Ôn thi đại học: Hình học không gian.

Hình học không gian
I. Phương pháp chứng minh vuông góc.
1. ab
TH1: a, b chéo nhau: ta CM a(P), b(P). (s/d t/c 1 đt với 1 mf thì với mọi đt trong mf).
TH2: a, b đồng phẳng khi đó ta s/d các pp CM trong hình học phẳng như:
các cạnh kề HV, HCN, tam giác vuông, hình thang vuông...
đường chéo HV, HT, đường cao tam giác.
đường trung tuyến của tam giác đều, cân, đường trung bình HV, HCN.
Hình chiếu vuông góc.
S/d định lí đảo Pitago (dùng khi biết độ dài các cạnh).
.......
2. a(P)
	C1: CM a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P)
	C2: CM a // b, b(P)
	C3: (P) (Q) = d, ad, a(Q) 
	C4: (Q)(R) = a, (Q) (P), (R) (P)
3. (P) (Q)
CM: a(P), a(Q)
Chú ý: - một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng.
	 - Hai mf vuông góc với nhau, trong các đt nằm trong mf này thì chỉ những đường thẳng vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mf kia.
II. Cách xác định góc:
góc giữa 2 đt a và b: TH1: a, b cùng nằm trên 1 mf: s/d các cách tính trong mf
 	 TH2: a, b chéo nhau : lấy điểm I bất kì vẽ qua I hai đt a’, b’ song song với a,b. khi đó (a.b) = (a’, b’). lưu ý: điểm I có thể lấy thuộc a( hoặc thuộc b) tuỳ từng bài toán.
góc giữa đt a và mf (P): gọi a’ là hc vuông góc của a trên (P) khi đó (a. P) = (a, a’). Thông thường nếu a(P) = A khi đó ta tìm 1 điểm S thích hợp (tuỳ từng bài toán) thuộc a, lấy hc S’ của S trên (P) ( SS’). (a, P) = (nếu nhọn) hoặc (a, P) = 1800 - (nếu tù).
góc giữa 2 mf (P) và (Q): lấy a.b sao cho:.Nếukhi đó ta lấy (R) thích hợp (tuỳ từng bài toán) sao cho: 
 suy ra (P, Q) = (d1, d2)
III. Tính thể tích.
1. Công thức:
2. Các công thức tính diện tích:
 a. Tam giác: Công thức diện tích tam giác:
	b. Hình vuông: S = a2
	c. HCN: 	 S = a.b
	d. Hình bình hành: S = AH. CD.
	e. Hình thoi: S = AB.AD.sinBAD. 
	f. Hình thang: 
3. Các công thức tính:
	a. Pitago: a2 = b2 + c2 khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A.
b. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: vuông tại A, AH là đường cao ta có: , AH.BC = AC.AB ..........
	c. ĐL cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = .....; c2 = ......
d. ĐL sin: , R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	e. Công thức trung tuyến: 
	f. hc S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc SH là đường cao hc khi đó: 
4. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp
	a. Tam giác: 	* bất kì: giao 3 đường trung trực.
	* đều: giao 3 đường trung tuyến
	* vuông: trung điểm cạnh huyền.
	b. Hình vuông, HCN: giao 2 đường chéo.
5. Cách xác định chiều cao khối chóp:
	a. bất kì: đường cao là đoạn vuông góc nối từ đỉnh vuông góc với mặt đáy.
	b. có các cạnh bên bằng nhau: đường cao là đoạn nối từ đỉnh đến đường trong ngoại tiếp đa giác đáy.
	c. có 1 cạnh bên vuông góc mặt đáy: đường cao chính là cạnh bên đó.
6. Cách xác định chiều cao khối lăng trụ:
	a. LTĐ: đường cao chính là cạnh bên.
	b. LTX: đường cao là k/c từ 1 điểm trên mặt đáy này đến mặt đáy kia
7. Một số phương pháp tính thể tích:
C1: Xác định h, diện tích đáy S.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABC. tam giác ABC vuông tại B, AB = 3, AC = 5, SA = SB = SC = 7. Tính V?
Cho hình chóp S.ABC. tam giác ABC đều AB = 3, SA(ABC), . Tính V?
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, AB = 4, các mặt bên tạo với đáy 1 góc 600. Tính V?
Cho hình chóp S.ABC. tam giác ABC vuông tại B, AB = 3, AC = 5, SA = SB = SC, góc giữa cạnh SA và mặt đáy bằng 450. Tính V?
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, SA = 5, H là trung điểm AB, SH = 4. Tính V?
Cho hình chóp S.ABCD, SA(ABCD), ABCD là hình thang cân có AB = 2, DC = 4, AD = 3. Góc giữa cạnh SC với mf đáy bằng 600. tính V?
Cho hình chóp S.ABC. có SA, SB. SC đôi một vuông góc, SA = 3, AC = 5, . Tính V?
Cho LTĐ ABC. A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, . Tính VABC.A’B’C’ biết: a) BC’ = 5 b) 
C2: Đối với tứ diện nếu xem một điểm nào đó là đỉnh mà việc xác định chiều cao khó thì áp dụng t/c đặc biệt của tứ diện ta chọn một điểm khác làm đỉnh sao cho việc xác định chiều cao dễ.
VD1: Cho hình chóp SABC có tam giác SAC đều cạnh a, BC (SAC), BC = b. Tình VSABC?
NX: Nếu coi S là đỉnh thì việc xđ chiều cao tương đối khó. Nhưng nếu chọn B là đỉnh thì h = BC, còn diện tích đáy của cả 2 TH đều dễ tính.
C3: PP phân chia thể tích.
VD2: Cho hình chóp SABC, SA(ABC), SA = a, ABBC, AB = b, BC = c. H là trung điểm SC. Tính VSABH ?
NX: Việc xác định h của hc SABH tương đối khó (dù xem điểm nào làm đỉnh), nhưng nếu ta để ý thì VSABC = VSABH +VHABC nên VSABH = VSABC - VHABC. Mà VSABC và VHABC dễ tính.
C4: Cho hc S.ABC trên SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’ khác S thì:
Do đó nếu biết 1 V và các tỉ lệ thì ta tình được V còn lại.
- S/d diện tích hình chiếu: S’ = S.cos. Trong đó S’ là diện tích hình chiếu của hình có diện tích S, là góc hợp bởi 2 mf chứa 2 hình đó.
- VD: 	1. làm lại vd2
2. Cho hc SABC, SA(ABC), SA = a. Tam giác ABC đều cạnh b. M, N là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính VSAMN ?
NX: Việc xđ h của hc SAMN tương đối khó. Tuy việc tình VSABC dễ nhưng tình VAMNBC khó. Nên không thể sd cách 3 được. Do đó ta sd pp sau: 
Dễ dàng ta có suy ra 
3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a. Các cạnh bên SA. SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mf đi qua BC và vuông góc với SA.
 a. tính tỉ số V của 2 khối chóp S.DBC và S.ABC 	b. VS.DBC ?
IV. Tình khoảng cách .
	* k/c từ 1 điểm A đến đt d: 	C1:A’ là hcvg của A trờn d khi đú: d(A, d) = AA’
	C2: xđ (P) thớch hợp (tuỳ từng bài toỏn) đi qua A và song song với d, lấy B thuộc (P) thớch hợp (tuỳ từng bt) khi đú d(A, d) = d(B, d)
	* k/c từ 1 điểm đến mf:
Định nghĩa: d(M, ) = MH. Với MH, H
Cách tính:
C1: Xác định đoạn vuông góc : 	- dễ thấy ngay (hoặc có thể phải kẻ đường phụ).
C2:CM: MN// và d(N, ) dễ tính, khi đó d(M, ) = d(N, ).
VD3: Cho hc SABC, SA(ABC), SA = a. ABBC, AB = b, BC = c. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại C lấy điểm D. Tính k/c từ D đến (SAB).
NX: việc xđ đoạn vuông góc từ D đến (SAB) khó nhưng ta thấy CD // SA suy ra CD // (SAB), nên d(D, SAB) = d(C, SAB) = BC = c
C3: S/d thể tích 
VD4: Cho hình chóp SABC, SA(ABC), SA = a, tam giác ABC đều cạnh b, H là trung điểm SC, tính k/c từ H đến (SAB)
NX: việc xđ đoạn vuông góc từ H đến (SAB) khó nhưng ta tính được VSABH và SSAB suy ra 
	* k/c giữa 2 đt a, b chéo nhau: 	 C1: xđ đoạn vuông góc chung
	C2: xđ mf (P) thích hợp song song a và đi qua b, lấy A thuộc a thích hợp khi đó d(a, b) = d(A, (P)).
V. Bài tập.
Câu 1: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và SA(ABC)
CM: BC(SAB) b. AH là đường cao tam giác SAB. CM: AHSC
c. Tính VSABC ? biết , AB = a, 
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD. ABCD là hình thoi tâm O. SB = SD.
CM: (SAC) là mặt phẳng trung trực BD
H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. CM: SH = SK, OH = OK và HK // BD.
CM: (SAC) là mf trung trực HK.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. ABCD là hv tâm O, SA(ABCD). Gọi H, I, K là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
CM: BC(SAB), CD(SAD). b. CM: (SAC) là mặt phẳng trung trực BD
c. CMR AH, AK cùng vuông góc SC. Từ đó suy ra 3 đt AH, AI, AK cùng thuộc một mf.
CM: (SAC) là mặt phẳng trung trực HK. Từ đó suy ra HK AI.
Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SA = AB = a. Từ đó tình thể tích : hc S.AKIH và hc H.ABCD.
Câu 4 : Hình chóp S.ABCD. Đáy là hv cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, . H, K là trung điểm AB và AD.
CM: SH(ABCD), ACSK và CKSD
Tính V: 	- S.ABCD
- S.BCDKH
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc (BCD). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD và đường cao DK của tam giác ACD.
CM: AB(BCD). (ABE) (ADC) và (DFK) (ADC)
Gọi O, H là trực tâm tam giác BCD và ACD. CM: OH(ACD).
Câu 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB=a; BC=. Mặt bờn SBC vuụng tại B, mặt bờn SCD vuụng tại D với .	1. Chứng minh: SA^(ABCD) và tớnh SA.
	2. Đường thẳng qua A vuụng gúc với AC cắt cỏc đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SC. Hóy xỏc định cỏc giao điểm K, L của SB, SD với mp(HJK). Chứng minh AK^(SBC); AL^(SCD). 	3. Tớnh diện tớch tứ giỏc AKHL.
Câu 7: Trong mp(P) cho tam giỏc MAB vuụng tại M. Trờn đường thẳng vuụng gúc với mp(P) tại A lấy hai điểm C, D nằm về hai phớa A. Gọi C’ là hỡnh chiếu của C trờn MD, H là giao điểm của AM và CC’.
1. CM: CC’^(MBD). 2. Gọi K là hc vuụng gúc của H trờn AB. CM: K là trực tõm tam giỏc BCD.
Câu 8: Trong mp(P) cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BC=2a, éACB=600.Dựng hai đoạn thẳng BB’=a, CC’=2a cựng vuụng gúc và nằm cựng về 1 phớa với (P). Tớnh cỏc khoảng cỏch sau: 	
1. Từ C’ đến mp(ABB’).
2. Từ trung điểm BC đến mp(ACC’).
3. Từ B’ đến mp(ABC’).
4. Từ trung điểm BC đến mp(AB’C’).
Cõu 9: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a. Tam giỏc SAB đều nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Gọi I là trung điểm AB.	1. CM: SI^(ABCD).	2. CM cỏc tam giỏc SAD, SBC là vuụng.
	3. Tớnh số đo nhị diện cạnh CD.	4. Tớnh khoảng cỏch giữa AB và SC.
Cõu 10: Cho tam giỏc đều SAD và hỡnh vuụng ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuong gúc. Gọi I là trung điểm AD, M là trung điểm AB, F là trung điểm SB và K là giao điểm của CM và BI.
	1. CM mp(CME) (SIB). 	2. Tớnh BK và KF từ đú suy ra tam giỏc KBF cõn.
	3. Dựng và tớnh độ dài cỏc đoạn vuụng gúc chung của AB và SD; CM và SA.
Cõu 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a cú éBAD=600. Gọi O là giao điểm của AC và BD. biết SO^(ABCD) và .	 1. Tớnh khoảng cỏch từ A, O đến mp(SBC). 2. Dựng và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của AD và SB. 3. Tớnh gúc giữa hai mf (SBC) và (SAD). 4. Gọi (P) là mf qua AD và vuụng gúc với mp(SBC). Tỡm thiết diện của hỡnh chúp tạo bởi mp(P).
Cõu 12: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, tõm O. Từ A, B, C, D vẽ 4 nửa đừờng thẳng Ax, By, Cz, Dt nằm cựng 1 phớa và cựng vuụng gúc với (ABCD). Trờn Ax, Cz lấy A’, C’ sao cho OA’=a; A’C’=2a.
	1. Tớnh CC’ theo a. Chứng minh tam giỏc C’A’O vuụng và A’C’ vuụng gúc với mp(DA’B).
	2. Trờn By lấy B’ sao cho BB’=x và trờn Dt lấy D’ sao cho DD’=y. Tỡm hệ thức giữa x, y và a sao cho A’, B’, C’, D’ đồng phẳng. Chứng minh rằng khi đú A’B’C’D’ là hỡnh bỡnh hành.
	3. Tỡm x, y để:	a) D thuộc mp(A’B’C’).
	b) A’B’C’D’ là hỡnh thoi ; là hỡnh chữ nhật.
Cõu 13 (A – 2007): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hv cạnh a, mặt bờn SAD là tam giỏc đều và nằm trong mf vuụng gúc với đỏy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. CM: AM ^ BP và tỡnh VCMNP?
Cõu 14 (B – 2007): Cho hc tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hv cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC. CM: MN^BD và tớnh k/c giữa hai đt MN và AC.
Cõu 15 (D – 2007): Cho hc S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang , , BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB. CM: tam giỏc SCD vuụng và tớnh k/c từ H đến (SCD).
Cõu 16 (A – 2006): Cho hỡnh trụ cú đỏy là hai hỡnh trũn tõm O và O’, bk đỏy bằng chiều cao và bằng a. Trờn đường trũn tõm O lấy điểm A , trờn đường trũn tõm đỏy tõm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tớnh V khối tứ diện OO’AB.
Cõu 17 (B – 2006): Cho hc S.ABCD cú đỏy ABCD là HCN với AB = a, , SA = a và SA^(ABCD). Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. CMR (SAC)^(SMB), Tớnh V của tứ diện ANIB.
Cõu 18 (D – 2006): Cho hc tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, SA = 2a và SA^(ABC). Gọi M, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB, SC. Tớnh V của A.BCMN.
Cõu 19 ( TK A – 2007: Đề 1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 = và . Gọi M là trung điểm CC1. CM: MB^MA1 và tớnh k/c từ A đến (A1BM).
Cõu 20 ( TK A – 2007: Đề 2): Cho hỡnh chúp SABC cú gúc (SBC, ABC) = 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a. Tớnh theo a k/c từ B đến (SAC).
Cõu 21 ( TK B – 2007: Đề 1): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hv tõm O, SA ^(ABCD). AB = a, . H, K là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB, SD. CM: SC^(AHK) và tỡnh V của OAHK.
Cõu 22 (TK B – 2007: Đề 2): Trong mf (P) cho nữa đường trũn đường kớnh AB = 2R và điểm C thuộc nữa đường trũn đú sao cho AC = R. Trờn đường thẳng vuụng gúc với (P) tại A lấy điểm S sao cho gúc (SAB,SBC) = 600 . Gọi H, K lần lượt là hc của A trờn SB, SC. CM tam giỏc AHK vuụng và tỡnh VSABC.
Cõu 23 (TK D – 2007: Đề 1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, AB = AC = a, AA1 = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. CM: MN là đường vuụng gúc chung của AA1 và BC1. Tớnh thể tớch MA1BC1?
Cõu 24 (TK D – 2007: Đề 2): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. CM: BM^B1C và tớnh d(BM,B1C).
Cõu 25 (Dự bị B – 2006: 2):
Cõu 26 ( Dự bị A – 2006: 2): 
Cõu 27 ( Dự bị A – 2006: 1): 
Cõu 28 (Dự bị B – 2006: 1): 
Cõu 29: (A – 08) Cho LT ABC. A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB = a, AC = a và hc vuụng gúc của A’ trờn (ABC) là trung điểm của BC. Tớnh theo a VA’.ABC và cosin của gúc giữa 2 đt AA’ và B’C’.
Cõu 30 (B – 08): Cho hc S.ABCD cú đỏy ABCD là hv cạnh 2a, SA = a, SB = a và (SAB) vuụng gúc mặt đỏy. Gọi M, N là trung điểm AB, BC. Tớnh theo a VS.BMDN và cosin(SM, DN).
Cõu 31 (D – 08): Cho LTĐ ABC. A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, AB = BC = a, cạnh bờn AA’ = a. gọi M là trung điềm BC. Tớnh theo a VABC.A’B’C’ và k/c giữa 2 đt AM, B’C.
Hướng dẩn và đáp án: Hình học không gian
Câu 13. 
a. H trung điểm AD, , 2 tam giác HDC
PCB bằng nhau suy ra 
Do đó mà SC//MN nên
b. K là trung điểm AN (cũng là tđ BH). MK là đường cao 
hc MPCN nên 
Cách 2: dùng toạ độ.
Câu 14.
gọi P là trung điểm SA khi đó MP//AD//NC và MP = NC 
nên MPCN là hbh suy ra MN//PC, 
Nên d(MN,AC) = d(MN,(SAC)) = d(N,(SAC)) = NI = 
Hướng dẩn
Câu 25:
Câu 26: 
Câu 27: 
......