Ôn luyện toán THCS và thi vào lớp 10 THPT

Ôn luyện toán THCS và thi vào lớp 10 thpt

Phần thứ nhất: Đại số

I. Biến đổi đồng nhất
 
I.1 Dùng hằng đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
	(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
	(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
	A2 - B2 = (A - B) (A + B)
	(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
	(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
	A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2)
	A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2)
	(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
	A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A+ B)
	A3 - B3 = (A - B)3 - 3AB(A - B)
2. Những điểm cần lưu ý
- Khi giải các bài toán vận dụng các hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.
- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng tương ứng bằng nhau. Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của chúng đều bằng 0.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức sau:
	P = (2x - 3)2 + (6 - 4x) (2x + 5) + (2x + 1)2 + 8 (2x + 1) + 16
	P = (2x - 3)2 - 2(2x - 3) (2x + 5) + [(2x + 1)2 + 8 (2x + 1) + 16]
	P = (2x - 3)2 - 2(2x - 3) (2x + 5) + (2x + 5)2 
 P = (2x + 5 - 2x + 3)2 = 64
Ví dụ 2: Cho a + b + c = 0 và abc = . Tính giá trị biểu thức M = a3 + b3 + c3
Giải:

Ta có: M = a3 + b3 + c3 = (a + b)3 - 3ab (a + b) + c3
	 = (a + b + c) [ (a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab (a + b)
	 = - 3ab (a + b) = 3abc = 


Từ đây ta có: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Điều ngược lại thì sao?


Ví dụ 3: 
 Cho x + . Tính x5 + 
Giải:
(x + )2 = x2 + + 2 = 16 , nên x2 + = 14
x3 + = 
x5 + 

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Điền các biểu thức thích hợp vào ô trống :

	a. (2x + 3y) ( + + ) = 8x3 - 27 
	b. (4x + 3y) ( - + ) = 64 - 27 y3
	c. (2x -1)2 ( + + (1 + )2 = 4
	d. (3x - 2)2 ( . + ( - 2)2 = 16
*Bài 2: Cho a là nghiệm của phương trình: x2 - + 1 = 0
Tính giá trị biểu thức:
	A= a4 + 

*Bài 3: Cho các số a, b ẻ R thoả mãn

	 (a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0

 Tính giá trị biểu thức: 
*Bài 4: Cho x2 + y2 = 1 và . Tính : 
*Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1 .
 Tính giá trị biểu thức : A= 
*Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c ẻ Q. 
 Chứng minh rằng: M= là bình phương của một số hữu tỷ 

Ta có: =
	
Vậy M là bình phương của một số hữu tỷ 


I.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có nhiều phương pháp như: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm nhiều hạng tử, tách các hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ, dùng phương pháp hệ số bất định, phương pháp xét giá trị riêng.v.v. Sau đây ta nêu chủ yếu một số phương pháp thường dùng. 
1. Phương pháp đặt nhân tử chung: 
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x2(y-2z) - 15x(y- 2z)2 
 Giải : 
Ta có 3x2(y-2z) - 15x(y- 2z)2 = 3x(y-2z)[x-5(y-2z)] =3x(y-2z)(x-5y+10z)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) thành nhân tử
 Giải: 
	A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) = 2x(y-z) - (y-z)(x+y) 
 = (y-z)[2x-(x+y)] = (y-z)(2x-x-y) =(y-z)(x-y)
	Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức -x4y2 + 8x2y - 16 thành nhân tử 
 Giải : Ta có
-x4y2 + 8x2y - 16 =- (x4y2 - 8x2y -16 ) = -(x2y - 4)2 
Chú ý: Có những trường hợp phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử .

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4b2c2 - (b2+c2-a2)2 
 Giải: Ta có
4b2c2 - (b2+c2-a2)2 = (2bc)2 - (b2+c2-a2)2 =(2bc+b2+c2-a2) (2bc-b2-c2+a2)
 = [(b+c)2 - a2] [a2 -(b-c)2] = (b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
 Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, ta kết hợp nhiều hạng tử của đa thức thành các nhóm thích hợp, rồi áp dụng các phương pháp khác để phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x3z + x2yz - x2z2 - xyz2
 
Giải P = x3z + x2yz - x2z2 - xyz2 = (x3z-x2z2) + (x2yz-xyz2)
 = x2z(x-z) + xyz(x-z) = xz(x-z)(x+y) .

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của x,y sao cho: xy+1 = x+y
 Giải: Ta có
	 xy+1=x+y Û xy-x-y+1 = 0 
 Û (xy-x ) - (y-1) =0 
	Û x(y-1) - (y-1) = 0
	Û (y-1)(x-1) = 0
	+ Hoặc x-1 = 0 ị x=1
 	+ Hoặc y-1= 0 ị y= 1
Vậy các giá trị cần tìm của x và y là:
	 + x= 1 , y tuỳ ý 
 	 + y= 1 , x tuỳ ý
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 
 Bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử nhiều lúc ta phải vận dụng linh hoạt các phương pháp trên đồng thời sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng và phép nhân , tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức.
 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử 
 M = ab(a+b) - bc(b+c) -ac ( c-a) 
 Giải 
M= ab(a+b) -bc(b+c ) -ac (c-a)
= a2b + ab2 -b2c -bc2 -ac(c-a)
=(a2b -bc2) + (ab2-b2c) + ac(a-c)
=b(a2-c2) + b2(a-c) + ac(a-c)
=(a-c)[b(a+c) + b2 + ac] 
=(a-c)[ba+cb+b2+ac]
=(a-c)[(ba+b2)+(ac+cb)]
=(a-c)[b(a+b)+c(a+b)
=(a-c)(a+b)(b+c)
 Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng một số phương pháp khác nữa, chẳng hạn:
1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử rồi nhóm các hạng tử thích hợp
 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+x3+x2-x-2
 Giải:
	A= x4+x3+x2-x-2
 = (x4-x2) + (x3-x) +(2x2-2)
 = x2(x2-1)+x(x2-1)+2(x2-1)
 = (x2-1)(x2+x+2)
 = (x-1)(x+1)(x2+x+2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: B = 2x3 + x2 +x -1
 Giải: 
B = 2x3 + x2 +x -1 
 = 2x3- x2 +2x2-x +2x-1
 = x2 (2x-1)+x(2x-1)+(2x-1)
 = (2x-1)(x2+x+1)
	2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
 Ta có thể thêm bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử…
Ví dụ 1: Phân tích đa thức C = x5 + x + 1 thành nhân tử 
 Giải: Ta có
	 C = x5 + x + 1 
=x5 -x2 +x2 +x+1
=x2 (x3-1) + (x2+x+1)
=x2(x-1)(x2+x+1)+ (x2+x+1)
=(x2+x+1) [x2(x-1)+1]
=(x2+x+1)(x3-x2+1)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức D = 4x4 +1 thành nhân tử
 Giải: Ta có
	 D = 4x4 +1 = 4x4 + 4x2+1 -4x2 = (2x2+1)2 -(2x)2 = (2x2+1-2x)( 2x2+1+2x) 
	3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ
 Trong một số trường hợp việc đặt biến phụ thích hợp giúp cho phân tích đa thúc thành nhân tử được thuận lợi.
Ví dụ: Phân tích da thức thành nhân tử : A= (x2+x)2 +4x2 +4x -12
 Giải : 
	 A= (x2+x)2 +4x2 +4x -12
 = (x2+x)2 + 4(x2+x) -12
 Đặt y= x2+x. 
 Ta có A= y2 + 4 y -12 = y2 + 4 y + 4 -16 = (y+2)2 - 42
 = (y+2-4)(y+2+4) = (y-2)(y+6) = (x2+x -2)( x2+x +6 )
5. Bài tập áp dụng 
3.Bài tập áp dụng :
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
 Bài 1: a) (x2+y2-2)2 -(2xy-2)2
 b) (a-b)(a2-c2) - (a-c)(a2-b2)
 c) 2x2 -5xy +2y2
 Bài 2: 
 a) x4 + 4x2 -5 d) 3x3 +2x2 +2x -1
 b) x3 + 2x +3 e) x3 + x2 -2x -8
 c) x3 + x2 + 4 f ) x4 +x3 -x-1
 Bài 3 : 
 a) x4 + 3x2 +4	 e) x8 +x +1 
 b) x4 +x2y2 +y4	 f) x8 + x7 +1
 c) 64x4 + 81 	 g) x10 +x5 + 1
 d) x5 + x4 +1 h ) x4+4y2

 Bài 4 : a) x2 + 2xy +y2 +2x+2y-3	c) (x2 + x + 7)(x2 +8x + 15) +15
 b) (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) -72	d) (4x+1)(12x-1)(x+2)(x+1) - 4

Hướng dẫn giải :
Bài 1 :
a, (x+y+z)(x+y-z)(x-y)2
b, (a-b)(a-c)(c-b)
c) (x-2y)(2x-y)
Bài 2 : Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm . 
Đáp số
b, (x +1 )(x2 -x -3 )
c, (x + 2 )(x2 - x + 2)
d, (3x-1)(x2 -x +1 )
e) (x-2)(x2 +3x +4)
f) (x+1)(x-1)(x2 +x +1)

Bài 3 :
a, (x2 - x + 2 )(x2 + x + 2)
b, (8x2 -12x +9 )( 8x2 +12x +9)
c, (x2 + xy +y2)( x2 - xy +y2)
d, (x2 + x + 1)(x3 +x +2)
e, (x2 + x + 1)( x6 -x5 +x3 -x2 +1)
f, (x2 + x + 1)(x8 -x7 +x5 -x4 +x3 -x +1)
g, (x2 + x + 1)(x6 -x4 +x3 -x +1)
h ) (x2-2xy+2y2)( x2+2xy+2y2)
Bài4: 
a, Đặt : x+ y = a 
đ (a-1)(a+3) = (x+y+1)(x+y+3)
b, Đặt : x2 -7x +9 = y
đ (y-3)(y+3) - 72 = (y2 -92) = x(x-7)(x2 - 7x + 18)
c, Đặt : x2 + 8x +7 = y 
đ y(y+8) + 15 = (y+3)(y+5)= (x+2)(x+6)(x2 +8x +10)
d, Đặt : 12x2 +11x -1 = y
đ y(y+3) - 4 = (y-1)(y+4) = (12x2 +11x -2)( 12x2 +11x +3)

I.4 Phân thức đại số 
1. Kiến thức cần nhớ 
- Hai phân thức bằng nhau : ÛAD = BC
- Nếu M khác đa thức 0 thì : ; 
- Các phép tính :
+Phép cộng : ( Nếu hai phân thức khác mẫu thì phải quy đồng mẫu thức )
+Phép trừ : với là phân thức đối của phân thức .
+Phép nhân : 
+Phép chia : 
2. Một số điẻm cần lưu ý
- Trước khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trước. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỉ cũng cần được rút gọn.
- Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các phép tính với các số thực.
- Khi giải các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức. Ta phải tìm điều kiện xác định của phân thức.
3.Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
	M = 
 Giải:
	M = 
	 = 
	 = 

	 = 
Để M xác định thì Û (*)
Khi đó M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên. Mà =1+ Z 
Û xƯ(1)=
Với x=-1 thoả mãn (*) và M = 0 Z
Với x = 1 thoả mãn (*) và M = 1Z
Vậy x=1; x=-1 thoả mãn điều kiện bài ra .

*Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau được xác định. 
 Tính giá trị của biểu thức: P = 
Giải: 
	P = 
 = 
 	 = .
4. Bài tâp tự luyện 
Bài 1 : Cho x,y,z đôi một khác nhau . Tính giá trị của biểu thức :
M = 
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :
A = 1 : 
Bài 3 : Rút gọn biểu thức : 
 
và tìm giá trị của x để M < 1	 
Bài 4 : Rút gọn biểu thức 
	B = 
Tìm các giá trị của x để B = 
 Bài 5: Tính giá trị biểu thức 
	 P = 
 với x = 
Hướng dẫn giải và đáp số
Bài 1 : Đặt : a =; b = ; c = 
Ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 
Bài 2 : A = 4x +8
Bài 3 : M = 
Bài 4: B = 
Bài 5: P = 1 không phụ thuộc vào x