Ôn tập học kỳ 2 môn Toán lớp 11

A – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I/ GIỚI HẠN
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) 	 b) 	 c) d) e) g) h)
i) j) lim 	 k) l) m) 	 n) p) 	q) r) s) t) u) v) 	 w) lim() 	x) lim 
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) b) 	 c) 	 d) e) 	 g) 	 h) 	i) j) 	 k) 	 	l) 
m) n) p) q) 
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a) b) c) d) e) f) g) h) 
i) k) l) m) 
n)	 	 p) 	q) 	r) 
s) 	t) 	u) v) 
Bài 4: Tính các tổng sau	
a) b) 
c) d)
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) trên TXĐ b) trên TXĐ
c) , tại x = -2 c) tại điểm xo = 
 tại d) trên TXĐ
Bài 6: Tìm để hàm số sau liên tục: 
a) trên R b) tại 
c) trên R d) tại 
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình:
a/ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (- 1; 1 )
b/ có một nghiệm âm và một nghiệm dương
c/ có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d/ có ít nhất một nghiệm 
e/ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
f/ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
g/ luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
II/ ĐẠO HÀM
Bài 8: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a/ 	b/ 	c/ 	
d/ e/ 	f/ 
g/ 	h/ 	 i/ 
k/ 	 l/ 	 m/ 
n/ 	o/ 	 p/ 
Bài 9: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a/ b/ c/ d/ 
e/ f/ g/ h/ 
i/ j/ k/ l/ 
m/ n/ o/ p/ 
Bài 10: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) 2) 3)	 4) 
5) 6) 	7) y = x.cos2x 	8) y = sin5x.cos2x 
Bài 11: Giải các bất phương trình sau:
a/ với b/ y’ > 0 với 
c/ với c/ với 
Bài 12: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.	b) 	
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x	d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 
Bài 13: Cho hai hàm số:và. Chứng minh rằng:.
Bài 14: Cho hàm số 
Bài 15: 
a) b) 
c) ; Cm: 	 d) ; Cm: 2(y’)2 =(y -1)y’’
Bài 16: Cho hàm số (C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 17: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a/ Biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0. b/ Biết tung độ tiếp điểm là y0 = 0
c/ Biết tiếp tuyến đi qua A(0;3)
Bài 18: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) 
a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =x – 4.
Bài 19: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1	 b) Tại điểm có tung độ bằng 
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 
Bài 20: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng -3	 b) Tại điểm có tung độ bằng 0 
c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
B – HÌNH HỌC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = .
	1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
	2) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
	3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
	4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC. 1) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC).	 2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
	3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại A, góc = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ^ SA (H Î SA); BK ^ SC (K Î SC).
	1) Chứng minh: SB ^ (ABC) 	 2) Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.
	3) Chứng minh: DBHK vuông .	 4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a.
	1) Chứng minh ; 
	2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
	3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, và SA = SB = SD = a.
	a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
	b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
	c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của DSAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
	a) Chứng minh AC ^ SB, SB ^ (AMC).
	b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
	c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC). 
Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
	a) Chứng minh rằng (SAC) ^ (SBD), (SBD) ^ (ABCD).
	b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
	c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , đường cao SO = a. 
	a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC (SOK)
	b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD). 
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB, , hạ SH CM.
	 a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
	 b) Hạ AK ^ SH. Tính SK và AH theo a và .
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = . Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
	a) Chứng minh rằng: SO (ABCD).
	b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
	c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Bài 13: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, .
	a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
	b) Chứng minh OA vuông góc BC.
	c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B. 
	AB = BC = a, .
	a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
Bài 15: Cho hình hộp ABCD.EFGH có . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ qua ba vectơ .
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và .
	1) Chứng minh : .
	2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
	3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính .
Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD¢ và B¢C.
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
	a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.	b)cm: (SAC) v.góc (AIK).
	c) Tính góc giữa SC và (SAB). 	 d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , , . 
	a) Chứng minh: vuông và SC vuông góc với BD.
	b) Chứng minh: 
	c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
Bài 21: Cho tứ diện S.ABC có DABC đều cạnh a, . Gọi I là trung điểm BC. 
	a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
	b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ,
SO ^ (ABCD), . Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
	a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
	b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
	c) Gọi () là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (). Tính góc giữa () và (ABCD).
Bài 23: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. 
AC = a, SA = x.
	a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
	b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
	d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
 Bài 26: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A¢BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A¢BC).
Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
	a) Chứng minh: BC ^ (SAB).
	b) Giả sử SA = và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
	c) Gọi AM là đường cao của DSAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN) ^ (SBC).
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, , . 
 	1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 	2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.	3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với SA.
 	a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
 	b) CMR: MN ^ AD.
 	c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng.