Ôn tập kiểm tra học kỳ 2 – Toán lớp 11 nâng cao - Đề 4

ĐỀ 4
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Cho cấp số nhân () có .Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
Chứng minh rằng dãy số () với là một dãy số giảm và bị chặn .
Tìm giới hạn sau : 
 c. Cho hàm số .Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên .
Câu III ( 3,0 điểm ) 
Tìm đạo hàm của hàm số .
Tính gần đúng giá trị .
 c. Chứng minh rằng phương trình = 0 có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ .
Chứng minh rằng : ABmp(COO’) .
 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm ) 
 Gọi là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân .
 Áp dụng công thức : , ta có :
 Lấy (1) chia (2) , ta được : . Thay vào (2) : 
 Vậy cấp số nhân này có .
Câu II ( 3,0 điểm ) 
( 1đ ) Ta có : . Suy ra :
 + . Suy ra () là dãy số giảm .
 + Vì nên ( ) là một dãy số bị chặn .
b. (1đ ) 
 c. (1đ) Tập xác định D = 
 + Nếu thì là hàm số liên tục trên 
 + Nếu thì là hàm đa thức nên liên tục trên 
 Do đó : hàm số f(x) liên tục trên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 
 Vậy với hàm số đã cho liên tục 
Câu III ( 3,0 điểm ) 
 a. (1đ) Ta có : 
 b. (1,5đ) Áp dụng công thức : 
 Phân tích : . Chọn : 
 Đặt f(x) = sinx , ta có : 
 Suy ra : 
 Vậy : 
(0,5đ) Xét hàm số : f(x) = liên tục khi .
Ta có : f(0) = 1 , f() = < 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm ) 
(1đ) Ta có : ABC đều nên ABCO .
 Mặt khác : . Vì OO’ // AA’ và AA’(ABC) 
 Suy ra : 
(2đ) 
 + Xác định :
 Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB . 
 Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) .
 Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’O’)]
 Ta có : 
 Do đó khi kẻ OHO’C thì OH (CO’B’) , 
 + Tính khoảng cách :
 Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên 
 Vậy : d(AB,CB’) = OH =