Ôn tập Chương IV giới hạn - Đại số 11

CHÖÔNG IV
GIÔÙI HAÏN 
I. Giôùi haïn cuûa daõy soá
Giôùi haïn höõu haïn
Giôùi haïn voâ cöïc
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
	;	
	;	 
2. Ñònh lí :
	a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì
	· lim (un + vn) = a + b
	· lim (un – vn) = a – b
	· lim (un.vn) = a.b
	· (neáu b ¹ 0)
	b) Neáu un ³ 0, "n vaø lim un= a
	 thì	a ³ 0 vaø lim 
	c) Neáu ,"n vaø lim vn = 0 
	thì 	lim un = 0
	d) Neáu lim un = a thì 
3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn
	S = u1 + u1q + u1q2 +  = 
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
2. Ñònh lí:
	a) Neáu thì 
	b) Neáu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
	c) Neáu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 
	thì	lim = 
	d) Neáu lim un = +¥, lim vn = a
	thì	lim(un.vn) = 
* Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh.
Moät soá phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa daõy soá:
	· Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n.
	VD: 	a) 	b) 
	c) 
	· Nhaân löôïng lieân hôïp: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc
	VD:	 ===
	· Duøng ñònh lí keïp: Neáu ,"n vaø lim vn = 0 	thì 	lim un = 0
	VD:	a) Tính .	Vì 0 £ vaø neân 
	b) Tính .	Vì 
	neân 0 £ . 
	Maø neân 
Khi tính caùc giôùi haïn daïng phaân thöùc, ta chuù yù moät soá tröôøng hôïp sau ñaây:
	· Neáu baäc cuûa töû nhoû hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng 0.
	· Neáu baäc cuûa töø baèng baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng tæ soá caùc heä soá cuûa luyõ thöøa cao nhaát cuûa töû vaø cuûa maãu.
	· Neáu baäc cuûa töû lôùn hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù laø +¥ neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu cuøng daáu vaø keát quaû laø –¥ neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu traùi daáu.
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Cho daõy soá (un) vôùi un = , vôùi " n ³ 2.
a) Ruùt goïn un.	b) Tìm lim un.
a) Chöùng minh: 	("n Î N*).
b) Ruùt goïn: un = .
c) Tìm lim un.
Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: .
a) Ñaët vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 +  + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 
a) Chöùng minh raèng: un+1 = , "n ³ 1.
b) Ñaët vn = un – . Tính vn theo n. Töø ñoù tìm lim un.
II. Giôùi haïn cuûa haøm soá
Giôùi haïn höõu haïn
Giôùi haïn voâ cöïc, giôùi haïn ôû voâ cöïc
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
 ;	 (c: haèng soá)
2. Ñònh lí:
a) Neáu vaø 
	thì: 
	 (neáu M ¹ 0)
b) Neáu f(x) ³ 0 vaø 
	 thì L ³ 0 vaø 
c) Neáu thì 
3. Giôùi haïn moät beân:
Û 	 Û 
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
	;
	;	
	;	
2. Ñònh lí:
Neáu ¹ 0 vaø thì:
* Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh.
Moät soá phöông phaùp khöû daïng voâ ñònh:
1. Daïng 
	a) L = vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc vaø P(x0) = Q(x0) = 0
	Phaân tích caû töû vaø maãu thaønh nhaân töû vaø ruùt goïn.
	VD: 
	b) L = vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa caên cuøng baäc
	Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc ñeå nhaân löôïng lieân hôïp ôû töû vaø maãu.
	VD: 
	c) L = vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x) laø bieâåu thöùc chöùa caên khoâng ñoàng baäc
	Giaû söû: P(x) = . 
	Ta phaân tích P(x) = .
	VD: 
	= 
2. Daïng :	L = vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc hoaëc caùc bieåu thöùc chöùa caên.
	– Neáu P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc thì chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x.
	– Neáu P(x), Q(x) coù chöùa caên thì coù theå chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x hoaëc nhaân löôïng lieân hôïp.
	VD: 	a) 
	b) 
3. Daïng ¥ – ¥: Giôùi haïn naøy thöôøng coù chöùa caên
	Ta thöôøng söû duïng phöông phaùp nhaân löôïng lieân hôïp cuûa töû vaø maãu.
	VD: 
4. Daïng 0.¥: 
	Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp nhö caùc daïng ôû treân.
	VD: 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e)	f) 
g) 	h) 	i) 	
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 	
g) 	h) 
Tìm caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Tìm caùc giôùi haïn moät beân cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:
a) 	b) 
c) 	d) 
 Tìm giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau coù giôùi haïn taïi ñieåm ñöôïc chæ ra::
a) 	b)
c) 	d) 
III. Haøm soá lieân tuïc
1. Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm:	y = f(x) lieân tuïc taïi x0 Û 
	· Ñeå xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 ta thöïc hieän caùc böôùc:
	B1: Tính f(x0).
	B2: Tính (trong nhieàu tröôøng hôïp ta caàn tính , )
	B3: So saùnh vôùi f(x0) vaø ruùt ra keát luaän.
2. Haøm soá lieân tuïc treân moät khoaûng: y = f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù.
3. Haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]: y = f(x) lieân tuïc treân (a; b) vaø 
4. · Haøm soá ña thöùc lieân tuïc treân R.
 · Haøm soá phaân thöùc, caùc haøm soá löôïng giaùc lieân tuïc treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa chuùng.
5. Giaû söû y = f(x), y = g(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0. Khi ñoù:
	· Caùc haøm soá y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) lieân tuïc taïi x0.
	· Haøm soá y = lieân tuïc taïi x0 neáu g(x0) ¹ 0.
6. Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c Î (a; b): f(c) = 0.
Noùi caùch khaùc: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm cÎ (a; b).
Môû roäng: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b]. Ñaët m = , M = . Khi ñoù vôùi moïi T Î (m; M) luoân toàn taïi ít nhaát moät soá c Î (a; b): f(c) = T.
Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Tìm m, n ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:
a) 	b) 
c) 
d) 
Xeùt tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng:
a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng:
a) 	b) 
c) 	d) 
Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:
a) 	b) 	c) 
Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm:
a) 	b) 	c) 
Chöùng minh raèng phöông trình: coù 5 nghieäm treân (–2; 2).
Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Chöùng minh caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm:
a) vôùi 2a + 3b + 6c = 0	b) vôùi a + 2b + 5c = 0
c) 
Chöùng minh raèng phöông trình: luoân coù nghieäm x Î vôùi a ¹ 0 vaø 2a + 6b + 19c = 0.