Ôn tập về phép biến hình trong mặt phẳng

GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 1 
 Phép tịnh tiến 
Bài 1 : cho ABC∆ nội tiếp đường trịn (O) trong đĩ AB cố định C thay đổi trên (O) . Tìm quỹ 
tích trực tâm của ABC∆ . 
HD : dùng phép tịnh tiến theo 
→
A’B (A’A là đường kính) 
 Bài 2 . cho tứ giác ABCD biết đường chéo AC = 3 , BC = 3 , CD = 2 3
ˆ ˆA=B = 060 . Tính gĩc B và gĩc C . 
HD: dùng phép tịnh tiến theo 
 →
 DC , 0ˆC=90 , 0ˆB=150 
Bài 3 . cho hình thang ABCD biết AC = A, BD = b gĩc giữa chúng bằng α . Tính tổng hai đáy . 
 HD: dùng phép tịnh tiến theo 
 →
 AD .AD + BC = 2 2a b 2abcosα+ + 
Bài 4 .chứng minh rằng ba chung tuyến của một tam giác là ba cạnh của một tam giác khác . 
HD: dùng phép tịnh tiến theo ba đường trung tuyến chú ý dt tam giác đĩ bằng ¾ diện tích 
tam giác ban đầu. 
Bài 5 . cho đoạn AD cố định dựng hình ABCD .sao cho AC BD
AD AD
= tìm quỹ tích đỉnh C của hình 
bình hành . 
 HD : dùng phép tịnh tiến theo 
→
AD ( chon hệ toạ độ A = O) quỹ tích là đường trịn 
Bài 6 . cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,G lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD, giả sử MN + PQ = 
p ( p : là nửa chu vi của tứ giác ) chứng minh ABCD là hình bình hành . 
 HD : dùng phép tịnh tiến theo 
→
BC 
Bài 7 . cho đường trịn (O) bán kinh R .AB là đường kính cố dịnh MN là đường kính di động tiếp 
tuyến tai B cắt AM, AN tai P và Q .tim quỹ tích trực tâm tam giác MPQ 
 HD : xét phép tịnh tiến theo 
→
BA (quỹ tích là đường trịn ) 
Bài 8 . cho điểm A và đường thẳng d khơng qua A . Trên d lấy hai điểm B,C sao cho BC=a ( a cho 
trước) tìm vị trí B,C đẻ AB+AC nhỏ nhất 
 HD : dùng phép tịnh tiến theo 
→
BC 
Bài 9 . cho đương trịn (O) dây cung AB cố định M thay đổi trên đường trịn . xác định M’ sao 
cho 
→
MM’ + 
→
MA = 
→
MB . tìm quỹ tích M’ khi M di động trên (O ). 
 HD : xét phép tịnh tiến theo 
→
AB ( quỹ tích là đường trịn ) 
Bài 10 . chứng minh rằng nếu đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối của tứ giác bằng một nửa 
tổng hai cạnh cịn lại thì tứ giác là hình thang . 
 ƠN TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 2 
 HD : xét phép tịnh tiến theo 
→
BC 
Bài 11 . cho ABC∆ . từ chân D của đường cao AD kẻ các cạnh vuơng gĩc với AB, AC các đường 
thẳng này cắt các đường vuơng gĩc với BC kẻ qua B,C tại các điểm M , N . Chứng minh đường 
thẳng MN đi qua trực tâm H của ABC∆ . 
 HD : xét phép tịnh tiến theo 
→
DH . 
Bài 12 . cho đường trịn (O) và điểm A cố định thuộc đường trịn (O) . Với mỗi M 
thuộc đường trịn xác định M’ sao cho 
→
AM’ = 
→
OM . tìm tập hợp M’. 
 HD : xét phép tịnh tiến theo AB




 ( quỹ tích là hình trịn) 
Bài 13 . cho đường trịn (O) dây cung cố định BC một điểm A di động trên đường trịn gọi D là 
trung điểm của BC , E , F theo thứ tự là điểm đối xương của D qua trung điểm của cạnh AB , AC . 
Tìm tập hợp điểm E và F . 
 HD : xét phép tịnh tiến theo 1 AB
2




 ⇒ quỹ tích là đường trịn 
Bài 14 . cho đường trịn (O) điểm A cố định thuộc đường trịn kẻ tiếp tuyến At của đường trịn . 
trên At lấy điểm M .từ M kẻ tiếp tuyến MB với đường trịn . tìm tập hợp 
a. Tâm đường trịn ngoại tiếp MAB∆ 
b. Trực tâm H của MAB∆ . 
Bài 15 . cho hình thang ABCD (AB // CD)cĩ AD = a , CD = b , AB = c . hai đỉnh A, B cố định đỉnh 
D thay đổi . 
a. tìm tập hợp đỉnh C 
b. tím tập hợp giao điểm I của hai đường chéo . 
HD : 
Bài 16 . cho hai đường thẳng , '∆ ∆ song song với nhau và một đường thẳng d khơng song song với 
∆ hai điểm A,B nằm về phía ngồi của phần mặt phẳng giới hạn bởi 
 , '∆ ∆ A , B nằm khác phía với phần này . tìm trên ∆ điểm M và trên '∆ điểm N sao cho MN // d 
và tổng khoảng cách AM + MN + NB nhỏ nhất . 
 HD : lấy M’ thuộc ∆ qua M’ dựng đường thẳng // d cắt '∆ tại N . Thực hiện 
M'N'
T




 PHÉP ðỐI XỨNG TRỤC 
Bài 1 . cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về cùng một phìa với đường thảng d 
Tìm điểm M thuộc d để tổng MA + MB nhỏ nhất . 
 HD : sử dụng phép đối xướng trục qua đường thẳng d. 
Bài 2 . cho gĩc nhọn xoy và điểm A cố định trong gĩc đĩ . xác định điểm B∈ ox và C ∈ oy sao 
cho chu vi ABC∆ nhỏ nhất . 
 HD : sử dụng phép đối xứng trục qua ox và oy. 
Bài 3 . cho đường trịn (O) hai điểm A,B cố định thuộc đường trịn điểm C thay đổi trên đường 
trịn . tìm quỹ tích trực tâm của ABC∆ khi C thay đơi trên (O). 
 HD : sử dụng phép đối xứng trục AB.(quỹ tích là đường trịn ) 
Bài 4 . cho ABC∆ cân tại A một đường thẳng d thay đổi qua A gọi D là điểm đối xứng với C qua d 
. tìm quỹ tích giao điểm M của d và BD . 
 HD : gọi E = d ∩ CD , AH⊥BC. ⇒ tứ giác ABCM nội tiếp. 
Bài 5 . cho điểm M di động trên đường trịn ngoại tiếp ABC∆ ba điểm D,E,F làn lượt đối xứng với 
M qua BC, CA , AB. 
a. tìm tập hợp D , E , F. 
b. Chứng tỏ rằng ba tập hợp đĩ chứa trực tâm H của ABC∆ . 
 HD : a .xét phép đối xứng qua BC ⇒ quỹ tích D là đường trịn ảnh của đường trịn (O,R) . b . 
kéo dai AH cắt đường trịn tại H’ . xét phép đối xứng qua BC . 
2 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 3 
Bài 6 . cho ABC∆ nhọn tìm tam giác nội tiếp tam giác ABC∆ cĩ chu vi nhỏ nhất (cĩ ba đỉnh nằm 
trên ba cạnh của ABC∆ ). 
 HD : xét phép đối xứng trục qua AB , AC ⇒ các điểm cần tìm là chân đường vuơng gĩc . 
Bài 7 . cho hai đường thăng x, y cắt nhau và hai điểm A, B khơng thuộc chúng hãy dựng C, D 
tương ứng thuộc x , y để ABCD là hình thang cân . cĩ đáy AB . 
 HD : xét phép đối xứng trục qua đường thẳng d. 
Bài 8 . cho hai đường thăng a , b và đường trịn ( O ) .Dựng hình vuơng ABCD sao cho A ∈ (O) .C 
∈ b , B và D thuộc a . 
 HD : xét phép đối xứng trục qua đường thẳng a . 
Bài 9 . cho ABC∆ cân tại C hai điểm M , N thay đổi trên CA và CB sao cho CM + CN = CA . 
CMR trung điểm I của MN chạy trên đường thẳng cố định . 
 HD : xét phép đối xứng trục qua CH ( CH ⊥ AB ) . 
Bài 10 . cho lục giác cĩ các cạp cạnh đối song song và đường chéo chính bằng nhau . 
CMR : lục giác đĩ nội tiếp đường trịn . 
 HD : xét các trục đối xứng của các hình thang cân . giao của chúng là tâm đường trịn ngoại 
tiếp của lục giác . 
Bài 11 . cho đường thẳng d và hai đường trịn (C) , (C’) dựng hình vuơng ABCD cĩ hai đỉnh A và 
C lần lượt thuộc ( C) , (C’) cịn hai đỉnh cịn lại thuộc d . 
 HD : dùng phép đối xứng trục qua đừng thẳng d . 
Bài 12 . cho ABC∆ H là trực tâm .Chứng minh : 
các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường trịn ngoại tiếp ABC∆ . 
HD : xét phép đối xứng trục qua các cạnh của ABC∆ 
Bài 13 . chứng minh rằng một tứ giác lồi : 
a. cĩ một trục đối xứng khơng đi qua điểm nào khi và chi khi tứ giác đĩ là hình thang cân. 
b. Cĩ một trục đối xứng đi qua đỉnh khi và chỉ khi tứ giác đĩ là hình thoi. 
HD : t/c phép đối xứng trục về điểm bất động . 
Bài 14 .cho đường thẳng xy và hai điểm A,B nằm cùng phía xy tìm điểm D trên xy sao cho 
 APX 2BPY= . 
HD : gọi B’ ảnh B qua phép đối xứng đường thẳng xy gọi (B’) tiếp xúc xy tiếp tuyến qua cắt xy tại 
P . 
Bài 15 . cho ABC∆ cân tại A một đường thẳng d quay quanh A gọi D là điểm đối xứng với C qua 
d tìm quỹ tích điểm M là giao điểm của BD với d 
HD : t/c của phép đối xứng trục 
Bài 16 . chođiểm M di động trên đường trịn đương kính AB của đường trịn (O) dây cung CD qua 
M cắt AB và hợp với nĩ một gĩc 045 . Chứng minh p = 2 2MC MD+ khơng phụ rhuộc vị trí cuả M 
trên AB . 
HD : xét phép đối xứng trục qua AB ⇒ 2 2MC MD+ =2R2(R= 1
2
AB). 
 PHÉP ðỐI XỨNG TÂM 
Bài 1 . cho ABC∆ gọi E.F.G lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC từ điẻm K bất kỳ dựng M đối 
xứng với K qua tâm E . N đối xứng với M qua F điểm P đối xứng N qua tâm G . Chứng minh A là 
trung điểm của KP. 
HD : t/c của phép đối xứng tâm CM KA=MB=NC=PA 
Bài 2 . cho bốn đường thẳng a,b,c,d từng đơi một khơng song song điểm E khơng thuộc các đường 
đĩ dựng hình bình hành ABCD cĩ tâm E ( A,B,C,D lần lượt thuộc các đường thẳng trên). 
HD : phép đối xứng tâm E . 
Bài 3 . chứng minh rằng : 
a. tứ giác lồi cĩ tâm đối xứng khi và chỉ khi tứ giác đĩ là hình bình hành . 
b. đa giác lồi cĩ tâm đối xứng khi và chỉ khi số đỉnh của đa giác là chẵn và các cặp cạnh đối 
song song và bằng nhau . 
HD : t/c của phép đối xứng tâm ( các đỉnh đối xưng với nhau). 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 4 
Bài 4 . nếu một hình cĩ hai tâm đối xứng thi cĩ vơ số tâm đối xứng cùng nằm trên một đường thẳng 
. 
HD : t/c của phép đối xứng tâm . 
 Bài 5 . cho  0xoy 180< và một điểm M nằm trong gĩc đĩ qua m dựng các đường thẳng cắt tia ox 
và oy tại A và B sao cho OAB∆ cĩ diện tích nhỏ nhất. 
HD : xét phép đối xứng qua tâm M hình bình hành OAMB. 
Bài 6 . tích của phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến là phép đối xứng tâm . 
Bài 7 . cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) qua trung điểm của mỗi cạnh dựnh đường thẳnh 
vuơng gĩc với cạnh đối diện . Chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy . 
HD : gọi M,N,P,Q lần lượ là các trung điểm của các cạnh . K là giao điểm của đường cheo xét phép 
đối xứng tâm K khi đĩ gọi I là ảnh của O qua phép đối xứng tâm K . các đường thẳng qua I . 
Bài 8 . cho đường thẳng a và đường trịn (O) và điểm P khơng nằm trên a và (O) tim trên a điểm A 
và trên (O) điểm B sao cho P là trung điểm của AB . 
HD : xét phép đối xứng qua P . 
Bài 9 . cho ba điểm M,N,P xác định ABC∆ nhận M,N,P là trung điểm . 
HD : sử dụng phép đối xứng tâm .M ,N.P 
Bài 10 . cho đường trịn (O) hai điểm A,B cố định M thay đổi trên đương trịn . xác định M’ sao 
cho MM' MA MB= +




 


 



 . tìm quỹ tích M’ khi M di động trên (O). 
Bài 11 . cho đường trịn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm A,B dựng đường thẳng d qua A cắt 
(O,R) và (O’,R’) lần lượt tại M và M’ sao cho A là trung điểm của MM’. 
HD : xét phép đối xứng tâm A . 
Bài 12 . cho đường trịn (O) và điểm I khơng nằm trên đường trịn với mỗi điểm A thay đổi trên 
đường trịn dựng hình vuơng ABCD cĩ tâm I . tìm quy tích các điểm B,C,D. 
HD : xét phép đối xứng tâm I . 
Bài 13 . cho đường trịn (O) và ABC∆ điểm M thay đổi trên đường trịn (O) gọi N là điểm đối 
xứng với M qua A và P là điểm đối xứng N qua B và Q là điểm đối xứng P qua C .tìm quỹ tích Q . 
HD : gọi D là trung điểm QM xét phép đối xứng qua D. 
 PHÉP QUAY 
Bài 1 . cho đường thẳng a và điểm G khơng nằm trên a với mỗi A ∈a dựng tam giác đều ABC tâm 
G . tìm quỹ tích B,C khi A chạy trên a . 
HD : xét phép quay tâm G gĩc quay 0120 . 
Bài 2 . cho hai đường thẳng a,b và điểm C khơng nằm trên chúng xác định hai điểm A,B trên a và b 
sao cho ABC∆ đều . 
HD : sử dụng phép quay tâm C gĩc quay - 060 
Bài 3 . cho tứ giác lồi ABCD dựng các hình vuơng về phía ngồi của tứ giác 
CM : tâm của bốn hình vuơng lập thành một tứ giác cĩ hai đương chéo vuơng gĩc. 
HD : gọi I là trung điểm của AC xét phép quay tâm I gĩc quay - 090 
Bài 4 . cho ABC∆ về phía ngồi của tam giác dựng các hình vuơng ABMN, ACPQ , và BCEF . 
a. chứng minh PQ = CN và PQ⊥CN 
b. gọi O1,O2,O3 lần lượt là tâm của các hình vuơng BCEF , ACPQ, ABMN .và I là trung 
điểm của BC chứng minh O2IO3 là tam giác vuơng cân 
c. chứng minh AO1 = O2O3 và AO1⊥ O2O3. 
Bài 5 cho hinhf vuơng ABCD và một số thực k > 0 và hai điểm M,N thoả mãn 
,AM k AB BN k BC= =



 


 


 



 chứng minh AN = DM và AN⊥DM 
HD : gọi O là tâm hình vuơng xét phép quay tâm O gĩc quay 090 . 
Bài 6 . cho ABC∆ trong nửa mặt phẳng bờ BC cĩ chứa điểm A vã hình vuơng BCDE và trong nửa 
mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ hình vuơng ABFG . chứng minh EA = FC và EA⊥ FC 
HD : xét phép quay tâm B gĩc quay 090 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 5 
Bài 7 . cho hình vuơng ABCD tâm O trên tia BA lấy điểm E trên tia CA lấy F ,trên tia DC lấy 
điểm G trên tia AD lấy điểm H sao cho . AE=BF=CG=DH. 
a. chứng minh : OE = OF và OE⊥OF . 
b. chứng minh tứ giác EFGH là hình vuơng. 
HD : xét phép quay tam O gĩc quay 090 . 
Bài 8 . về phía ngồi của ABC∆ dựng các tam giác vuơng cân IAB tại I và KAC vuơng tại K dựng 
hình bình hành IBCM và trên tia đối của tia AI lấy điểm N sao cho AN = AI . 
Chứng minh : tam gíac KMN vuơng cân . 
HD : xét phép quay tâm K gĩc quay - 090 M thành M’ chứng minh M’ trùng N . 
Bài 9 . cho hai đương trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A,B qua A vẽ hai đường thẳng d và d’ đường 
thẳng d cắt đường trịn (O) tại C và cắt (O’) tại D và đương thẳng d’ cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F 
biết rằng d và d’ tạo với AB một gĩc bằng nhau . 
Chứng minh : CD = EF . 
HD : xét phép quay tâm B gĩc quay (BC,BE). 
Bài 10 . cho ABC∆ trên cạnh AB, AC lấy M và N sao cho BM = CN 
a. chứng minh đường trung trục của đoạn thẳng MN di qua một điểm cố định 
b. đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định khác A 
HD : phép quay biến AB thành AC gọi P là giao điểm của cung chúa gĩc ( AB,AC) với đường 
trung trục BC . đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua P 
Bài 11 . cho đường trịn (O) dây cung BC thay đổi nhưng cĩ độ dài 2a khơng đổi và một điểm A cố 
định trong mặt phẳng . 
a. tìm tập hợp trung điểm M của dây cung BC 
b. Dựng tam giác đều AMN tìm tập hợp đỉnh N 
HD : tập hợp M là đường trịn (O, 2 2R a− ) : b. xét phép quay tâm A gĩc quay 060 
Bài 12 . cho tam giác nhọn ABC∆ xác định điểm P trong tam giác để PA + PB +PC nhỏ nhất . 
HD : sử dụng phép quay tâm A gĩc quay 060 . 
Bài 13 . qua tâm G của tam giác đều ABC∆ kẻ đường thẳng a cắt AB tại N kẻ đường thẳng b cắt 
AC tại P và AB tai Q đồng thời tạo với b một gĩc 060 . 
HD : xét phép quay tâm G gĩc quay 0120 
Bài 14 . cho hình bình hành ABCD , dựng tam giác đều ABE và ADF sao cho đỉnh E nằm cùng 
phía với C đối với đường thẳng AB điểm F nằm cùng phía với C đối với AD chứng minh CEF là 
tam gác đều . 
HD : dựng hình bình hành ABEK xét phép quay tâm A gĩc quay 060 
Bài 15 . cho đoạn thẳng AB lấy điểm C nằm giữa A,B dựng tam giác đều CAF , BCE sao cho E,F 
nằm cùng phía với AB , Chứng minh rằng : 
a. AE = BF. 
b. tam giác CMN là tam giác đều trong đĩ M,N làn lượt là trung điểm của đoạn À và BE. 
HD : xét phép quay tâm C gĩc quay (CA,CE). 
Bài 16 . cho ABC∆ và M là một điểm bất kỳ chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng MA,MB,MC 
đoạn thẳng lớn nhất khơng lớn hơn tổng hai đoạn kia. 
HD : thực hiện phép quay tâm C gĩc quay - 060 . 
Bài 17 . cho ABC∆ vế phía ngồi của tam giác vẽ các hình vuơng ABDE, ACGF .lần lượt cĩ tâm 
M và N gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của EG và FC . chứng minh rằng KMIN là hình vuơng. 
HD : thực hiệm phép quay tâm A gĩc quay 090 . 
Bài 18 . cho ABC∆ vuơng cân tại B M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA:MB:MC = 1:2:3. 
tính AMB 
HD : thực hiện Q(B, 090 ).⇒AMB = 0135 . 
Bài 19 cho ABC∆ . qua điểm A dựng hai tam giác vuơng cân ABE và ACF . gọi M là trung điểm 
của BC và giả sử H=AM EF∩ chuwngs minh AH là đường cao AEF∆ . 
HD : thực hiên phép Q(A, 090 ). 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 6 
Bài 20 . cho ABC∆ về phía ngồi của tam giác dựng ba tam giác đều 1 1 1BCA , ACB , ABC chứng 
minh rằng 1 1 1AA ,BB ,CC đồng quy. 
HD : thực hiện phép Q(B, 060 ). 
Bài 21 . cho tam giác đều ABC . tìm quỹ tích điểm M trong tam giác sao cho 2 2 2MA MB BC= + . 
HD : Q(A, 060 ).M nhìn BC dưới một gĩc 0150 . 
 PHÉP VỊ TỰ 
 Bài 1 . cho đường trịn (O) đường kính AB và dây cung CD chuyển động luơn song song với AB . 
a. Tìm quỹ tích trung điểm M của day cung CD . 
b. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam gíac ADC. 
HD :a. xét phép V(A, 2
3
). b. tt 
Bài 2 . cho ABC∆ từ điểm D chuyển động trên cạnh BC kẻ đường thẳng saong song AB cẳt AC tại 
F và đường thẳng song song AC cắt AB tại E . Tìm quỹ tích trung điểm I của EF. 
HD : xét phép V(A, 1
2
) 
Bài 3 . cho đoạn thẳng AB cố định và điểm M di chuyển trên AB . trên cùng nửa mặt phẳng bờ là 
AB dựng tam giác vuơng cân tại C .ACM, và tam giác BDM vuơng cân tại D. Gọi P là giao điểm 
của AC và BD . 
a. chứng minh P là điểm cố định . 
b. tìm quỹ tích trung điểm I của CD 
HD : a. tam giác PAB vuơng cân tại P . b. xét phép V(P, 1
2
). 
Bài 4 . cho đường trịn đường kính AB day cung CD đi qua trung điểm P của OA . 
a. Tìm tập hợp trung điểm M của CD . 
b. Tìm tập hợp hình chiếu E của điểm B trên CD. 
c. Tìm tập hợp trục tâm H của tam giác BCD. 
HD : a. tập hợp M là đường trịn đường kính OP. b. V(B,3) . c.V(B, 2
3
). 
Bài 5 . cho đường trịn (O) và đây cung AB cố định và một điểm D di chuyển trên đường trịn . 
dựng hình bình hành ABCD . 
a. Tìm tập hợp đỉnh C 
b. Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành . 
HD : a. xét phép tịnh tiếm theo 
AB
T


 . b. V(A, 1
2
) 
Bài 6 . cho hai đường trịn (O),và (O’) tiếp xúc ngồi với nhau tại A .trong đường trịn (O) kẻ dây 
cung AB và trong đường trịn (O’) kẻ dây cung AC ( A B AC⊥ ). 
a. Chứng minh đường thẳng BC đi qua một điểm cố định 
b. Tìm tập hợp hình chiếu M của A trên BC . 
HD : a. BC đi qua tâm vị tự ngồi của hai đường trịn . b. xét V(A, SA
SO'
). 
Bài 7. cho đường trịn (O) và hai đương kính AA’ và BB’ cố định vuơng gĩc của đường trịn . điểm 
P thay đổi trên đường trịn H là hình chiếu của P trên AA’.Trên OP xác định M sao cho OM = OH . 
a. Tìm tập hợp điểm M 
b. Tìm tập hợ trọng tâm của tam giác OBM. 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 7 
HD : a. M thuộc đường trịn đường kính OA. b, gọi I là trung điểm OB xét V(I, 1
3
) 
Bài 8 . cho ABC∆ cĩ (  0A 90= ) , M là điểm thay đổi trên BC hai điểm P,Q theo thứ tự là hình 
chiếu của M trên AB , AC . 
a. Tìm tập họp tâm của đường trịn đường kính PQ. 
b. Chứng minh đường trịn đường kính PQ đi qua mộy điểm cố định gọi là F. 
c. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của F trên PQ và AB . tìm tập hợp điểm F . 
HD : a. V(I, 1
2
) .b. F là hình chiếu của A trên BC. C.phép quay tâm F gĩc AFK .và phép 
V(F, FK
FA
). 
Bài 9 . cho đường trịn tâm (O;R) và điểm I cố định khác O . một điểm M thay đổi trên đường trịn . 
tia phân giác của gĩc MOA cắt IM tại N . tìm quỹ tích N . 
HD : dùng phép vị tự tâm I . 
Bài 10 . cho hai đường trịn (O) và (O’) cĩ bán kính khác nhau tiếp xúc ngồi với nhau tại A . một 
đường trịn (O’’) thay đổi tiếp xúc ngồi với (O) và (O’) tại B và C . chứng minh BC đi qua một 
điểm cố định . 
HD : BC đi qua tâm vị tự ngồi của hai đường trịn (O) và (O’) 
Bài 11 . cho ABC∆ . gọi I,J,M theo thứ tự là trung điểm của AB,AC,IJ .đường trịn ngoại tiếp (O) 
của tam giác AIJ cắt AO tai A’ .gọi M’ là chân đường vuơng gĩc hạ từ A’ xuống BC . chứng minh 
A,M,M’ thẳng hàng . 
HD : xét phép V(A,2) , tính chất bảo tồn gĩc. 
Bài 12 . chứng minh rằng các trung điểm của của các cạnh của một tam giác , chân các đường cao 
và các trung điểm của các đoạn thẳng nối trục tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn 
.(đường trịn euler). 
HD : xét phép V(H, 1
2
) với H là trực tâm . 
Bài 13 . cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn . chứng minh rằng các trọng tâm của các 
tam giác ABC , CDA , BDC , DAB cùng nằm trên một đường trịn 
HD : xét phép vị tự V(M, 1
3
) với K , L là trung điểm của AC và BD . M là trung điểm của KL . 
 Bài 14 . cho ba đường trịn 1 1 2 2 3 3(O ,R ), (O ,R ), (O ,R ) đơi một tiếp xúc ngồi tại A,B,C dây AC 
kéo dài của 1 1(O ,R ) cắt 3 3(O , R ) tại 1A . 1 2A A là đường kính của đường trịn 3 3(O , R ) chứng 
minh A , B , 2A thẳng hàng . 
HD : xét V(C,- 1
3
R
R
) và V(A,- 2
1
R
R
) và V(B,- 3
2
R
R
) 
Bài 15 . cho hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) với R>R’ một đường trịn di động (O’’;R’’) tiếp xúc 
ngồi với hai đường trịn tại M và N . chứng minh MN di qua một điểm cố định . 
HD : MN đi qua tâm vị tự ngồi của hai đường trịn (O;R) và (O’;R’). 
Bài 16 . cho ABC∆ . gọi O,H,G tương ứng là tâm đường trịn ngoại tiếp , trực tâm và trọng tâm của 
ABC∆ . chứng minh G ,O,H thẳng hàng .(đường thẳng euler) 
HD : xét phép V(G,- 1
2
). 
 PHÉP ðỒNG DẠNG 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 8 
 Bài 1 cho ABC∆ vuơng tại A .đường cao AD . gọi V là phép vị tự tâm D tỉ số k = DA
DB
 Q là phép 
quay tâm D gĩc quay (DB,DA) ,F = 0Q V 
a. Phép F biến ABD△ thành tam gíc nào. 
b. Lấy hai điểm M,N trên AB và AC sao cho MB NA
MA NC
= chứng minh DMN△ vuơng . 
HD :tính chất phép vị tự 
Bài 2 . cho tam giác ABC∆ vuơng tại A đường cao AD .goi c là phân giác của gĩc C ð C là phép 
đối xứng trục qua c . V là phép vị tự tâm C tỉ số k = CA
CB
 gọi F = ð C 0V . 
a. F biến ABC∆ thành tam gíc nào ? 
b. Lấy M,N trên AB và AD sao cho MA ND
MB NA
= chứng minh c là phân giác của MCN . HD : 
tính chất của phép đối xứng trục. 
Bài 3 .dựng tam giác ABC∆ biết gĩc A =α tỉ số k = AB
AC
 chu vi bằng m 
HD : dựng tam giác AB’C’ sao cho gĩc A =α AB'
AC'
= k và AB’ + B’C’ + AC’ = m’xét V(A, m
m '
). 
Bài 4 cho điểm A cố định nằm trên đường trịn (O) và C là điểm thay đỏi trên đường trịn đĩ . Dựng 
hình vuơng ABCD tìm quỹ tích điểm B và D . 
HD : xét F = 0Q V trong đĩ Q là phép quay tâm tâm A gĩc quay 045 V là phép vị tự tâm A tỉ số 
2
2
. 
Bài 5 . cho tam giác vuơng AMB nội tiếp trong đường trịn đường kính AB về phía ngồi của tam 
giác dựng hinh vuơng AMNP hãy tìm tập hợp điểm N khi M di động trên đường trịn đường kính 
AB . 
HD : 0V Q trong đĩ Q là phép quay tâm A gĩc quay 045 V là phép vị tự tâm A tỉ số k= 2 
Bài 6 . dựng tam giác BAC vuơng tại A cĩ C là điểm cho trước cịn hai đỉnh A,B lần lượt thuộc hai 
đường trẳng a,b song song với nhau . 
HD : xét 0V Q trong đĩ Q là phép quay tâm tâm C gĩc quay - 4
Π
 và V là phép vị tự tâm C tỉ số k= 
= 2 . 
Bài 7 . cho ABC△ và A 'B'C '△ đơng dạng theo tỉ số A 'B' B'C ' A 'C ' 2
AB BC AC
= = = xác định phép 
đồng dạnh biến ABC△ thành A 'B 'C '△ . 
HD : xét phép đồng dạng 0f V(A, 2) . trong đĩ f là phép dời hình 
Bài 8 . cho điểm O cố định và đường thẳng d khơng qua O gọi A là điểm di động trêm d xác định 
A’ sao cho OAA’ vuơng cân tại A và (OA,OA ')
4
Π
=







. 
a. Tìm tập hợp điểm A’ . 
b. Gọi G là trọng tâm của OAA '△ . Tìm tập hợp trọng tâm G . 
HD : a. 0V(A, 2) Q(O, )4
Π
 b. gọi (OA,OG)α= cĩ tanα= 1
2
 xét 0
5V(O, ) Q(O, )
3
α . 
GV: lại văn long Trường THPT A Bình lục 
Phép biến hình : 1/20/2010 LẠI VĂN LONG 
Trang 9