Ôn thi Đại học - Chuyên đề Lượng giác
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn thi Đại học - Chuyên đề Lượng giác, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 1 A. CÔNG THỨC G, P G CƠ BẢN, P G CƠ Ở I. CÔNG THỨC LG 1. Hệ thức cơ bản + a = 1 = 1 - a ( hoặc a =1 - ) ; ; . = . =1 1+ = ; 1+ = 2. Công thức cộng ( ) = ; ( ) = ( ) = ; ( ) = 3. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos a cos b 2cos . cos 2 2 + - + = ; a b a b cos a cos b 2 sin . sin 2 2 + - - = - a b a b sin a sin b 2 sin . cos 2 2 + - + = ; a b a b sin a sin b 2cos . sin 2 2 + - - = ( ) ; ( ) Công thức bổ sung: +) √ ( ) √ ( ) +) √ ( ) √ ( ) 4. Công thức biến đổi tích thành tổng H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 5. Công thức n ân ( n ân đô và n ân ba ) ( ) ( ) 2 2 sin 2a 2sin a. cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a= = + - = - - 2 2 2 2cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = - ; 3sin 3a 3sin a 4 sin a= - ; 3cos3a 4cos a 3cosa= - 5. Công thức h bậc 2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cot g a + = = + ; 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a - = = + II. P G CƠ BẢN , đk: -1 a Đặt a = sin ta có: [ , k rƣờng hợp đặc biệt: ; + + , đk: -1 a Đặt a = cos ta có: , k rƣờng hợp đặc biệt: + ; ; H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 3 , a ( + ) Đặt a = tan ta có: , k rƣờng hợp đặc biệt: ; + ; + , a ( ) Đặt a = cot ta có: , k rƣờng hợp đặc biệt: + ; + ; + II. P G CƠ Ở 1. PT thuần nhất bậc nhất đối v i sin và cos ( PT cổ đ ển ) ; điều kiện: 2 2 2 0a b c (1) Cách giải : Chia hai vế của pt (1) cho 2 2a b ta được : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b (*) Với 2 2 a a b = sin ; 2 2 b a b = cos ; 2 2 c a b = cos (*) cosx. cos + sinx. sin = cos cos( x - ) = cos 2 2 x k x k 2 2 x k x k Chú ý 1:(1) có nghiệm 2 2 2 0a b c ( hay ) Chú ý 2: Thường áp dụng các công thức sau: ( ) = ; ( ) = H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 4 Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: VD1: (1) Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 2 2a b = √ √ ta có: (1) √ √ √ = ( ) [ ’ với k 𝑉ậy [ ’ với k Chú ý: Có thể đưa về hàm sin bằng cách giải 2 là: (1) √ √ √ = ( ) [ ’ với k 𝑉ậy [ ’ với k VD2: √ (2) Giải: Nhận thấy (√ ) nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 2 2a b = √ (√ ) ta có: (2) √ = ( ) [ ’ với k H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 5 𝑉ậy [ ’ với k VD3: (3) Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 2 2a b = √ ta có: (3) Vì ( ) +( ) =1 nên đặt cos = , sin = Thì PT (3) tương đương (3) cos ( ) = 𝑉ậy [ ’ với k VD4: ( ) √ (4) ( Đề ĐH Khối D 2007 ) Giải: Ta có: ( ) = + 2 + = 1+ PT đã cho tương đương với (4) 1+ √ √ √ ( ) ( ) [ Vậy [ ’ với k VD5: √ √ (5) Giải: Nhận thấy (√ ) ( √ ) nên PT đã cho có nghiệm. H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 6 Chia 2 vế của PT cho 2 2a b = √ (√ ) ta có: (5) √ √ = √ = ( ) ( ) ( ) [ ’ với k [ [ ,với k Vậy[ ,với k BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL) 1). √ 2). 2 = + √ 3). √ + = √ 4). (√ ) - (√ ) √ = 0 5). √ 6). - √ ( - ) 7). √ ( ) = 8). + = 2. P ẳng cấp bậc hai v i sinx và cosx D ng PT: (2) Cách giải : Cách 1 * Xét cosx = 0 2 x k sin2x = 1 (2) a = d (*) + Nếu (*) đúng thì 2 x k là nghiệm của (2) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 7 + Nếu (*) không đúng thì 2 x k không là nghiệm của (2) * Xét cosx 0 Chia hai vế của pt (2) cho cos2x ta đưa pt (2) về dạng : A.tan 2x + B.tanx + C = 0 .Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan . Cách 2 Ta có : a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (*) Dùng các công thức : 2.sin .cos sin 2x x x , 2 2 1 cos 2 1 cos 2 cos ,sin 2 2 x x x x Đưa (*) về dạng : .sin 2 os2A x Bc x C Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: VD1: - √ (1) Vì = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của (1) cho ta được: (1) 1- 2√ ( ) Đặt t = tan ta có PT: √ [ √ Với t = 0 , , với k Với t = √ √ , với k VD2: (2) Giải: Ta có (1) sin ( ) - sin + = 0 [ ] = 0 [ ( ) ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 8 (2.1) , với k (2.2) = 0 ( ) +2 = 0 (Vì ( ) ) Vậy PT có nghiệm là: , với k 3. P ối xứng Gồm 2 dạng sau: ( ) + + = 0 ( ) + + = 0 Bƣ c 1.[ √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) , với t [ √ √ ] Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t. Bƣ c 2. Giải PT bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm . Chú ý: Điều kiện t [ √ √ ] để loại nghiệm Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: VD1. ( ) - – 3 = 0 (1) Giải: Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] (*) = 1+2 ( ) PT được viết thành: (1) ( ) – 3 = 0 [ ( ( ) ) ( ) Với thì: √ ( ) = 1 ( ) = √ = [ [ , k H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 9 Vậy nghiệm của PT là: , , với k VD2. -1 + + = .sin2 (2) (2) -1 + ( )( ) = .sin2 Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] Thì = 1+2 ( ) . Vậy PT (2) trở thành: (2) -1 + t.( ) = ( ) -2 + t.( ) = 3( ) - 3 – 3 – 1 = 0 ( )( ) = 0 [ √ √ ( ) Với t = 1 thì √ ( ) = 1 ( ) √ = [ [ , k Với t = √ thì √ ( ) = √ ( ) √ √ = [ [ , k , với √ √ = Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm: , , , k , với √ √ = VD3. √ ( ) = + (3) Điều kiện: , Lúc đó (3) tương đương với: (3) √ ( ) = + √ ( ) = = H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 10 Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] và 1 ( do mẫu phải ) Thì = 1+2 ( ) . Vậy PT (3) trở thành: (3) √ = √ - √ - 2 = 0 ( hiển nhiên t = 1 không là nghiệm ) ( √ )(√ √ ) = 0 [ √ √ ( ) Với √ √ ( ) √ ( ) , k Vậy nghiệm của PT là : , k ( ) ( ) Điều kiện: 0 Lúc đó PT (4) tương đương với ( ) + – 1 = 0 ( )( ) - ( )( ) ( )( )( )( ) - ( )( )( )( ) ( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] = 0 [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ( ) ( ) [ ( ) [ ( )( ) ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 11 [ ( ) ( ) ( ) (4.1) , k (4.2) √ ( ) , k Xét PT (4.3): Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] và 1 Thì = 1+2 ( ) . Vậy PT (4.3) trở thành: + [ √ ( ) √ ( ) Vậy √ ( ) √ ( ) √ √ , k Vậy PT đã cho có các họ nghiệm sau: , với k BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL) 1). sin + cos – 2sin .cos = 1 2). 3(cos + sin ) + 2sin2 + 3 = 0 3). + = sin2 +sin 4). 2 - sin = 2 cos +cos 5). 2cos2 + + ( ) B. CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG I. DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP P G CƠ BẢN P ƣơng p áp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: ( ) ( )( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2009 ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 12 Giải: Điều kiện: sin và sin (*). Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( ) cos √ = sin2x + √ cos2x cos( ) = cos( ) x = hoặc x = . Với k Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm là: x = . Với k √ ( Đề ĐH Khối D 2009 ) Giải: PT đã cho tương đương: √ ( ) √ sin( ) = sinx hoặc Vậy: x = hoặc x = + k2 .( Với k ) sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ). ( Đề ĐH Khối B 2009 ) Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√ sinx.cos2x + cosxsin2x + √ sin3x + √ cos( ) = cos4x 4x = 3x- hoặc 4x = -3x + . Vậy : x = hoặc x = .( Với k ) sinx( ) = 4 ( Đề ĐH Khối B 2006 ) Giải: Điều kiện: sin và cos , cos (1). Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 13 + sinx = 4 [ (Với k ), thỏa điều kiện (1). sinx + cosx = √ Giải PT √ cos( ) = √ cos9x cos9x = cos( ) [ ( ) ( ) [ , Với k 2sin4x = sinx + √ Giải PT sin4x = + √ cosx sin4x = sin( ) [ ( ) , k [ , k sin5x + 2 = 1 ( Đề ĐH Khối B 2013 ) Giải PT sin5x + cos2x = 0 cos( 5x + )= cos2x H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 14 [ , k [ , k 2(cosx + √ ) √ ( Đề ĐH Khối B 2012 ) Giải PT cho tương đương với: 2 √ √ 2 √ √ cos2x + √ √ cos(2x - ) = cos(x+ ) 2x - = (x+ ) + k2 , (k ) x = + k2 hoặc x = k , (k ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1). √ + (ĐS: x = x = ) 2). √ (ĐS: x = ; x = ) 3).cos3x. √ (ĐS: x = ) 4). ( √ ) ( ) = 1 (ĐS: x = kết hợp đk ) 5). cotx = tanx + (ĐS: x = kết hợp đk) II. DẠNG 2: ƢA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung) P ƣơng p áp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT tích. Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 15 P ƣơng p áp g ải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít một thừa số bằng 0. Do đó: (*) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta lần lươt giải các PT (1), (2), , (n). Hợp các tập nghiệm của n PT này là tập nghiệm của PT (*) đã cho. Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: sinx + sin2x = sin3x Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx. Do đó ta có thể biến đổi PT trên thành một PT tích số PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0 sinx( ) [ ( ) ( ) - Giải ( ) a có : sinx = 0 k - Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0 2 - cosx – 1 = 0 [ [ , k Vậy nghiệm của PT là: [ , k Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ). Nên PT chỉ có 3 họ nghiệm: [ , k H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 16 1 + tanx = 2√ ( ) ( Đề ĐH Khối A 2013 ) Giải: Điều kiện: cosx . Phương trình đã cho tương đương với: 1 + = 2(sinx + cosx) cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0 (sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0 [ ( ) ( ) PT (1) √ ( ) = 0 = k x = - , với k PT (2) x = , với k Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = - , hoặc x = , với k √ = 2cosx – 1. ( Đề ĐH Khối A 2012 ) Giải: PT đã cho tương đương với: 2√ 2√ cosx(√ ) = 0 [√ ( ) ( ) PT (1) ( ) [ , (k ) PT (2) x = , (k ) Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = và , với k – sinx = 0. ( Đề ĐH Khối D 2013 ) Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx = 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 cos2x.(2sinx + 1) = 0 [ ( ) ( ) PT (1) x = , (k ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 17 PT (2) [ , (k ) Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = , , và , (k ) + sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 ) Giải: PT đã cho tương đương với: 2 + sinx + cosx (2 ) + sinx + cosx sinx(2 ) + sinx + cosx sinx(cos2x ) + sinx + cosx sinxcos2x + sinx + sinx + cosx sinxcos2x cosx= 0 cos2x(sinx ) ( 1) = 0 (sinx – 1).(cos2x + cosx) = 0 [ ( ) ( ) ( ) , (k ) ( ) cos2x = cos( ) x = ( ) Vậy PT đã cho có nghiệm là: x = ( ) √ . ( Đề ĐH Khối D 2012 ) Giải: PT đã cho tương đương với: √ . 2cos2x.sinx + 2cos2x.cosx √ . cos2x.(2sinx + 2cosx - √ ) = 0 [ ( ) √ ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 18 PT (1) 2x = + k x = ( ) PT (2) sinx + cosx = √ cos(x - ) [ ( ) Vậy các nghiệm của PT là: x = , ( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2011 ) Giải: Điều kiện: sinx 0 (*). Nhận xét: . Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ). = 2√ 1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx 2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0 [ ( ) √ ( ) PT (1) thỏa mãn (*). PT (2) √ ( ) = √ ( ) + , thỏa mãn (*). Vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( ) sin2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3 . ( Đề ĐH Khối D 2011 ) Giải: Điều kiện: , √ (*) Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0 2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 (sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 19 [ ( ) ( ) PT (1) + ( ) PT (2) + ( ) Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1). 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x = x = ) 2). ( ) (ĐS: x = x = ) 3). 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS: + ) 4). 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS: + + ) 5). ( ) (ĐS: + + ) III. DẠNG 2: ƢA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC RÙNG PHƢƠNG P ƣơng p áp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1 PTLG Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 2 + = 2 Giải: Điều kiện cos x Cách 1: PT đã cho tương đương với: 2 + = 2 2 . + 2(1 - ) + 1 - = + 1 - + – 1 = 0 [ ( ạ ) – 1 = 0 cos2x = 0 2x = x = ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 20 Chú ý : Đối với PT ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so sánhvới điều kiện ) Cách 1: PT đã cho tương đương với: + = 2 + + = 2 + + – 2 = 0 [ ( ) tanx = ( ) , ( ) 5sinx – 2 = 3 (1- sinx) ( Đề ĐH Khối B 2004 ) Giải: Điều kiện cos x x , ( ) (*). Với điều kiện trên PT tương đương với: 5sinx – 2 = ( ) 2 + 3sinx – 2 = 0. [ ( ) Với [ , ( ) ( thỏa mãn (*) ). ( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2006 ) Giải: Điều kiện sinx √ (*). Với điều kiện trên PT tương đương với: ( ) 2( ) 3 + = 0 [ ( ) , ( ) Đối chiếu điều kiện (*), PT đã cho có nghiệm là: H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 21 , ( ) ( Đề ĐH Khối A 2005 ) Giải: PT đã cho tương đương với: ( ) ( ) (them bớt 1 lượng) ( ) ( )= 0 cos8x + cos4x – 2 = 0 + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x ) [ (loại) Vậy cos4x = 1 x = k , ( ) ( Đề ĐH Khối B 2003 ) Giải: Điều kiện , (*). Với điều kiện trên PT tương đương với: 2cos2x + = 2 2cos2x + 4( ) = 2 ( ) - cos2x – 1 = 0 [ [ , ( ) Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( ) ( ) ( Trích Đề ĐH Khối A 2002 ) Giải: Điều kiện (*). Ta có: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 22 ( ) = ( ) = ( ( ) ) = 5.cosx Vậy PT đã cho tương đương với: 5.cosx = – 5cosx + 2 = 0 [ ( ) x = , ( ) Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( ) ( ) ( ) ( Đề ĐH Khối D 2005 ) Giải: Ta có: = ( ) + ( ) = ( ) + 2 ( ) 2 = ( ) 2 = 2 ( ) ( ) = * ( ) += * ( ) + = [ ] Vậy PT đã cho tương đương với: 2 + [ ] – cos4x + sin2x ( ) * ( ) 2x = , ( ) Vậy nghiệm của PT là : x = , ( ). + 3 = 0 Giải: PT đã cho tương đương với: 3 = 0 2 – cos2x ( ) = 0 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 23 2 + 3 [ √ [ , ( ). BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1). + cos2x – cosx – 1 = 0 (ĐH D- 2006) (ĐS: x = ; x = +k2 ) 2). – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x [ ] (ĐH D- 2002) (ĐS: x = ; x = ; x = ; x = ) 3). 4cos ( ) (ĐS: x = ; x = + k ) 4). 2cos2x (ĐS: x = ; x = + k2 ) 5). 48 ( ) ( ĐS: x = ; x = ) 6). (ĐS: x = + k ) 7). (sinx+3). ( ) (ĐS: x = + k ) 8). cos2x + cosx(2 ) = 2 (ĐS: x = ; x = + k2 ) 9). 3cos4x 8 + 2 + 3 = 0 (ĐS: x = ; x = + k2 ) 10). (ĐS: x = ; x = + k ) Chú ý : Trong những năm gần đây đề thi phần lƣợng giác chủ yếu rơ vào d ng biến đổ để đƣa về PT tích, d ng toán này đò ỏ ngƣời giải phải nắm vững những kiến thức và biến đổi linh ho t thì m i giả đƣợc, nộ dung trên đây là n ững d ng toán có xác suất ra cao trong những năm gần đây. Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích các b n trong những kỳ thi sắp t i. M i ý kiến đóng góp x n gửi về địa chỉ Facebook “ K ác P ong rần’’ V đƣờng link: www.facebook.com/khachphongtran1993 HẾ
File đính kèm:
LUONG GIAC THAT DE.pdf
