Ôn tập kiểm tra học kỳ 2 – Toán lớp 11 nâng cao - Đề 3

ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
Tìm giới hạn của dãy số () với 
Tìm giới hạn sau : 
Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Cho hàm số . Hãy giải phương trình .
 c. Cho hàm số có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : . 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng : AImp(MBC) .
Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) .
 c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Gọi là số hạng đầu , d là công sai của cấp số cộng .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 Vậy cấp số cộng này có .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : 
Vì nên 
(1đ) 
 Vì 
 c. (1đ) Tập xác định D = 
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên (1)
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên (2) 
 + Tại 
 Ta có : f(1) = 2( 3 = 1 
 Vì nên 
 Vậy hàm số đã cho liên tục tại (3) 
 Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1đ) Ta có : 
 Do đó : 
 c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là () . Vì () // (d) : nên () có hệ số góc k = .
 Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Ta có : nên 
 Suy ra phương trình tiếp tuyến : 
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Ta có : (1) , do AI (ABC) .
 Mặt khác : (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI .
 Từ (1) , (2) suy ra 
 b. (1đ) Ta có : 
 Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là .
 Vì tam giác MBI vuông góc nên 
(1đ) Do , suy ra : . 
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI . 
Từ B kẻ BHMI suy ra 
 .
Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có : 
 nên :