Ôn tập môn Toán thi tốt nghiệp THPT năm 2009

¤N TËP M«n to¸n 
Biên soạn: Đỗ Cao Long 
THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
I 
· Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. 
· Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị 
của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, 
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ 
thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ 
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);... 
3,0 
II 
· Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 
· Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 
Tìm nguyên hàm, tính tích phân. 
· Bài toán tổng hợp. 
3,0 
III 
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh 
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối 
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; 
tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 
1,0 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương 
trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
IV.a 
Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ. 
- Mặt cầu. 
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí 
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
2,0 
V.a 
· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. 
Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực 
có biệt thức D âm. 
· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích 
khối tròn xoay. 
1,0 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu Nội dung kiến thức Điểm 
IV.b 
Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ. 
- Mặt cầu. 
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt 
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối 
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
2,0 
V.b 
· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. 
Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số 
phức. Dạng lượng giác của số phức. 
· Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 
2 + +
=
+
ax bx c
y
px q
 và 
một số yếu tố liên quan. 
· Sự tiếp xúc của hai đường cong. 
· Hệ phương trình mũ và lôgarit. 
· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích 
khối tròn xoay.. 
1,0 
┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 3 4 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Chuyên đề I: 
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng 
dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 
1. Chiều biến thiên của hàm số. 
Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số ( )y f x= 
1. Tìm tập xác định 
2. Tính đạo hàm ( )y f x¢ ¢= . Giải phương trình ( ) 0f x¢ = để 
tìm các nghiệm ( )1,2...,ix i n= . 
3. Sắp xếp các nghiệm ix theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải 
và lập bảng biến thiên của hàm số. 
4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà ( ) 0f x¢ > và 
ngược lại). 
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số 24y x= - 
Gợi ý giải: 
· Đ/k xác định: 24 0x- ³ 2 4 2 2x xÛ £ Û - £ £ 
Tập xác định của hàm số [ ]2;2D = - . 
· Đạo hàm: ( )
2
2 2
4
2 4 4
x x
y
x x
¢- -¢ = =
- -
0 0y x¢ = Û = thuộc [ ]2;2- 
Dấu của y¢ cùng dấu với biểu thức x- . 
· Ta có bảng biến thiên 
x -2 0 2 
y¢ + 0 - 
y 
0 
 2 
0 
· Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng 
( )2;0- và nghịch biến rtreen khoảng ( )0;2 
Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng ( );a b 
hoặc hàm số gián đoạn tại 0x thì ta cần tính các giới hạn 
lim
x a
y
+®
, lim
x b
y
-®
 và 
0
lim
x x
y
+®
, 
0
lim
x x
y
-®
 để điền vào bảng biến 
thiên. 
Bài tập: 
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác 
định của chúng: 
1) 5 3
1 4
3 1
5 3
y x x x= - + + ; 
2) 
4
1
y x
x
= +
-
; 
3) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) tan sin , 0
2
x x x
p
> < < 
b) 1 1 , 0
2
x
x x+ . 
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch 
biến của hàm số 4 28 2y x x= - + . 
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch 
biến của hàm số 3 3 1y x x= - + . 
Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( )2;0 , 2;- +¥ 
H/số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ); 2 , 0;2-¥ - 
Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng ( )1;1-
┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 5 6 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
2. Cực trị của hàm số. 
Lý thuyết: 
- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. 
Dạng 1: Tìm m để hàm số ( ),y f x m= đạt cực đại (hoặc cực tiểu) 
tại 0x x= . 
Cách giải: 
· Tính ( ),y f x m¢ ¢= 
· Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại 
0x x= là ( ) ( )0 0, 0y x f x m¢ ¢= = . 
Giải phương trình này tìm được m. 
· Thử lại (Điều kiện đủ) 
Với giá trị của m tìm được, ta tính ( )0y x¢¢ . 
- Nếu ( )0 0y x¢¢ > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x= 
- Nếu ( )0 0y x¢¢ < thì hàm số đạt cực đại tại 0x x= . 
Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. 
· Kết luận. 
Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm 
tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại 0x x= . 
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 
2 1x mx
y
x m
+ +
=
+
 đạt cực đại tại 2x = . 
Gợi ý giải: 
Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được 1y x
x m
= +
+
· Đ/k xác định 0x m x m+ ¹ Û ¹ - 
· Đạo hàm 
( )2
1 1
1y x
x m x m
¢æ ö¢ = + = -ç ÷+è ø +
( )
( )2
1
2 1
2
y
m
¢ = -
+
· Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại 2x = là ( )2 0y¢ = 
( )
( )22
1
1 0 2 1
2
m
m
Û - = Û + =
+
2 1 1
2 1 3
m m
m m
+ = = -é é
Û Ûê ê+ = - = -ë ë
· Thử lại (đ/k đủ) 
Ta có 
( ) ( )2 3
1 2
1 0y
x m x m
¢æ ö
¢¢ ç ÷= - = +
ç ÷+ +è ø ( )
3
2
x m
=
+
- Với 1m = - , ta có ( )
( )3
2
2 2 0
2 1
y¢¢ = = >
-
 nên trường hợp này 
hàm số đạt cực tiểu tại 2x = (không thỏa đề bài). 
- Với 3m = - ta có ( )
( )3
2
2 2 0
2 3
y¢¢ = = - <
-
 nên trường hợp này 
hàm số đạt cực đại tại 2x = (thỏa đề bài) 
· Kết luận: Giá trị của m phải tìm là 3m = - . 
Dạng 2: Chứng minh hàm số ( ),y f x m= luôn có cực trị với mọi 
giá trị của tham số m. 
Cách giải: 
Chứng tỏ ( ), 0fy x m = luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy 
qua các nghiệm đó. 
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y¢ có delta dương; 
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để 
tìm m để y¢ có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm. 
┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 7 8 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số 3 2 1y x mx x= - - + luôn có 
một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. 
Gợi ý giải: 
· Tập xác định của hàm số: D = ¡ 
· Đạo hàm 23 2 2y x mx¢ = - - là tam thức bậc hai có 
( ) ( )2 22 4.3. 2 4 24m mD = - - = + 0, m> " Ρ . 
Suy ra 0y¢ = có hai nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu (có thể lập 
bảng xét dấu với hai nghiệm 1 2,x x ) khi x đi qua hai nghiệm đó. 
· Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số 3 26 9y x x x= - + có đồ 
thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng 
2y x m m= + - đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm 
cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). 
Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2 5
3
y x mx m xæ ö= - + - +ç ÷
è ø
 có cực trị 
tại 1x = . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị 
tương ứng ? 
Câu 3: (TN BTTH 2006) 
Chứng minh hàm số ( )3 21 2 3 9
3
y x mx m x= - - + + luôn có 
cực trị với mọi giá trị của tham số m ? 
Gợi ý – đáp số: 
Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số ( )3;0A , ( )1;4B 
Trung điểm hai cực trị ( )2;2M . Cho ( )2;2M thuộc đường 
thẳng 2y x m m= + - , ta có 22 2 m m= + - . Giải tìm m. 
Câu 2: 7 3m = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = . 
3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. 
Lý thuyết: 
Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )C và ( )0 0;M x y là điểm trên 
( )C . Tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại ( )0 0;M x y có: 
- Hệ số góc: ( )0k f x¢= 
- Phương trình: ( )0 0y y k x x- = - 
Hay ( )( )0 0 0y y f x x x¢- = - 
Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại ( )0 0;M x y chúng ta cần đủ ba 
yếu tố sau: 
- Hoành độ tiếp điểm: 0x 
- Tung độ tiếp điểm: 0y {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng 
cách thay 0x vào hàm số ( )0 0y f x= } 
- Hệ số góc ( )0k f x¢= 
Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm ( )0 0;M x y , 
hoặc hoành độ 0x , hoặc tung độ 0y . 
Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 22 1y x x= - + 
tại điểm ( )2;9M - . 
Gợi ý giải: 
· Ta có (đạo hàm): 34 4y x x¢ = - 
· T/tuyến tại ( )2;9M - có: 
- Hệ số góc ( ) ( ) ( )32 4 2 4 2 24k y¢= - = - - - = - 
- P/trình: ( )( )9 24 2y x- = - - - 
Hay 24 39y x= - - 
Ở đây cần biết: 
┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 9 10 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
0 2x = - , 0 9y = ở tọa độ của M (đề đã cho). 
Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số 1
1
x
y
x
-
=
+
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 
b) Tại điểm có tung độ bằng 3 . 
Gợi ý giải: 
a) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
¢ ¢- + - + -
¢ =
+ ( )2
2
1x
=
+
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 2x = . 
· Tung độ tiếp điểm: 00
0
1 2 1 1
1 2 1 3
x
y
x
- -
= = =
+ +
· Hệ số góc của tiếp tuyến tại 12;
2
æ ö
ç ÷
è ø
 bằng : 
( )
( )2
2 2
2
92 1
k y¢= = =
+
· P/trình tiếp tuyến: ( )1 2 2
3 9
y x- = - . Hay 
2 1
9 9
y x= - 
Với dạng này, đề cho 0 2x = , ta cần tính 00
0
1
1
x
y
x
-
=
+
 và tính 
đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến ( )0k y x¢= ( )2y¢= . 
b) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
¢ ¢- + - + -
¢ =
+ ( )2
2
1x
=
+
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )0 0;x y . Theo giả thiết có 0 3y = . 
· Vậy 00
0
1
3
1
x
y
x
-
= =
+
( )0 01 3 1x xÛ - = + 0 2xÛ = - 
· Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0; 2;3x y = - là: 
( )
( )2
2
2 2
2 1
k y¢= - = =
- +
· P/trình tiếp tuyến cần tìm: ( )( )3 2 2y x- = - - . 
Hay 2 7y x= + . 
Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. 
Dấu hiệu: 
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = 
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 0d ax by c+ + = 
Cách giải: 
· Cần biết (rút y theo x) 
( ) : a cd y x
b b
= - - nên ( )d có hệ số góc ak
b
¢ = - . 
· Khi t/tuyến song song với ( )d thì hế số góc của t/tuyến bằng 
hệ số góc của ( )d và bằng ak k
b
¢= = - . 
· Khi t/tuyến vuông góc với ( )d thì hế số góc k của t/tuyến và 
hệ số góc k¢của ( )d thỏa mãn . 1k k¢ = - . 1ak
b
æ öÛ - = -ç ÷
è ø
Lời giải (Các bước): 
· Tính đạo hàm hàm số ( )y f x¢ ¢= 
Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên) 
· Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm 
· Hệ số góc của t/tuyến ( )0k y x¢= . 
┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 11 12 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
- Giải ph/trình này tìm được 0x 
- Thay vào ( )0 0y f x= để tính tung độ tiếp điểm 
· Viết p/trình t/tuyến. 
Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số 2
1
x
y
x
=
-
, biết: 
a) Hệ số góc của t/tuyến bằng 2- . 
b) T/tuyến song song với đường thẳng ( ) 1: 2d y x= - . 
c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 9: 12y xD = + 
Gợi ý giải: 
a) · Ta có 
( )
( ) ( )2 2
2 1 2 2
1 1
x x
y
x x
- - -¢ = =
- -
· Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại 
( )0 0;x y bằng ( ) ( )0 20
2
1
y x
x
-¢ =
-
Theo giải thiết ta có ( )0 2y x¢ = - ( )20
2
2
1x
-
Û = -
-
( )20 1 1xÛ - = 0 0
0 0
1 1 2
1 1 0
x x
x x
- = =é é
Û Ûê ê- = - =ë ë
· Với 0 2x = , ta có 00
0
2 2.2
4
1 2 1
x
y
x
= = =
- -
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( )2;4 là 
( )4 2 2y x- = - - hay 2 8y x= - + . 
· Với 0 0x = , ta có 00
0
2 2.0
0
1 0 1
x
y
x
= = =
- -
. 
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( )0;0 là 
( )0 2 0y x- = - - hay 2y x= - . 
· Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 
2 8y x= - + ; 2y x= - 
Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến ( )0 2k y x¢= = - (đề cho). 
b) T/tuyến song song với ( )d nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số 
góc của ( )d , bằng 12k = - . 
· Gọi ( )0 0;x y là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại 
( )0 0;x y bằng ( ) ( )0 20
2
1
y x
x
-¢ =
-
Vậy ( )0y x k¢ = ( )20
2 1
21x
-
Û = -
-
( )20
1
1
4
xÛ - = 
0 0
0 0
311 2 2
1 11 2 2
x x
x x
éé - = =
êêÛ Û
êê - = - =ë ë
· Với 0
3
2
x = , ta có 00
0
32.2 2 6
31 12
x
y
x
= = =
- -
. 
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại 3 ;6
2
æ ö
ç ÷
è ø
 là 
1 3
6
2 2
y xæ ö- = - -ç ÷
è ø
 hay 
1 27
2 4
y x= - + 
· Với 0
1
2
x = , ta có 00
0
12.2 2 2
11 12
x
y
x
= = = -
- -
. 
┼- 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 13 14 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại 1 ; 2
2
æ ö-ç ÷
è ø
 là 
( ) 1 12
2 2
y xæ ö- - = - -ç ÷
è ø
 hay 
1 7
2 4
y x= - - 
· Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 
1 27
2 4
y x= - + ; 
1 7
2 4
y x= - - 
c) Đường thẳng ( ) 9: 12y xD = + có hệ số góc 
9
2
k¢ = . 
· Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với ( )D nên 
ta có 
9
. 1 . 1
2
k k k¢ = - Û = -
2
9
kÛ = - . 
Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b). 
· Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là 
2 32
9 9
y x= - + ; 
2 8
9 9
y x= - + 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3
1
x
y
x
+
=
+
 tại 
điểm thuộc đồ thị có hoành độ 0 3x = - . 
Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 
(C) hàm số 3 3 2y x x= - + tại điểm A(2;4). 
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): 
Cho hàm số 1
2
x
y
x
-
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của 
(C) với trục tung. 
Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): 
Cho hàm số 3 2
1
x
y
x
-
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ 
bằng 0 2y = - . 
Đáp số: Câu 1: 1 3
4 4
y x= - + ; Câu 2: 9 14y x= - 
Câu 3: 
4 1
3 3
y x= - ; Câu 4: 5 2y x= - 
4. Tương giao giữa hai đồ thị. 
Lý thuyết: 
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x= để biện luận theo m số 
nghiệm của phương trình ( )f x m= . 
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
3 3y x x= - . Dựa vào đồ thị ( )C , biện luận theo m số nghiệm 
của phương trình 3 3 1 0x x m- + - = (1). 
Gợi ý giải: 
· Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C (2 điểm) 
Học sinh tự làm. · Đồ thị (xem hình) 
┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 15 16 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
x
y
3
- 3
-2
-1
2
0 1
· Viết lại (1) dưới dạng 
(1) 3 3 1x x mÛ - = - (2) 
Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C của hàm số 
3 3y x x= - với đường thẳng ( ) : 1d y m= - (song song với trục 
hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của ( )d và ( )C . 
· Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau: 
* Với 1 2 1
1 2 3
m m
m m
- < - < -é é
Ûê ê- > >ë ë
 , ta thấy ( )d và ( )C không có 
điểm chung. Suy ra (2) vô nghiệm 
* Với 1 2 1
1 2 3
m m
m m
- = - = -é é
Ûê ê- = =ë ë
, ta thấy ( )d cắt ( )C tại một điểm 
và tiếp xúc tại một điểm. Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn 
và một nghiệm kép) 
Nói đơn giản hơn là ( )d và ( )C có hai điểm chung nên (2) có 
hai nghiệm. 
* Với 1 2 1
1 2 3
m m
m m
- > - > -ì ì
Ûí í- < <î î
, ta thấy ( )d cắt ( )C tại ba điểm 
phân biệt. Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt. 
· Kết luận: 
* Với 1m , p/trình (1) vô nghiệm. 
* Với 1m = - hoặc 3m = , p.trình (1) có hai nghiệm. 
* Với 1 3m- < < , p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 
Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng ( )d : 0ax by c+ + = cắt đồ thị hàm 
số ( ) mx ny f x
cx d
+
= =
+
 tại hai điểm phân biệt, hoặc không cắt 
Cách giải: 
· Viết lại ( ) : a cd y x
b b
= - - 
· Lập p/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C : 
mx n a c
x
cx d b b
+
= - -
+
 (1) 
Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng 
( ) 2, 0f x m Ax Bx C= + + = với 0 dcx d x
c
+ ¹ Û ¹ - 
Tính 2 4B ACD = - 
· Đến đây cần chứng tỏ 0D > với mọi m và ,df m
c
æ ö-ç ÷
è ø
0¹ 
và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ( )d cắt 
( )C tại hai điểm phân biệt. 
- Tương tự, kết luận cho tr.hợp 0; 0D < D = . 
Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với 
mọi giá trị thực của m, đường thẳng ( ) : 2d y x m= + luôn cắt 
đồ thị ( )C của hàm số 3
1
x
y
x
+
=
+
 tại hai điểm phân biệt M, N. 
Gợi ý – Giải: 
┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 17 18 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
· P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C là 
3
2
1
x
x m
x
+
= +
+
 (1) 
( )( ) ( )3 2 1 , 1 0x x m x xÛ + = + + + ¹ 
( )22 1 3 0x m x mÛ + + + - = , ( )1x ¹ - (2) 
· P/trình (2) là p/trình bậc hai có ( ) ( )21 4.2. 3m mD = + - - 
( )22 6 25 3 16m m mD = - + = - + 0> với mọi m. (a) 
Mặt khác, thay 1x = - vào vế trái của (2) ta được 
( ) ( )22. 1 1 3 2 0m m- - + + - = - ¹ với mọi m. (b) 
· Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt 
thỏa 1x ¹ - . Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy đ/thẳng ( )d luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt với mọi 
giá trị của m. 
Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị ( )mC của 
hàm số ( )3 23 1y x m x m= + + + - cắt trục hoành tại điểm có 
hoành độ 2x = - . 
· Phân tích bài toán: 
- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ 0y = . 
- Vậy ( )mC cắt trục hoành tại điểm ( ) ( ); 2;0x y = - . 
- Điểm này thuộc ( )mC nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình ( )mC . 
Lời giải: 
· Từ giả thiết ta suy ra ( )mC cắt trục hoành tại điểm ( )2;0- , thay 
tọa độ điểm này vào p/trình của ( )mC ta được: 
( ) ( )( )3 20 2 3 2 1m m= - + + - + - 
( )8 4 3 1 0m mÛ - + + + - = 3 5 0mÛ + = 5
3
mÛ = - 
· Vậy 5
3
m = - là giá trị cần tìm. 
Bài tập: 
Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): 
Cho hàm số 3 22 3 1y x x= + - . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 
3 22 3 1x x m+ - = 
Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB): 
Cho hàm số 3 23y x x= - . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 
3 23 0x x m- - = 
Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban): 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 23y x x= - + 
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương 
trình 3 23 0x x m- + - = . 
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 
5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. 
Lý thuyết: 
- Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; 
Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 3
1
x
y
x
-
=
+
 có tọa độ là 
những số nguyên. 
Giải: 
· Đ/k xác định: 1 0 1x x+ ¹ Û ¹ - 
┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 19 20 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
· Chia tử cho mẫu ta có 41
1
y
x
= -
+
Xét điểm ( );x y thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có 41
1
y
x
= -
+
. 
· Với x΢ ta có 41
1
y
x
= - Î
+
¢ 4
1x
Û Î
+
¢ 1xÛ + là các 
ước số nguyên của 4. 
Các trường hợp xảy ra: 
1 4x + = 3xÛ = , ta có 
3 3
0
3 1
y
-
= =
+
1 4x + = - 5xÛ = - , ta có 2y = 
1 2 1x x+ = Û = , ta có 1y = - 
1 2 3x x+ = - Û = - , ta có 3y = 
1 1 0x x+ = Û = , ta có 3y = - 
1 1 2x x+ = - Û = - , ta có 5y = 
· Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là: 
( )3;0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5- - - - - 
Bài tập: 
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 2 2
2
x
y
x
+
=
-
 có tọa độ là những số 
nguyên. 
6. Khảo sát hàm số 
Sơ đồ: 
· Tập xác định. 
· Đạo hàm ( )y f x¢ ¢= 
Giải p/trình ( ) 0f x¢ = 
· Tính các giới hạn lim
x
y
®±¥
; tiệm cận với hàm hữu tỷ ax by
cx d
+
=
+
Và 
( )
lim
dx c
y
±
® -
= ±¥ để suy ra tiệm cận đứng là đ/t ax c= ; 
lim
x
ay c®±¥
= , suy ra tiệm cận ngang là đ/t ay c= 
· Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các 
giới hạn đã tính) 
· Dựa vào bảng biến thiên suy ra: 
- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số; 
- Cực trị của hàm số (nếu có). 
· Vẽ đồ thị: 
- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho 0y = , tìm x. 
- Xác định giao điểm với trục tung: Cho 0x = , tìm y. 
- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ 
thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc 
bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao 
điểm 2 t/cận) 
┼- 11Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 21 22 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
Chuyên đề II: 
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
Lý thuyết: 
 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= liên tục 
trên đoạn [ ];a b . 
· Tính đạo hàm ( )y f x¢= 
Giải phương trình ( ) 0f x¢ = và tìm các nghiệm 0x thuộc 
đoạn [ ];a b (các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy ) 
· Tính ( ) ( ) ( )0, ,f a f b f x 
· So sánh các số trên và kết luận. 
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ }0
;
min min , ,
a b
f x f a f b f x= 
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ }0
;
max max , ,
a b
f x f a f b f x= 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
1
2
x
y
x
= + + trên đoạn [ ]1;3 . 
Gợi ý- Giải: 
· Đạo hàm 2
2 1
2
y
x
¢ = - + 
· 22
2 1
0 0 4 2
2
y x x
x
¢ = Û - + = Û = Û = ± 
Trên đoạn [ ]1;3x = ta lấy 2x = . 
· Ta có ( ) 2 1 71 1
1 2 2
y = + + = ; ( ) 2 22 1 3
2 2
y = + + = 
( ) 2 3 193 1
3 2 6
y = + + = 
· So sánh các số trên ta suy ra 
[ ]
( )
1;3
min 2 3y y= = ; 
[ ]
( )
1;3
7
max 1
2
y y= = 
Bài tập 
Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của 
hàm số ( ) 2 cosf x x x= + trên đoạn 0;
2
pé ù
ê úë û
. 
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của 
hàm số 4 22 1y x x= - + trên đoạn [ ]0;2 . 
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
2 1
3
x
y
x
-
=
-
 trên đoạn [ ]0;2 . 
Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm 
số 4 22 4 3y x x= - + + trên đoạn [ ]0;2 . 
Câu 5 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm 
số 3 22 6 1y x x= - + trên đoạn [ ]1;1- . 
Chuyên đề III: 
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. 
Lý huyết 
- Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1a< ¹ ) 
.x y x ya a a+ = ; ( ) ( ).y xx x y ya a a= = 
x
x y
y
a
a
a
- = ; 
1 x
x aa
-= . 
Ghi nhớ công thức khử cơ số: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = 
( ) ( )1 0f xa f x= Û = ; 
┼- 12Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ 
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 23 24 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 
┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 
( ) ( ) logf x aa c f x c= Û = 
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2. . 0x xm a n a p+ + = (1) 
Cách giải: 
· Đặt ( ), 0xt a t= > , khi đó ( )22 2x xt a a= = . 
Ta có p/trình ( )2. . 0, 0m t n t p t+ + = > (2) 
· Giải p/trình (2), tìm nghiệm 0t > 
· Giải p/trình logx aa t x t= Û = 
· Kết luận, nghiệm của (1) 
Ví dụ: Giải các phương trình sau 
1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 
2) ( ) ( )2. 3 2 2 2 1 1 0x x- - - - = 
Lời giải : 
1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 23.3 4.3 1 0x xÛ - + = 
Đặt ( )3 , 0xt t= > , khi đó 2 23 xt = . 
Ta có p/trình 23 4 1 0t t- + = , ( )0t > 
Giải p/trình này được 11;
3
t t= = (thỏa mãn đ/k 0t > ) 
· Với 1t = , ta có 03 1 3 3