Ôn tập kiểm tra học kỳ 2 – Toán lớp 11 nâng cao

ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là 4 và tổng là 72 . Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng .
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
Tìm giới hạn của dãy số () với 
Tìm giới hạn sau : 
Xét tính liên tục của hàm số .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Cho hàm số . Hãy giải bất phương trình .
 c. Cho hàm số . Chứng minh rằng : 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . 
Chứng minh rằng : mp(SAB)mp(SBC) .
Chứng minh rằng : BDmp(SAC) .
 c. Biết SA= . Tính góc giữa SC và mp(ABCD) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Gọi n là số lượng số hạng , là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 Vậy cấp số cộng này có 12 số hạng .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : 
Vì nên 
(1đ) 
 c. (1đ) Tập xác định D = 
 Ta có : f(1) = 3+2(1) = 1 
 Vì nên không tồn tại 
 Vậy hàm số đã cho không liên tục tại 
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1đ) Ta có : 
 Do đó : 
 c) (1đ) Ta có : 
 Hay 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Vì (1) , do .
 Mặt khác : (2) , do ABCD là hình vuông .
 Từ (1) , (2) suy ra , Vì 
(1đ) Ta có : (3) , do ABCD là hình vuông 
 Vì (4) , do .
 Từ (3),(4) suy ra : 
(1đ) Do 
 Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là 
 Tam giác SAC vuông tại A , ta có :
ĐỀ 2
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 . Tính công bội q và tổng các số hạng .
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
Tìm giới hạn của dãy số () với 
Tìm giới hạn sau : 
Xét tính liên tục của hàm số .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Cho hàm số . Hãy tính : .
Cho hàm số . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp 
 tuyến có hệ số góc là 1 . 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vuông góc với mặt phẳng 
 (BCD) . Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD .	.
Chứng minh rằng : Mp(ABC)mp(ADI) .
Chứng minh rằng : CDmp(ABE) .
 c. Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Ta có n = 9 là số lượng số hạng , =5 là số hạng đầu tiên , =1280 là số hạng đầu tiên , 
 q là công bội của cấp số nhân .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 + q = 2 
 + q = 2 
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : ta có tổng là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có , do đó : 
Suy ra : 
(1đ) 
 c. (1đ) Ta có : f(1) = 2 
 Vì 
 Vậy hàm số đã cho liên tục tại 
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1đ) Ta có : 
 Do đó : 
 c) (1đ) Gọi là hoành độ tiếp điểm . Vì .
 Theo giả thiết , ta có : 
 Áp dụng công thức : 
 tiếp tuyến 
 tiếp tuyến 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Vì (1) , do .
 Mặt khác : (2) , do DI là đường cao của tam giác BCD .
 Từ (1) , (2) suy ra , vì 
(1đ) Ta có : (3) , do BE là đường cao của tam giác BCD . 
 Vì (4)
 Từ (3),(4) suy ra : (5) , do định lí 3 đường vuông góc .
 Từ (3),(5) suy ra : CD(ABE) .
(1đ) Do = 
ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
Tìm giới hạn của dãy số () với 
Tìm giới hạn sau : 
Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Cho hàm số . Hãy giải bất phương trình .
 c. Cho hàm số có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : . 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng : AImp(MBC) .
Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) .
 c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Gọi là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 Vậy cấp số cộng này có .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : 
Vì nên 
(1đ) 
 Vì 
 c. (1đ) Tập xác định D = 
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên (1)
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên (2) 
 + Tại 
 Ta có : f(1) = 2( 3 = 1 
 Vì nên 
 Vậy hàm số đã cho không liên tục tại (3) 
 Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1đ) Ta có : 
 Do đó : 
 c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là () . Vì () // (d) : nên () có hệ số góc k = .
 Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Ta có : nên 
 Suy ra phương trình tiếp tuyến : 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Ta có : do AI (ABC) (1) .
 Mặt khác : (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI .
 Từ (1) , (2) suy ra 
 b. (1đ) Ta có : (3) 
 Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là .
 Vì tam giác MBI vuông góc nên 
(1đ) Do , suy ra : . 
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI . 
Từ B kẻ BHMI suy ra 
 .
Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có : 
 nên : 
ĐỀ 4
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Cho cấp số nhân () có .Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
Chứng minh rằng dãy số () với là một dãy số giảm và bị chặn .
Tìm giới hạn sau : 
 c. Cho hàm số .Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Tính gần đúng giá trị .
 c. Chứng minh rằng phương trình = 0 có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ .
Chứng minh rằng : ABmp(COO’) .
 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Gọi là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 Lấy (1) chia (2) , ta được : . Thay vào (2) : 
 Vậy cấp số nhân này có .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : . Suy ra :
 + . Suy ra () là dãy số giảm .
 + Vì nên ( ) là một dãy số bị chặn .
b. (1đ ) 
 c. (1đ) Tập xác định D = 
 + Nếu thì là hàm số liên tục trên với 
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên 
 Do đó : hàm số f(x) liên tục trên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 
 Vậy với hàm số đã cho liên tục 
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1,0đ) Áp dụng công thức : 
 Phân tích : . Chọn : 
 Đặt f(x) = sinx , ta có : 
 Suy ra : 
 Vậy : 
(1,0đ) Xét hàm số : f(x) = liên tục khi .
Ta có : f(0) = 1 , f() = < 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Ta có : ABC đều nân ABCO .
 Mặt khác : . Vì OO’ // AA’ và AA’(ABC) 
 Suy ra : 
(2đ) 
 + Xác định :
 Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB . 
 Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) .
 Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]
 Ta có : 
 Do đó khi kẻ OHO’C thì OH (CO’B’) , 
 + Tính khoảng cách :
 Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên 
 Vậy : d(AB,CB’) = OH =