Ôn tập Đại số 9 – chương 3

LÝ THUYẾT CHƯƠNG III
1/. * Phương trình bậc nhất hai ẩn số là phương trình có dạng: ax + by = c hoặc y = ax + b
 * Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.
2/. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: hoặc 
* Nghiệm của hệ: Mỗi pt của hệ có vô số nghiệm. Nghiệm chung của cả hai pt gọi là nghiệm của hệ.
* Số nghiệm của hệ: Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn chỉ có thể :
 + có 1 nghiệm duy nhất 
 + hoặc có vô số nghiệm 
 + hoặc vô nghiệm.
* Nếu ta tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ thì ta kết luận hệ đó có vô số nghiệm.
3/. Hệ phương trình tương đương:
* Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
* Lưu ý:
1. Hai hệ pt cùng vô nghiệm thì tương đương nhau
2. Hai hệ pt cùng có vô số nghiệm thì có thể không tương đương với nhau.
VD 1: 	B6 Tr 11 SGK : HS tự làm để xem Nga và Phương ai đúng ? Ai sai ? 
VD 2: Xác định a để hai hệ pt sau tương đương với nhau: và 
Gợi ý cách giải
 giải hpt tìm x và y rồi thay x, y vào để tìm a.
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: XÉT CẶP SỐ (x0; y0) CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ax + by = c HAY KHÔNG ?
Cách giải:
Thay x = x0 và y = y0 vào phương trình :ax + by = c.
Nếu hai vế có giá trị bằng nhau thì cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình ax + by = c.
VD1: (B1 Tr 7- SGK): Trong các cặp số:
 (- 2; 1), (0; 2), ( -1; 0), (1,5; 3) và (4; - 3) cặp số nào là nghiệm của phương trình: 
a) 5x + 4y = 8 ? b) 3x + 5y = -3 ?
Giải 
a) * Thay x = - 2 và y = 1 vào pt 5x + 4y = 8 ta có : vế trái = 5.(- 2) + 4.(1)
 = - 10 + 4 = - 6.
 Vế phải = 8
Vế trái vế phải. Vậy (-2; 1) không phải là nghiệm của pt 5x + 4y = 8 . 
* Thay x = 0 và y = 2 vào pt 5x + 4y = - 3 ta có: VT = 5.(0) + 4.(2) = 0 + 8 = 8
 VP = 8
VT = VP (= 8). Vậy (0; 2) là một nghiệm của pt 5x + 4y = 8.
Tương tự ta có (4; - 3) cũng là một nghiệm của pt 5x + 4y = 8.
b) tương tự câu a ta có các cặp số (- 1; 0) và (4; - 3) là nghiệm của pt 3x + 5y = - 3.
VD2: Trong các điểm sau: A(- 2; 3), B(1; 2) và C(2; 1) thì những điểm nào thuộc đường thẳng (d): x + 2y = 4 ?
Giải
* Thay xA = - 2 và yA = 3 vào (d): x + 2y = 4
Ta có VT = (- 2) + 2.(3) = - 2 + 6 = 4 
 VP = 4 
Vế trái = vế phải. Vậy điểm A (d).
* Thay xB = 1 và yB = 2 vào (d): x + 2y = 4
Ta có VT = (1) + 2.(2) = 1 + 4 = 5
 VP = 4
Vế trái vế phải. Vậy điểm B (d).
* Thay xC = 2 và yC = 1 vào (d): x + 2y = 4
Ta có VT = ( 2) + 2.(1) = 2 + 2 = 4 
 VP = 4 
Vế trái = vế phải. Vậy điểm C (d).
DẠNG 2: TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ax + by = c VÀ VẼ ĐƯỜNG THẲNG BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA NÓ.
Cách giải:
1. Nghiệm tổng quát của pt: ax + by = c là:
 hoặc 
2. Vẽ đường thẳng (d): ax + by = c
Lưu ý: * Nếu a = 0 và b 0 thì (d) là đường thẳng song song với trục hoành Ox.
* Nếu a 0 và b = 0 thì (d) là đường thẳng song song với trục tung Oy.
VD: (B2 Tr 7 SGK):
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của pt và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x – y = 2; b) x + 5y = 3
c) 4x – 3y = -1; d) x + 5y = 0
e) 4x + 0y = - 2; f) 0x + 2y = 5
Giải
a) 3x – y = 2 Þ y = 3x - 2
nghiệm tổng quát là 
x
0
1
y
-2
1
b) x + 5y = 3 Þ x = 3 – 5y
Nghiệm tổng quát là 
* Cho y = 0 thì x = 3, được điểm (3; 0)
 Cho y = 1 thì x = -2, được điểm (- 2; 1)
c) * 4x – 3y = -1 Þ 
nghiệm tổng quát là: 
* Cho x = 0 thì y = , được điểm (0; )
 Cho y = 0 thì x = , được điểm (; 0)
d) x + 5y = 0 Þ x = - 5y
Nghiệm tổng quát là 
* Cho y = 0 thì x = 0, được điểm (0; 0)
 Cho y = -1 thì x = 5, được điểm (5; - 1)
e) * 4x + 0y = - 2 Þ x = 
Nghiệm tổng quát là 
-1
O
 f) 0x + 2y = 5 Þ 
Nghiệm tổng quát là 
y = 2,5
DẠNG 3: ĐOÁN NHẬN SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1/. Khi hệ pt viết dưới dạng 
1. Nếu thì hệ có 1 nghiệm duy nhất d1 cắt d2.
2. Nếu thì hệ có vô số nghiệm d1 d2.
 3. Nếu thì hệ vô nghiệm d1 // d2 .
2/. Khi hệ pt viết dưới dạng 
 1. Nếu a a’ thì hệ có 1 nghiệm duy nhất d1 cắt d2.
 2. Nếu a = a’ và b = b’ thì hệ pt có vô số nghiệm d1 d2.
 3. Nếu a = b’ và b b’ thì hệ pt vô nghiệm d1 // d2.
Lưu ý: * Nếu đề cho hpt không ở dạng tổng quát như trên thì ta phải sắp xếp lại, đưa về một trong hai dạng tổng quát trên để đoán số nghiệm.
VD: Không giải hệ, hãy cho biết mỗi hệ pt sau có bao nhiêu nghiệm ?:
GIải 
 hệ có một nghiệm duy nhất (vì a a’)
hệ vô nghiệm (vì a = a’ và b b’ )
 hệ có một nghiệm duy nhất (vì a a’).
 hệ có vô số nghiệm (vì )
DẠNG 4: TÌM THAM SỐ THỎA MÃN SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÍ DỤ: a) Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: 
b) Tìm điều kiện của k để hê pt sau có vô số nghiệm:
c) Với giá trị nào của n thì hpt vô nghiệm ?
Giải 
a) Hệ có 1 nghiệm duy nhất hay 
 Þ - 2m 12 Þ m - 6
b) Hệ có vô số nghiệm hay Þ - 4. k =- 2 . 1 Þ k = 
c) Hệ vô nghiệm hay Þ 4n 28 Þ n 7
BÀI TẬP
1/. Không giải hệ pt, hãy cho biết mỗi hệ pt sau có bao nhiêu nghiệm ? Giải thích vì sao ?
2/. Xác định m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất 
DẠNG 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Cách giải:
+ Vẽ các đường thẳng: (d1): ax + by = c và (d2): a’x + b’y = c’.
+ Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hpt.
Ví dụ: Giải các hệ pt sau bằng phương pháp đồ thị:
a) 
+ (d1): x + y = 3
x
0
3
y
3
0
+ (d2): x - 2y = 0
x
0
-2
y
0
1
+ Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là S(2; 1).
+ Vậy hpt đã cho có 1 nghiệm là (x = 2; y = 1). 
b) 
+ (d1): 3x - 2y = - 6
x
0
- 2
y
3
0
+ (d2): 3x - 2y = 3
x
1
3
y
0
3
+ Vì (d1) và (d2) song với nhau nên chúng không có điểm chung.
+ Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) 
+ (d1): 2x - y = 3
x
0
 2
y
- 3
1
+ (d2): - 2x + y = - 3
x
0
3
y
- 3
3
+ Vì hai đường thẵng trùng nhau nên chúng có vô số điểm chung.
+ Vậy hệ pt đã cho có vô số nghiệm.
DẠNG 6: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (d) ĐI QUA HAI ĐIỂM A(xA; yA) và B(xB; yB).
CÁCH GIẢI
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b.
Lần lượt thay các giá trị x, y của A và B vào y = ax + b ta có hệ phương trình: 
Giải hệ này tìm a và b, rồi trả lời.
CÁC DẠNG GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH (TOÁN ĐỐ)
DẠNG 1: TOÁN TỈ LỆ:
Đk: x, y < 36,
x, y N, 
Gà
Chó
Tổng cộng
Số con
x j 
y k 
36
Số chân
2x l 
4y m 
100
hpt
VD1: Vừa gà vừa chó
 Bó lại cho tròn
 Ba mươi sáu con
 Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà ? Bao nhiêu chó ?
(ĐS: 22 con gà và 14 con chó )
VD2: (B29 T22):
Đk: x, y < 17
x, y nguyên, dương
Quýt
Cam
Tổng cộng
Số quả
x j 
y k 
17
Số miếng
3x l 
10y m 
100
hpt
 Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
 Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
 Trăm người, trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?
(ĐS: 10 quả quýt và 7 quả cam)
Đk: x, y N
Thanh yên
Táo
Cộng
Số tiềân mỗi quả
x j 
y k 
Số tiền mua (lần 1)
9x l 
8y m 
107
Số tiền mua (lần 2)
7x n 
7y o 
91
hpt
VD3: (Bài 35 T24) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá tiền mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi ?
(ĐS: Giá mỗi quả thanh yên là 3 rupi
 Giá mỗi quả táo là 10 rupi. )
Đk: 0 < x, y < 124
Đồng 
Kẽm
Cộng 
Số gam
x j 
y k 
124
Số cm3
 l 
 m 
15
Hệ pt
VD 4: (B44. Tr 27): Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10 cm3 và 7 g kẽm có thể tích là 1 cm3. 
( ĐS: 89 g đồng và 35 g kẽm).
Giải 
Gọi số gam đồng trong hợp kim là x (g), ( 0 < x < 124)
Gọi số gam kẽm trong hợp kim là y (g), ( 0 < y < 124)
+ Vì 89 gam đồng có thể tích là 10 cm3 nên 1 gam đồng có thể tích là cm3 .
Þ x gam đồng có thể tích là cm3.
+ Vì 7 gam kẽm có thể tích là 1 cm3 nên 1 gam kẽm có thể tích là cm3
Þ y gam kẽm có thể tích là cm3.
+ Theo bài ra ta có hệ phương trình: (HS tự giải tiếp).
BÀI TẬP 
1/. Mua 5 cái bánh và 4 cái kẹo hết 47 đồng. Mua 3 cái bánh và 6 cái kẹo hết 39 đồng. Tính giá tiền mỗi cái bánh và giá tiền mỗi cái kẹo. (ĐS: bánh 7 đồng/cái; kẹo 3 đồng /cái). 
2/. Phân xưởng I làm trong 20 ngày, phân xưởng II làm trong 15 ngày được tất cả 1600 dụng cụ. Biết rằng số dụng cụ làm trong 4 ngày của phân xưởng I bằng số dụng cụ làm trong 5 ngày của phân xưởng II. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm được. 
(ĐS: phân xưởng I được 1000 và phân xưởng II được 600).
3/. Số sách ngăn trên bằngsố sách ngăn dưới. Nếu chuyển 20 cuốn từ ngăn dưới lên ngăn trên thì số sách ở hai ngăn bằng nhau. Tính số sách của mỗi ngăn.
(ĐS: ngăn trên 80 cuốn;ngăn dưới 120 cuốn ).
4/. Năm ngoái, số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Năm nay, số công nhân ở xí nghiệp thứ nhất tăng 80 người, số công nhân ở xí nghiệp thứ hai tăng 40 người, do đó số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp trong năm ngoái. (ĐS: 480 và 640). 
DẠNG 2: THAY ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG:
x
y
 Diện tích tam giác vuông = nửa tích hai cạnh góc vuông .
 Diện tích hình chữ nhật = chiều dài chiều rộng.
Số luống số cây trong mỗi luống = số cây trong cả vườn
Số dòng số chữ trong mỗi dòng = số chữ trong cả trang.
Số xe số người trong mỗi xe = số người trong cả đoàn.
Số dãy số ghế trong mỗi dãy = số ghế trong cả phòng.
 . v .v .
Đk: x > 4, y > 3
X, y 
Số luống
Số cây trong mỗi luống
Số cây cả vườn
Theo thực tế
x
y
xy
Khi thay đổi 1
x + 8
y - 3
xy - 54
Khi thay đổi 2
x - 4
y + 2
xy + 32
hpt
Ví dụ 1: (B34 T24): Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây cải bắp ? (ĐS: 50 luống 15 cây/ luống = 750 cây trong vườn.)
Đk: x > 2, 
 y > 4
Cạnh góc vuông thứ nhất
Cạnh góc vuông thứ hai
Diện tích
Theo thực tế
x j
y k
 l
Khi thay đổi 1
x + 3
y + 3
 m
Khi thay đổi 2
x - 2
y - 4
 n
hpt
VD2: (B31 T23). Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng hai cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
(ĐS: x = 9; y = 12)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Đk:
Chiều dài
(m)
Chiều rộng
(m)
Diện tích
(m2)
Theo thực tế
Theo giả sử 1
Theo giả sử 2
Hệ pt
1/. Một hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 160 m2. Nếu bớt cả hai cạnh đi 3m thì diện tích giảm đi 128 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
 (ĐS: 25m và 20m).
Đk:
Số dòng
(dòng)
Số chữ trong mỗi dòng
Số chữ trong 
cả trang
Theo thực tế
Theo giả sử 1
Theo giả sử 2
Hệ pt
2/. Trong một trang sách, nếu bớt đi 4 dòng và mỗi dòng bớt đi 2 chữ thì cả trang sẽ giảm đi 148 chữ. Nếu tăng thêm một dòng và mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì cả trang sẽ tăng thêm 117 chữ. Tính số dòng trong trang và số chữ trong mỗi dòng.
Đk:
Cạnh góc vuông thứ nhất (dm)
Cạnh góc vuông thứ hai (dm)
Diện tích
 (dm2)
Theo thực tế lúc đầu
Theo giả sử 1
Theo giả sử 2
Hệ pt
3/. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 50m2. Nếu giảm cả 2 cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính 2 cạnh góc vuông của tam giác.
Đk:
Số xe
Số người trên mỗi xe
Số người trong cả đoàn
Theo thực tế
Theo thay đổi 1
Theo thay đổi 2
Hệ pt
4. Một đoàn xe chở học sinh đi tham quan. Nếu bớt đi 2 xe nhưng mỗi xe chở thêm 4 người thì số người trong cả đoàn tăng thêm 20 người. Nêùu tăng thêm 3 xe nhưng mỗi xe chở ít hơn 5 người thì số người trong cả đoàn sẽ giảm đi 37 người. Hỏi đoàn tham quan có bao nhiêu xe và mỗi xe có bao nhiêu người ?
DẠNG 3: TÌM 1 SỐ TỰ NHIÊN CÓ HAI CHỮ SỐ.
VD1: (SGK T20) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (xN, 1 x 9 )
 Gọi chữ số hàng đơn vị là y (yN, 0 y 9 )
Số cũ ban đầu là 
Số mới là 
Theo bài ra, ta có hpt
Giải hệ này ta được x = 7, y = 4 (HS tự giải).
Vậy số tự nhiên ban đầu cần tìm là 74.
VD2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số của nó là 7 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 27 đơn vị. 
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (xN, 1 x 9 )
Gọi chữ số hàng đơn vị là y (yN, 0 y 9 )
Số ban đầu là 
số mới là .
Theo bài ra, ta có hệ phương trình :
 Giải hệ này ta được x = 2, y = 5 (HS tự giải).
Vậy số ban đầu cần tìm là 25.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1/. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 16 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số nhỏ hơn số đã cho là 18. Tìm số tự nhiên đó.
2/. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới và tổng của số mới với số ban đầu bằng 132.
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ TỰ NHIÊN
VD 1: B28 T22 (SGK): Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Giải 
Gọi số lớn là x (ĐK: x <1006, )
Gọi số nhỏ là y (ĐK: 1 y <1006, )
Theo bài ra ta có hpt
Giải hệ này được x = 712, y = 294 (HS tự giải)
Vậy số lớn là 712 và số nhỏ là 294.
Ghi nhớ:
Số bị chia = thương số chia + số dư.
VD2: Hai số tự nhiên hơn kém nhau 9 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 6 và chia số nhỏ cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 1 đơn vị. Tìm hai số tự nhiên đó.
Giải 
Gọi số lớn là x (Đk:)
Gọi số nhỏ là y. (Đk: )
Chia số lớn cho 6 được thương thứ nhất là 
Chia số nhỏ cho 5 được thương thứ hai là 
Theo bài ra ta có hpt 
Giải hệ này ta được x = 24, y = 15 (HS tự giải).
Vậy số lớn là 24 và số nhỏ là 15.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1/. Hai số hơn kém nhau 9 đơn vị. Nếu chia số lơnù cho 6 và chia số nhỏ cho 5 thì thương thứ nhất hơn thương thứ hai 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
2/. Tổng của hai số tự nhiên bằng 22. Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 2. Tìm hai số tự nhiên đó.
DẠNG 5: TOÁN PHẦN TRĂM:
Đk: x, y nguyên, dương 
Số tấn thóc của
Đơn vị I
Đơn vị II
Cả hai đơn vị
Làm được trong năm ngoái
x j 
y k 
720
Làm được trong năm nay
 l 
 m 
 819 
Hệ pt
B46 Tr 27: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ? (ĐS: 420 và 300).
B39 T25: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ? (ĐS: 0,5 và 1,5 triệu đồng).
ĐK: x > 0, y > 0 và
x, y < 2,17
Số tiền mua (đơn vị là triệu đồng)
Loại hàng 1
Loại hàng 2
Cả hai loại hàng
Không kể thuế VAT
 x j 
y k 
Lần thứ nhất
 l
 m 
2,17
Lần thứ hai
 n 
 o 
2,18
Hệ phương trình
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Đk:
Số chi tiết máy của
Tổ I
Tổ II
Cả hai tổ
Sx được trong tháng giêng
Sx được trong tháng hai
Hệ pt
1/. Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng hai, tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%; do đó, cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Đk:
Số mét đường của
Đội I
Đội II
Cả hai đội
Làm được trong ngày đầu
Làm được trong ngày thứ hai
Hệ pt
2/. Trong ngày đầu, cả hai đội công nhân làm được 110 m đường. Ngày thứ hai, đội một vượt mức 5%, đội II vượt mức 4% nên cả hai đội làm được 115 m đường. Tính xem trong ngày đầu mỗi đội làm được bao nhiêu mét đường?
 (ĐS: 60 và 50).
DẠNG 6 : TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
 * . S = v. t .
 Quãng đường = vận tốc thời gian.
* Lập bảng có 3 cột của 3 đại lượng S, v, t
DẠNG 6A - MỘT ĐỘNG TỬ ĐẾN SỚM HƠN (HOẶC MUỘN HƠN ) SO VỚI DỰ ĐỊNH
Đk: x > 0, y > 1
SAB
(km)
v
(km/h)
t
(h)
Đi theo dự định
x j 
y k 
Đi với vận tốc 35 km/h
x
35
y + 2 l 
Đi với vận tốc 50 km/h
x
50
y – 1 m 
Hệ phương trình
B30 T22: Một ô tô dự định đi từ A đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát tại A của ô tô tại A..
(ĐS: Quãng đường AB là 350 km
 Thời gian dự định là 8 giờ
Thời điểm xuất phát lúc 12 – 8 = 4 giờ sáng)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Đk:
SAB
(km)
V
(km/h)
t
(h)
Đi theo dự định
Đi khi đến sớm
Đi khi đến muộn
Hệ phương trình
1/. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 90 km/h thì đến nơi sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì đến B muộn hơn dự tính 3 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. (ĐS: SAB = . . . . . . km
 Thời gian dự định là . . . . .giờ.)
Đk:
SAB
(km)
V
(km/h)
t
(h)
Đi theo dự định
Đi khi đến sớm
Đi khi đến muộn
Hệ phương trình
2/. Một tàu thủy đi từ bến A đến bến B trong một thời gian đã định. Nếu tàu đi với vận tốc 36 km/h thì đến bến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu tàu đi với vận tốc 20 km /h thì đến nơi chậm hơn dự định 36 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc dầu.
(ĐS: 72 km và 3 h).
DẠNG 6B: HAI ĐỘNG TỬ ĐI NGƯỢC CHIỀU
Đk: x > 0,    y > 0
S
(km)
v
(km/h)
t
(h)
Xe tải
 l 
x j
Xe khách
 m 
y k
 l 
hpt
 VD2 Tr.21 (SGK): Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về TP. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
(ĐS: vận tốc xe tải là 36 km/h; 
 vận tốc xe khách là 49 km/h ).
Đk: x > 0, y > 0
S(km)
v(km/h)
t(h)
Theo thực tế
(lúc đầu)
Người đi nhanh
(người đi từ A)
2
x j 
 l 
Người đi chậm
(người đi từ B)
1,6
y k 
 m 
Theo giả sử
(lúc sau)
Người đi nhanh
(người đi từ A)
1,8
 x
 n 
Người đi chậm
(người đi từ B)
1,8
 y
 o
6 phút = h
Hệ pt
B43 T27: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
 Đáp số: 
vận tốc người đi nhanh là 4,5 km/h; vận tốc người đi chậm là 3,6 km/h.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Đk:
S(km)
V(km/h)
t(h)
Thực tế
(lúc đầu)
Xe nhanh
Xe chậm
Theo giả sử
(lúc sau)
Xe nhanh
Xe chậm
Hệ pt
1/. Hai xe ô tô ở hai thành phố cách nhau 240 km, khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai thành phố 135 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi chậm xuất phát trước ô tô đi nhanh 1 giờ thì hai xe sẽ gặp nhau ở giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi xe. 
(ĐS: . . .. . . .. . . . . . .. . . . . .. . ...)
Đk:
S(km)
V(km/h)
t(h)
Thực tế
(lúc đầu)
Xe nhanh
Xe chậm
Theo giả sử
(lúc sau)
Xe nhanh
Xe chậm
Hệ pt
2/. Hai xe ở hai địa điểm cách nhau 72 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách điểm khởi hành 40 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 15 phút thì hai xe sẽ gặp nhau ở giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi xe.
(ĐS: . . .. . . .. . . . . . .. . . . . .. . ...)
DẠNG 6C – HAI ĐỘNG TỬ CHUYỂN ĐỘNG TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN
Lưu ý: * Độ dài đường tròn = 3,14 đường kính
 * Phương trình khi đi cùng chiều là :
 Svật nhanh - Svật chậm = độ dài đường tròn.
 * Phương trình khi đi ngược chiều là :
 Svật nhanh + Svật chậm = độ dài đường tròn.
Đk: x > y > 0
S(cm)
V(cm/s)
t(s)
Khi đi cùng chiều
Vật nhanh
20x l 
x j 
20
Vật chậm
 20y m 
y k 
20
Khi đi ngược chiều
Vật nhanh
4x n 
x
4
Vật chậm
4y o 
y
4
Hệ pt
VD: (B37 Tr.24): Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
(ĐS: Vận tốc vật đi nhanh là 9,42 cm/s ; Vận tốc vật đi chậm là 6,28 cm/s )
DẠNG 7 : TOÁN LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG MỘT CÔNG VIỆC
Năng suất : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
VD: mỗi phút chảy được mấy phần của bể (bể/ phút), mỗi ngày làm được mấy phần của đoạn đường (đoạn/ngày) .v. v.
Gồm 3 đại lượng: công việc, thời gian, năng suất.
Công việc = thời gian năng suất. Þ Năng suất = 
Năng suất I + năng suất II = năng suất cả hai.
Thường chọn thời gian làm ẩn x và y.
Đk: x và y > thời gian cả hai (vì 1 người làm sẽ lâu hơn cả hai người làm chung).
Đk: x, y > 16
Công việc
(cv)
Thời gian 
(h)
Năng suất 
(cv/h)
Người thứ nhất
1
x j 
 l
Người thứ hai
1
y k 
 m
Cả hai người
1
16
 n
Người thứ nhất làm trong 3 giờ
3.
3
Người thứ hai làm trong 6 giờ
6.
6
Hệ pt
VD1 (B33 Tr.24): Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? 
* Đổi : 25% = 
Giải 
Đk:
Công việc
(bể)
Thời gian
(phút)
Năng suất
(bể/phút)
Vòi I
1
x j 
 l 
Vòi II
1
y k 
 m 
Cả 2 vòi
1
80
 n 
Vòi I chảy trong 10 phút
10. 
10
Vòi II chảy trong 12 phút
12.
12
hpt
Gọi thời gian của người thứ nhất làm một mình cả công việc là x (giờ),
Gọi thời gian của người thứ hai làm một mình cả công việc là y (giờ),
B38 T24:. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ? 
 (Đổi