Ôn tập Toán Lớp 9 - Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovsky

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY
MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY
 Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trị cụ thể.
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho n số thực không âm , , ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Kỹ thuật tách ghép bộ số
 Kỹ thuật tách ghép cơ bản
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm)
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm)
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (1)
Tương tự: (2)
Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm)
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 (đpcm) 
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTLN của: 
Giải:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTLN của A là 337500. 
 Kỹ thuật tách nghịch đảo
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Giải: 
 Vì nên 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Với , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (đpcm)
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
 Vậy GTNN của 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
 Vậy GTNN của 
Bài 7: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Bài 8: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:
Phép nhân:
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Ta có:
Bài 2: Cho ba số thực . CMR: 
Giải:
Ta có:
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa . CMR:
Giải:
Vậy 
Bài 4: Cho . CMR:
Giải:
Ta có:
Bài 5: Cho . CMR:
Giải:
Ta có:
 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với và thì
Chứng minh bất đẳng thức trên : 
Ta có với thì
Với và thì
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Ta có:
Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 
(Bất đẳng thức Nesbit)
Giải:
Ta có:
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:
Do đó
 (đpcm)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải:
Do ta có:
Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn.
Bài 1: Cho CMR:
(1)
Giải: 
Đặt: 
 Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên : 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Hay (đpcm)
Bài 2: Cho CMR:
(1)
Giải: 
 Đặt:
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
Ta có:
Hay (đpcm)
Bài 3: Cho CMR:
(1)
Giải: 
Đặt: 
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
Ta có: Hay (đpcm)
Bài 4: Cho . CMR:
 (1)
Giải: 
 Ta có: 
 Tương tự: 
 Đặt: 
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
Ta có:
Hay (đpcm)
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: (1)
 Giải: 
Đặt: 
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:
Ta có: 
Hay (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa . CMR:
 (1)
 Giải: 
 Đặt: 
 Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
Ta có: 
 Vậy (đpcm)
 Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện . 
 Tìm GTNN của biểu thức:
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Đặt:
Khi đó
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biến
Xét các bài toán sau: 
Bài toán 1: Cho số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
Sai lầm thường gặp là: . Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 vô lý vì theo giả thuyết thì .
Lời giải đúng: 
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là . 
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số và vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “Điểm rơi ” thì , ta có sơ đồ sau:
Khi đó: và ta có lời giải như trên.
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số ta có thể chọn các các cặp số sau: hoặc hoặc .
Bài toán 2: Cho số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Sơ đồ điểm rơi:
Sai lầm thường gặp là: . Dấu “=” xảy ra .
Vậy GTNN của A là 
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ là sai”.
Lời giải đúng: 
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Ta có: 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 2: Cho số thực . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Ta có
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi . Ta có sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 39 
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi .
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi .
 Giải:
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 (đpcm)
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau: 
 Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa .. Tìm GTNN của 
Sai lầm thường gặp là: 
 Vậy GTNN của A là 4.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 . Khi đó trái giả thuyết .
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng: 
 Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
 Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTN	N của :
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 4
 Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 7	
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 20	
 Bài 9: Cho ba số thực dương thỏa . Tìm GTLN của
Đề thi Đại học khối A năm 2005
Giải:
Tương tự:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTLN của P là 1
Kỹ thuật nhân thêm hệ số
Bài 1: Tìm GTLN của : 
Giải: 
 Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 2: Tìm GTLN của : 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa . Tìm GTLN của 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 36
Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa . Tìm GTLN của: 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 Khi đó ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTLN của: 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp.
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có 
nên (đpcm)
Kỹ thuật hạ bậc
Bài toán 1 
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức và gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho và cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện và . Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi , từ (*) ta có . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: và ta có:
 (1) Dấu “=” xảy ra 
Tương tự:
 (2) Dấu “=” xảy ra 
 (3) Dấu “=” xảy ra 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
.
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện (*). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho và cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện và . Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi , từ (*) ta có . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: và 5 số ta có:
 (1) Dấu “=” xảy ra 
Tương tự:
 (2) Dấu “=” xảy ra 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(1) ; (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm) 
Bài3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số và 2 số 1, ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số , 3 số và số 1, ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(1); (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số ,1 số và 1 số ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c, m, n. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m+n số: m số và n số ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) 
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng trong chứng minh các bài toán sau này.
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải:
Từ kết quả bài 7 ta có 
Chọn ta được: 
Tương tự: 
 (2) 
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
(đpcm)
 Bài toán 2
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên. Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại tách được . Nếu tách cách khác, chẳng hạn liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách cũng không phải là sự may mắn. Bây giờ ta sẽ tìm lí do việc tách ở bài toán trên.
Với . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Lúc này ta cân bằng điều kiện giả thuyết, tức là:
Khi đó ta có lời giải bài toán như trên.
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . CMR: :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
 Bài toán 3
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phân tích:
Dự đoán A đạt GTLN khi 
Giả sử A đạt GTLN khi . Ta có (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: và 2 số ta có:
Tương tự:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Đẻ xuất hiện ở vế phải ta chọn sao cho 
Từ (1) và (2) ta có hệ: 
 Khi đó ta có lời giải sau:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy GTLN của A là 
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Với . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Chọn sao cho 
Ta có hệ phương trình: 
Khi đó ta có lời giải bài toán như sau
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 12
Kỹ thuật cộng thêm
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ: 
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , ta chọn .
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm . Chọn mẫu là số 9 vì .
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) ;
 (4) ; (5) ; (6) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; 
 (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ;
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) 
 (2)
 (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1)
 (2) ; (3) 
 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 
 (đpcm)
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 10: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 11: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 12: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; 
 (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mà ta có:
 ;
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:
 (đpcm)
Bài 13: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 14: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu
Xét bài toán sau: 
Bài toán: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Phân tích và giải: 
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:
 Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ở đây ta sẽ sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy theo cách khác:
 Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1. Khi đó dấu của bất đẳng thức ban đầu sẽ không đổi chiều.
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
 Tương tự ta có: ; 
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm) 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Từ (1’) và (2’) ta có: 
 (đpcm)
 Lưu ý: Ta sẽ sử dụng kết quả trong chứng minh các bài toán khác.
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Vậy
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có: ; 
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (1’) 
Mặt khác ta có:
 (2’)
 (3’)
Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
 Tương tự ta có:; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Cộng theo vế (1’) và (2’) ta được: 
 (đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện .
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có: 
 (1’)
Tương tự:
 (2’) ; (3’)
 Cộng theo vế (1’), (2’) và (3’) ta có
 Từ (*) và (**) ta có: 
 (đpcm)
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được:
 Từ (*) và (**) ta có: (đpcm) 
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI 
BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI 
Cho 2n số thực bất kì , ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (quy ước thì )
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Kỹ thuật tách ghép bộ số
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa . CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
Vậy 
Bài 2: Cho các số thực dương a, b,c. CMR :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
 (đpcm)
Bài 4: Cho các số thực dương a, b. CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
 (đpcm) 
Bài 5: Cho các số thực dương a, b. CMR 
Giải:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky :
(đpcm)
Bài 6: Cho các số thực dương a, b thỏa . Tìm GTLN của 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky :
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTLN của A là 
Bài 7: Cho số thực a, b thỏa . Tìm GTLN và GTNN của 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 Ta có: 
 GTNN của A là khi
 GTLN của A là khi
Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
Tương tự:
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 9: Cho . CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky :
 Mà
 Vậy ta có:
 hay
 Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức
 Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:
Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c. CMR 
Giải:
 Ta có:
 Mà ta có: 
 (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước)
Kỹ thật chọn điểm rơi
Bài 1: Cho các số thực dương a, b,c thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
. Phân tích:
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
 ,