Ôn tập Hình học kỳ II lớp 9

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E
	a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này. 
	b) Chứng minh: CD = CE 
	c) Chứng minh: MN // DE
a) Ta có: (gt)
Vì hai điểm M và N cùng nhìn đoạn AB dưới góc 900, nên tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm của đường tròn này là trung điểm I của AB.
b) Có: (2 góc cùng phụ với )
 (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) CD = CE
c) Có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (I))
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))
Suy ra : // DE (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên cung AC lấy điểm E sao cho ; ED cắt AB tại I
a) Chứng minh tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn
b) Kẻ AH và BK vuông góc với CE. Chứng minh AH . KE = BK. HE
c) Tính theo R diện tích hình quạt EOBC
a) Xét tứ giác EIOC có (gt); ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => , do đó 
Vậy tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn
b) Ta có AB CD (gt) => D là điểm chính giữa của 
nên =>(góc nhội tiếp chắn )
Xét hai tam giác vuông AHE và BKE có: ; => 
=> hay AH . KE = BK . HE
c) Sđ
Sđ
Diện tích hình quạt EOBC là:
 S = (đvdt)
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao AH và BK của tam giác cắt đường tròn tại D và E, AH cắt BK tại I.
	a) Chứng minh các tứ giác KIHC và AKHB nội tiếp đường tròn.
	b) Chứng minh tam giác IBD cân.
c) Chứng minh BIC = BDC từ đó suy ra độ dài đường tròn ngoại tiếp BIC theo R.
	d) Chứng minh CO HK.
a) Tứ giác KIHC có = = 900 (gt)
 + = 900 + 900 = 1800
Vậy tứ giác KIHC nội tiếp đường tròn đường kính IC.
Tứ giác AKHB có = = 900 (gt)
 hai đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới một góc vuông 
Vậy tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
b) = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
 = ( cùng bù ) = . Vậy IBD cân tại B
c) Xét BIC vàBDC có 
BC chung
IBD cân có BC là đường cao nên cũng là đường phân giác = 
IB = BD (vì IBD cân tại B)
Vậy BIC = BDC (c.g.c)
Do đó đường tròn ngoại tiếp hai BIC và BDC đều bằng nhau
Mà độ dài đường tròn ngoại tiếp BDC bằng 2R
nên độ dài đường tròn ngoại tiếpBIC bằng 2R
Bài 4: Từ 1 điểm A bên ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến AB (với B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến đường tròn (O) (với M nằm giữa A, N). Gọi I là trung điểm của MN.
a. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn
b. Tia phân giác của cắt MN tại D, cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AB = AD
c. Cho . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BM và dây BM
d. Cho . Tính thể tích hình nón được tạo thành khi quay DBOM xung quanh cạnh OB.
a. C/m: Tứ giác ABOI nội tiếp:
 NI = IM (gt)
Þ tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính OA
b. C/m: AB = AD
c. Gọi S là diện tích hình viên phân cần tìm 
DBOM đều do OB = OM = R và 
d. Thể tích hình nón:(đvdt)
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là điểm bên ngoài đường tròn sao cho AB, AC cắt đường tròn (O) tại D, E (B, D, E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC)
 a/ Chứng minh AD.AB = AE.AC
 b/ Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng OA tại I (I khác A ), DE cắt AI tại F.
 Chứng minh tứ giác IFEC nội tiếp được đường tròn.
 c/ Trong trường hợp ABC đều, tính diện tích hình quạt ODEC theo R.
a) Ta có DACD ~ DABE (chung, )
b) Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
 (tứ giác BDEC nội tiếp, là góc ngoài)
Suy ra 
Nên tứ giác IFEC nội tiếp
c) DABC đều 
nên sđlà góc nội tiếp)
Diện tích hình quạt DOCE :
(đvdt)