Những sai lầm khi giải toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

 NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM 
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

A-Mục Tiêu:
-Cung Cấp cho HS tránh những sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức.
-Nắm vững các phương pháp và linh hoạt từng dạng toán .
-Vận dụng các phương pháp vào giải toán cực trị.
B-Nội dung:
I-Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D .ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) M với M là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = M
-Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D .ta nói N là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) với N là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
a2 0 Tổng quát a2k 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
a2 0 Tổng quát a2k 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
{a{ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
–{a{ a {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
{a+b{ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab 0
a2+b2 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
.Với a,b 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
a b , ab > 0 => Đẳng thức xẩy ra khi a= b
 Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
 Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
(am+bn)2 (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy ra khi (BĐT Bu nhi a côp xki)
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trị:
1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
VD1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất 
Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8
Min(x2- 6x +17) = 8 x = 3. Vậy MaxP = x = 3
Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trị dương.
Ta đưa ra một phản ví dụ:
Xét biểu thức A = Với lập luận như trên: A = “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất”Nghĩa là A có giá trị lớn nhất x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất .Mà x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất là -4 x = 0 .Nên A có giá trị lớn nhất là x =0 .Điều này không đúng .Vì Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A = 
Lời giải đúng: Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trị dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trị lớn nhất Có gia 1trị nhỏ nhất x2- 6x +17 có giá trị nhỏ nhất.
VD2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x-1)2 + (x-3)2
Lời giải sai:ta có (x-1)2 0(1) ; (x-3)2 0(2) .Nên A có giá trị nhỏ nhất là 0.ta không thể kết luận như vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= .Với x,y,z > 0 
Lời giải sai:
Giả sử :xy z > 0 .=> x-z 0 => y(x-z) z (x-z) => xy-yz+z2 xz
Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :1(1) .Mặt khác ,ta có (2).Cộng (1) với (2): 3.Vậy Min A = 3 x = y = z
Phân tích sai lầm :Khi hoán vị vòng quanh thì A trở thành .Tức là biểu thức không đổi .Điều đó cho phép tađược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x yz.Thật vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x y,xz) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta được ,không bằng biểu thức A.
(Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x yz.Chẳng hạn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta được : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vẫn bằng B)
Cách giải đúng :
Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
A= .
Do đó min() = 3Khi và chỉ khi:,tức là x = y = z
Cách 2:Ta có = .Ta đã có :(Do x,y>0)Nên để chứng minh Chỉ cần chứng minh :(1)
 xy+z2-yzxz(Nhân hai vế với số dương xz)
xy+z2-yz-xz0
y(x-z)-z(x-z) 0
(x-z)(y-z) 0(2)
(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng .
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của 
VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2 biết x+y =4
Lời giải sai:Ta có x2+y22xy
Do đó A có giá trị nhỏ nhất x2+y2=2xy x=y=2 Khi đó MinA = 22+22= 8
Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm .Ta mới chứng minh f(x,y) g(x,y) Chứ chưa C/m được f(x,y) M Với M là hằng số .
	Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x2 4x-4 sẽ suy ra :x2 nhỏ nhất x2 = 4x-4 (x-2)2 = 0 x=2 đi đến Min x2 = 4 x=2
Dễ thấy kết quả đúng phải là minx2 = 0 Khi và chỉ khi x = 0
Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1)
Ta lại có (x-y)2 0 => x2-2xy +y2 0(2)
Từ (1) và (2) : 2(x2+y2) 16 => x2+y28
Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2
2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: 
VD1:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x+
Lời giải sai:
A= x+= 
Vậy MinA = 
Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) ,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = .Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi ,vô lý .
Lời giải đúng :Để tôn tại phải có x 0
Do đó A= x+0
MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0
VD2:Tìm giá trị lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z 0 và x+y+z = 1
Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab :
4(x+y).z
4(x+z).y
4(z+y).x
Nhân từng vế (do không âm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x) 1
Max A = 
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện để A =là 
Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :
1= x+y+z (1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x) (2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
2
Max A = 
VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:Ta có x+a(1)
	 x+b(2)
Do đó : 	.MinA = 4
Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A = Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như vậy đòi hỏi a= b .Nếu a b thì không có được A = 
Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :
A=
Ta lại có :(bất đẳng thức côsi)
Nên A 
Min A =
VD4:Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x2+3y2 5
Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B5
Xét A+B = 2x+3y +2x2+3y2
	= 2(x2+x)+3(y2+y)
	=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4(1)
Ta lại có B5 nên -B -5
Cộng (1)với (2):A minA =
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= -,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2) không xảy ra . Thật vậy với x = y = -thì :
B= 2.Do đó –B 
Cách giải đúng:
Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Ta có : A2 = (2x+3y)2 =
=(2+3)(2x2+3y2)
A2 = 25 .Do A2 nên -5 
Min A = -5 
Max A = 5




 GV:Nguyễn Hồng Ân

*******************************************