Ôn tập Hình 9

ÔN TẬP HÌNH 9
Vấn đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
Trong tam giác vuông ta có định lí Pytago dùng để tính cạnh hoặc chứng minh các đẳng thức có liên quan đến bình phương của cạnh.
Tam giác ABC vuông tại A khi đó: BC2=AB2+AC2.
Trong tam giác vuông tại A thì trung tuyến AM = BC/2.
B	A	
	 M	 c	 h	b
	C’	b’
A	 C	 B	 H	 C
	a
Công thức tính diện tích tam giác ABC vuông tại A: S=1/2. AB.AC=1/2.a.h
Từ công thức diện tích ta có ngay:	 	a.h = b.c.
Công thức hình chiếu lên cạnh huyền: 	b’.c’= h2.
Công thức về cạnh góc vuông và hình chiếu:	b2= a.b’.	Và c2=a.c’.
Công thức về nghịch đảo đường cao:	 .
Các cách để c/m một tam giác là tam giác vuông:
Chỉ ra tam giác có một góc vuông.
Chỉ ra tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là : BC2=AB2+AC2.thì tam giác vuông tại A.
Chỉ ra một trung tuyến AM = BC/2. Thì tam giác vuông tại A.
Vấn đề: tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Muốn có tỉ số lượng giác của góc nhọn ta phải có một tam giác vuông.
Trong tam giác vuông có góc nhọn a khi đó:
Sin a =đối/ huyến.
Côsin a= kề/ huyền.
Tan a= đối / kề = sin /cos.
Cotan a = kề/ đối = cos/ sin = 1/tan.
Nếu hai góc a và b phụ nhau tức là a + b = 900 khi đó:
Sin a = cos b.
Cos a= sin b.
Tan a = cot b.
Cot a = tan b.
Bảng các giá trị lượng giác thường dùng: 00; 300; 450; 600 và 900.
Từ định lí Pytago trong tam giác vuông ta có ngay: sin2a +cos2a =1.
Từ định nghĩa ta có: tan a.cot a = 1.
Từ tỉ số lượng giác ta thấy trong tam giác vuông nếu cho một goc và một cạnh thì các yếu tố còn lại cũng tính được.
Có thể dùng tỉ số lượng giác để đo các chiều cao trong thực tế.
Khi biết góc tính giá trị lượng giác hoặc cho giá trị lượng giác tính góc ta dùng máy tính bỏ túi.
Vấn đề: định nghĩa và sự xác định đường tròn.
Tập hợp các điểm cách O cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu: (O; R).
Để xác định được đường tròn ta có các cách sau:
Biết tâm O và bán kính R.
Biết 3 điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn.
Cho (O; R) và điểm M. Khi đó có các khả năng sau:
Nếu MO > R thì M nằm ngoài đường tròn (O; R).
Nếu MO=R thì M nằm trên đường tròn (O;R). Kí hiệu: M Î (O; R).
Nếu MO < R thì M nằm trong đường tròn (O; R).
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung qua tâm. Vậy đường kính là dây cung lớn nhất trong một đường tròn.
Muốn c/m các điểm cùng nằm trên (O; R) ta chỉ ra khoảng cách từ mỗi điểm đến O đều là R. Các cách khác sau này xét sau.
Đường tròn qua hai điểm A và B có tâm nằm trên trung trực của AB.
đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền.
Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn.
Đường tròn là hình có một tâm đối xứng là tâm đường tròn đó.
Đường tròn có vô số trục đối xứng là mỗi đường kính của nó.
Đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm và ngược lại.
Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại.
Vận dụng các tính chất trên ta có thể tính độ dài các đoạn và c/m các tính chất cũng như so sánh các đoạn thẳng dựa vào đường tròn.
Vấn đề: vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.
Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng.
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khi đó có các trường hợp sau:
Nếu d(O;d) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Ta nói đường thẳng và đường tròn ngoài nhau hoặc không cắt nhau.
Nếu d(O; d) = OH = R khi đó đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất chính là H. Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến của (O)).
Nếu d(O; d) = OH < R thì đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng này gọi là cát tuyến với (O; R).
Vậy muốn xác định vị trí của đường thẳng d và đường tròn ta cần tìm bán kính R và khoảng cách d(O; d) rồi so sánh và kết luận.
Vấn đề: tiếp tuyến của đường tròn.
Cho (O; R) tiếp tuyến của (O; R) là một đường thẳng tiếp xúc với (O; R).
Vậy d là tiếp tuyến (O; R) d ^ OA tại A. A gọi là tiếp điểm.
.O
	D	A
Nói cách khác : d là tiếp tuyến của (O; R) d(O; d) =R.
Ta có tính chất: từ một điểm M nằm ngoài (O; R) ta kẽ được hai tiếp tuyến đến (O; R) tại hai tiếp điểm A và B khi đó MA=MB.
Từ một điểm A trên (O; R) ta kẽ được một tiếp tuyến duy nhất, đó là đường thẳng qua A và vuông góc bán kính OA.
Từ hai điểm A và B trên (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì MA= MB.
 A
	 O. 	 M
	 B
Ngoài ra ta còn có : MO là phân giác của góc AOB và OM là phân giác góc AOB.
Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ một điểm nằm ngoài (O).
Ta nối OM.
Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) tại hai điểm A và B.
Nối MA và MB được hai tiếp tuyến.
Vấn đề: vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) khi đó dựa vào khoảng cách OO’ và R; R’ ta có các khả năng sau:
Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thì hai đường tròn này tiếp xúc trong.
Nếu OO’ = R +R’ thì hai đường tròn có một điểm chung và điểm này là giao điểm của OO’ và hai đường tròn. Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Nếu OO’ < R+R’ thì hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm. Hai điểm này nhận OO’ làm trung trực.
Nếu OO’ > R+R’ thì hai đường tròn không cắt nhau và ngoài nhau.
OO’ < R-R’ thì hai đường tròn đựng nhau. (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa trong (O; R).
Hai đường tròn đồng tâm là hai đường tròn có cùng tâm.
Nếu có hai đường tròn thì tiếp tuyến chung của chúng và đường nối tâm OO’ đồng quy.
Nếu đồng quy bên trong đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung trong.
Nếu đồng quy bên ngoài đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung ngoài.
Điếm đồng quy này chia OO’ theo tỉ lệ bằng tỉ lệ hai bán kính.
Vấn đề: đường tròn ngoại tiếp- nội tiếp và bàng tiếp tam giác đa giác.
Cho tam giác ABC, đường tròn đi qua 3 đỉnh A; B và C của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm cách đều 3 đỉnh nên là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác.
Đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.
Tâm của đường tròn nội tiếp là điểm cách đều 3 cạnh nên nó là giao điểm của ba đường phân giác.
Đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh BC và phần kéo dài của hai cạnh kia (AB và AC) gọi là đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Vậy đường tròn bàng tiếẩmtong góc A có tâm là giao điểm phân giác trong góc A và hai phân giác ngoài tại B và C.
Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
Tam giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn này gọi là ngoại tiếp tam giác.
Tam giác ngoại tiếp đường tròn thì đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Vấn đề: Góc ở tâm- số đo độ của cung—so sánh cung.
Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm của đường tròn.
Góc này cắt đường tròn tại A và B khi đó cung AB là cung bị chắn của góc ở tâm AOB.
Ta có tính chất: số đo cung bị chắn bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
So sánh cung: cung nào lớn hơn thì có số đo cũng lớn hơn và ngược lại.
Cung nào có góc ở tâm lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
Vấn đề: Liên hệ giữa cung và dây.
Cho (O) cung AB là đường cong chạy từ A đến B theo đường tròn. Còn dây (dây cung) là đoạn thẳng AB.
Ta chú ý với hai điểm A và B trên (O) luôn tạo ra hai cung lớn và cung nhỏ. Sau đây ta chỉ xét cung nhỏ.
Hai dây cung bằng nhau hai cung bằng nhau.
Dây lớn hơn cung lớn hơn.
Vấn đề: góc nội tiếp .
Góc nội tiếp của (O) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai điểm phân biệt.
Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm trên đương tròn.
Số đo góc nội tiếp chắn cung bằng ½ số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó. Chú ý là cùng một cung.
Góc nội tiếp có số đo bằng ½ số đo cung bị chắn.
Cùng một cung có thể có nhiều góc nội tiếp thì các góc này đều bằng nhau.
Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì là góc vuông 900.
Các cung bằng nhau thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng bằng nhau và ngược lại.
Cung nào lớn hơn thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng lớn hơn.
Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung.
Góc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AX gọi là góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung.
Số đo của góc này bằng ½ số đo góc ở tâm chắn cung AX.
Số đo của góc này bằng ½ số đo cung AX.
Số đo góc này cũng bằng số đo một góc nội tiếp bất kỳ chắn cung đó.
Vấn đề: góc có đỉnh bên trong – bên ngoài đường tròn.
Cho (O) và M trong (O) khi đó có hai đường thẳng cùng qua M tạo thành góc. Góc này là góc bên trong đường tròn. Hai đường thẳng này cắt đường tròn tạo thành các cung.
Khi đó số đo góc ở trong đường tròn bằng tổng số đo hai cung này chia hai.
A	
	 B	
	M
	C	D
.
Cho (O) và M ngoài (O) khi đó góc mà các cạnh của nó luôn tiếp xúc hoặc cắt (O) gọi là góc ngoài đường tròn (O) tại M. Khi đó góc này cũng cắt đường tròn tao thành hai cung; một cung lớn và một cung nhỏ.
Số đo góc ngoài bằng sđ cung lớn – cung nhỏ sau đó chia hai.
 C	A
C	
 A	 A	
	 M	 M n	 m
 M	 B	
	 D	 B	B
Vấn đề: cung chứa góc.
Cho đoạn thẳng AB cố định khi đó quỹ tích các điểm M sao cho: a cho trước là một cung. Cung này được gọi là cung chứa góc a độ nhận AB làm dây.
Cho một dây AB và a độ khi đó ta có hai cung chứa góc a độ nhận AB làm dây và hai cung này đối xứng qua AB.
Cách vẽ cung chứa góc a độ nhận AB làm dây như sau:
Có AB: tại A vẽ tia At tạo AB góc a.
Tại A vẽ tia Ax ^ At cắt trung trực AB tại O.
Vẽ cung tròn (O; OA) ở phía chứa O.
Khi đó cung này chính là cung chứa góc a nhận AB làm dây.
Ta lấy O’ đối xứng O qua AB và vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đượ cung thứ hai.
Baì tập: 
Vẽ cung chứa góc 450 trên đoạn AB= 4cm.
Vẽ cung chứa góc 1200 trên đoạn CD= 10cm.
Cho (O) có đường kính AB, điểm C di động trên (O). Gọi M là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Điểm M di động trên đường nào?
Vấn đề: tứ giác nội tiếp.
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa 4 điểm A; B; C và D cùng nằm trên 1 đường tròn.
 Tứ giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn gọi là ngoại tiếp tứ giác đó.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tứ giác đó.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) khi đó OA= OB= OC = OD =R.
Chú ý: O có thể nằm ngoài tứ giác; cũng có thể nằm trong hoặc nằm trên một cạnh chứ không phải lúc nào cũng nằm trong.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800.
Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 hoặc B+D=1800 thì ABCD nội tiếp.
Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau:
Chỉ ra A+C =1800.
Chỉ ra B+D=1800.
Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể.
Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau.
Vấn đề: đa giác đều ngoại tiếp--nội tiếp đường tròn.
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và góc đều bằng nhau.
Đa giác nội tiếp (O) là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên (O). Khi đó đường tròn gọi là ngoại tiếp đa giác.
Đa giác ngoại tiếp (O) là đa giác có các cạnh cùng tiếp xúc (O). Khi đó (O) gọi là ngoại tiếp đa giác.
Mỗi đa giác đều bất kỳ có một đường tròn ngoại tiếp và 1 đường tròn nôị tiếp và hai đường này đồng tâm. Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA=.. 
Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh. Khoảng cách này gọi là trung đoạn của đa giác.
Cho n giác đều cạnh a khi đó:
Chu vi của đa giác: 2p= na với p là nửa chu vi (tên thường dùng).
MỗI GóC Có Số đO: A=B==.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=.(dùng tỉ số lượng giác).
Bán kính đường tròn nội tiếp r=.
Ta có: R2-r2 = a2/4.
Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r.
Vấn đề: độ dài đường tròn--diện tích hình tròn.
Đường tròn chỉ là đường biên ngoài còn hình tròn là cả phần trong và biên.
Cho (O; R) khi đó độ dài đường tròn chính là chu vi của đường tròn: C=Õ 2R.
NếU CHO CUNG N0 TRêN (O; R) THì độ DàI CUNG Là: . Vì Cả đườNG TRòN 3600 DàI 2Õ R NêN 10 DàI SAU đó TA NHâN LêN.
Diện tích của(O; R) là : S= Õ R2. 
Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 khi đó hình quạt OAB có diện tích: Squạt OAB = .= lab.R/2.
Hình viên phân là ta lấy phần quạt rồi bỏ đi tam giác OAB là được viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB.
Hình xuyến là hình tạo ra khi có hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Bằng cách lấy đường tròn lớn và bỏ đi đường tròn nhỏ. Phần ở giữa là hình xuyến.
Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = Õ( R2-r2).
Õ =3.14 nhưng thường dùng là Õ=3.14.
Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ta có thể chỉ ra ba điểm tạo thành góc bẹt (1800).
Vận dụng tính chất các đường đồng quy.
C/m hai tia AB và AC trùng nhau theo tiên đề Ơclit(cùng song song 1 đường).
Chỉ ra 3 điểm cùng nằm trên 1 đường nào đó.
Có thể chỉ ra AB+BC=AC.
Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dùng hai tam giác bằng nhau.
Dùng tính chất của tam giác; hình thang cân; hình bình hành;..
Sử dụng tính chất của đường chéo các hình. Tính chất đường trung bình.
Sử dụng tính chất bắc cầu.
Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc.
Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có 1 góc vuông 900.
Cho điểm O và d khi đó có duy nhất một đường thẳng qua O và ^ d.
Cho a//b khi đó nếu c ^ a thì c ^ b.
Ngoài ra ta còn dùng các tính chất khác như xem hai đường thẳng là hai cạnh của tam giác vuông. Xét các tính chấtấtm giác cân; tam giác vuông; hình thoi, hình chữ nhật;.. Để c/m hai đường thẳng vuông góc.
Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung( không làm được gì).
Hai đường thẳng song song khi có đường thẳng cắt qua và tạo các cặp:
So le trong bằng nhau.
Đồng vị bằng nhau.
Các góc trong cùng phía đồng vị.
Hai đường thẳng cùng vuông góc đường thứ ba thì song song.
Hai cạnh đối của hình bình hành thì song song.
Tính chất dường trung bình tam giác và hình thang.
Các tính chất của các hình khác như hình hộp chữ nhật..
Tính chất bắc cầu: chỉ ra a//b và b//c thì a//c.
Vấn đề: c/m các đường thẳng đồng quy.
Các đường thẳng đồng quy là các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm.
Ta có thể chỉ ra một điểm O nào đó và c/m các đường thẳng cùng đi qua nó.
Ta gọi O là giao điểm hai đường thẳng và chỉ ra đường còn lại cũng qua nó.
Ta dùng tính chất các đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để chỉ ra các đường cùng đi qua trung điểm cạnh nào đó.
Vận dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác..
Ta vận dụng định lí Talet đảo về các đoạn song song.
Vấn đề: c/m hệ thức hình học.
Tức là ta phải đi c/m một đẳng thức đúng từ các dữ kiện đề bài cho.
Ta thường dùng các công thức của tam giác vuông nếu trong bài xuất hiện góc vuông. (xem phần trước).
Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số bằng nhau và từ tỉ số này ta suy ra đẳng thức cần c/m.
Chú ý là có thể sử dụng tính chất bắc cầu trong nhiều tam giác đồng dạng.
Vận dụng công thức diện tích và phân tích một hình thành nhiều tam giác và cộng diện tích lại.
Sử dụng tam giác bằng nhau để chuyển cạnh khi cần thiết.
Dùng các tính chất của đường trung bình; hình bình hành; đoạn chắn bỡi các đường thẳng //
Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp.
	Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau:
Chỉ ra A+C =1800.
Chỉ ra B+D=1800.
Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể.
Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau.
Vấn đề: tính góc.
Để tính góc ta dùng các tính chất về góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ nhau.
Các tính chất về góc của tam giác; góc trong và góc ngoài.
Vận dụng tính chất tổng các góc tam giác; tứ giác.
Vận dụng tính chất phân giác; phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc.
Vạn dụng tính chất của góc nội tiếp.
Vận dụng tính chất các tam giác đồng dạng.
Các tính chất về góc và hai đường thẳng song song.
Các tính chất của hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;
Vấn đề: c/m các đường thẳng đi qua điểm cố định.
Vấn đề: c/m lượng không đổi.
Vấn đề: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Vấn đề: diện tích các hình trong ko gian.