi¶i trªn ???
Bµi 58:
Cho DABC nhän néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O . Tõ 1 ®iÓm M ch¶y trªn cung nhá BC dùng c¸c ®­êng th¼ng MH , MK lÇn l­ît vu«ng gãc víi AB, AC ( K, H lÇn l­ît thuéc c¸c ®­êng th¼ng AB, AC ). T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó do¹n th¼ng HK cã ®é dµi lín nhÊt 
Gi¶i:
Ta cã : nªn tø gi¸c AHKM néi 
tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AM suy ra HK £ AM
MÆt kh¸c , gäi R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn t©m O 
ngo¹i tiÕp DABC th× d©y cung AM £ 2R ®HK £ 2R
§¼ng thøc x¶y ra Û AM lµ ®­êng kÝnh cña (O;R) 
hay M ®èi xøng víi A qua O 
VËy khi M ®èi xøng víi A qua O th× ®é dµi AM lín
 nhÊt ( b»ng 2R )
B¹n h·y cho ý kiÕn cña m×nh vÒ lêi gi¶i trªn nhÐ !!
Bµi 59:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
Gi¶i:
§iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa lµ 
Víi -1 £ x £ 5 ta cã : 
Do ®ã víi -1 £ x £ 5 th× > 0 nªn P kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Theo b¹n bµi gi¶i trªn cã ®­îc ch­a???
Bµi 60:
T×m 1 sè cã 2 ch÷ sè cã c¸c tÝnh chÊt sau: Ch÷ sè hµng chôc nhá h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 4 vµ nÕu ®¶o ng­îc thø tù c¸c ch÷ sè cña sè ®ã th× sè míi t¹o thµnh lín h¬n sè ban ®Çu lµ 27
Gi¶i:
Gäi x lµ ch÷ sè hµng chôc, y lµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ. Ta lËp ®­îc hÖ pt: Tõ (1) vµ (2) ta cã : 10y + (y- 4) - [ 10(y – 4) +y ] = 27
Sau khi rót gän ta ®­îc 4 = 3 (!). V× sao l¹i thÕ
Bµi 61:
Cho x,y,z tho¶ m·n: . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 
Gi¶i:
Víi mäi x,y,z ta cã : 
Suy ra; 
VËy P ≥ 17 +15 = 42
B¹n nghÜ sao vÒ lêi gi¶i trªn???
Bµi 62: