Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị

CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx , b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
Giải:a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đúng với mọi x;y;zVì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z, (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệux + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )= x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 
 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Bài 2: chứng minh rằng : a) b) 
Giảia) Ta xét hiệu = = 
 	= Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu =
 VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =c
Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a) b) c)
Giải:a) (bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) 
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Giải:
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 5: Cho x.y =1 và x.y Chứng minh 
Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng:
 a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d)
 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) 
 4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:
 Nếu 
 Nếu Dấu bằng xảy ra khi
Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Vậy
Bài 7: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng
Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1.Chứng minh rằng : 
Giải:Ta có , Do abcd =1 nên cd = 
Ta có(1)	 
 Mặt khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 
 = = 6 (2) 
 Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh.
Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: 
Giải:Ta có: 
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Tacó ac+bd
Bài 10: Chứng minh rằng 
Giải:Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có:
 3 
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có (1)
 Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có 	 < < (3)
 Tương tự ta có (4) (5)
 (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) 
ta có điều phải chứng minh
Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có Þ 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) Đcm
b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0 b > êa-c ï	Þ > 0
 c > êa-b ï	Þ 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được 
Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :Đặt x = b+c ; y = c+a ;z = a+b ta có a = ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
Bài 13: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng: (1)
Giải:Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 3. , 	3. .
 Mà x+y+z < 1 Vậy (đpcm)
Bài 14: Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 	
Giải :Ta có (vì xy = 1) 
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với 
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 15: Cho xy 1 .Chứng minh rằng 
Giải :Ta có 
 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 16: a. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng 
 b. Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng 
Giải : a. áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 b. 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy (đpcm).
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và 	(2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
 Vậy S Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải : áp dụng BĐTBunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) 
Ta có(1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x = y = z = 
Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn 
Giải : Vì x,y,z là các số nguyên nên: 
 (*)
 Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
II-CÁC BÀI VỀ BĐT- CỰC TRỊ BIỂU THỨC THI VÀO LỚP 10 : 2012-201
( MỨC ĐỘ, YÊU CẦU, BIỂU ĐIỂM )
Câu 5 (1,0 điểm).Hải Dương 2011Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. 
Chứng minh rằng:.
Từ (*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
 (1)
Tương tự ta có: (2), (3)
Từ (1), (2), (3) ta có Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Câu 5(1,0 điểm): HDương . 2- 2012
 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó .
Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó 
Đặt thì là 2 nghiệm của phương trình 
Suy ra 
Tương tự có 
Do đó Trong đó 
Có 
Từ đó 
Vì 0< nên 0< hay . Vậy số nguyên phải tìm là 2701.
Bài 5: (1,0 điểm) ĐăkLăk2011	
Câu 5 ( 1điểm) Hà Tĩnh 2011 Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.Do a, b, c > (*) nên suy ra: , , 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: (1), (2)
(3)Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: . 
Dấu “=” xẩy ra (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 
Baøi 5: (1,0 ñieåm) (vôùi )
* Caùch 1: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá lôùp 8)
* 
* Caùch 2: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá 9)
 x toàn taïi khi phöông trình (*) coù nghieäm.
So saùnh (1) vaø (2) thì 1 khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø: 
Bµi 5 : ( 1 ®iÓm ) Thanh Hóa-2011
Cho c¸c sè d­¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :
Áp dông B§T Cosi ta cã :
 ; 
Céng vÕ víi vÕ ta cã : dÊu b»ng x¶y ra 
 y+ z = x
 x+ z = y ó x + y + z = 0 
 y+ x = z
V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra.=> mäi x, y , z > 0 ( §pcm )
C©u 5: (0,5 ®iÓm) Bắc Giang 2011	Cho hai sè thùc d­¬ng x, y tho¶ m·n:
	.	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y.
Giải§Æt a = x+y = M; b = xy; Tõ gi¶ thiÕt cã:
 = 
+) NÕu a =2b
Th×: x+y = 2xy. Mµ (x+y)2 nªn (x+y)2 (*)
+) NÕu (1)
Gi¶ sö (1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b th× b=vµ 
VËy a (**)
Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi x = y =1.
Bài V (0,5 điểm) Hà Nội 2011.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
GiảiCách 1: 
Vì và x > 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 
M = ³ 0 + 1 + 2010 = 2011
M ³ 2011 ; Dấu “=” xảy ra óÛ x = Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 
Bài 5: Cách 2:
Áp dụng cô si cho ba số ta có Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
mà Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = ½ Vậy 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 
 Nam Định 2011 ( 0,5đ)Chứng minh rằng : Với mọi .
Chứng minh rằng : Với mọi (1)
Đặt , ta có (2) (3)
Vì => (3) đúng . Vậy ta có đpcm
----------------------------------
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1 (1 điểm)Tính giá trị của biểu thức: B = khi 
Giải bài 1: Ta có: . Ta có 
B = Vậy B = 30
Bài 2 (1,0 điểm)	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . 
Giải M = = = min M = 2 khi và chỉ khi x = 2
Bài 3: (1,0 điểm)	Tìm các giá trị x, y là các số nguyên thỏa mãn: x2 - 2xy + 3 = 0.
Giải bài 3: Từ x2 - 2xy + 3 = 0 2xy = x2 + 3 2y = 
Vì y Z 2y Z . Mà x Z x = -1 ; 1 ; -3 ; 3. Thay x = -1 ; 1 ; -3 ; 3 vào biểu thức trên y = -2 ; 2 .
Vậy có các cặp số :(x = -1 ; y = -2), (x = 1 ; y = 2), (x = -3 ; y = -2), (x = 3 ; y = 2).
Bài 4 (1,0 điểm).Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3.
 Chứng minh rằng:.
Giải bài 4: Từ (*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
 (1)
Tương tự ta có: (2), (3)
Từ (1), (2), (3) ta có Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 5. ( 1 điểm )Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 tho¶ m·n:	 Chøng minh r»ng: 
Giải bài 5§Æt x1= XÐt f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 - ux2 + vx - 1
Trong ®ã u = x1 + x2 + x3 = v = x1x2 + x2x3 + x3x1 = Z
NhËn xÐt: NÕu ®a thøc P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Z ; a0)
cã nghiÖm h÷u tØ x = (p, q Z; q0; (p, q) = 1) th× p lµ ­íc cña d cßn q lµ ­íc cña a.
¸p dông nhËn xÐt trªn ta cã §a thøc f(x) cã 3 nghiÖm h÷u tØ x1, x2, x3 vµ c¸c nhiÖm nµy lµ ­íc cña 1
Bài 6: ( 0,5đ) Cho 2 số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 
Giải:Ta có: B 
 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của B là B = 9 ó ó 
Bài 7 (1,0 Điểm ) Cho a + b , 2a và x là các số nguyên. Chứng minh y = ax2 + bx + 2012 nhận giá trị nguyên	
GiảiVì a+b, 2a ÎZ => 2(a+b) – 2a Î Z => 2b Î Z ,Do x Î Z nên ta có hai trường hợp:
 * Nếu x chẵn => x = 2m (mÎ Z) => y = a.4m2 + 2m.b +2012 = (2a).2m2 +(2b).m +2012 ÎZ.
 * Nếu x lẻ => x = 2n +1 (nÎZ) => y = a(2n+1)2 + b(2n+1) +2012 = (2a).(2n2 + 2n) + (2b)n + (a + b) + 2012 ÎZ.
Vậy y = ax2 + bx +2012 nhận giá trị nguyên với đk đầu bài.
Bài 8: Cho các số a, b, c . Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1.
Giải :Vì b, c nên suy ra . Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1).
Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + 1 (2)
Vì a, b, c nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 ; – abc0Do đó từ (2) suy ra a + b + c – ab – bc – ca 1 (3).
Từ (1) và (3) suy ra a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1. 
Bài 9.(1®iÓm)Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Tìm GHTNN của biểu thức P = .
Giải :Từ giả thiết ta có: . Do đó, áp dụng bất đẳng thức Côsi, 
P = = = ³ = 2.
 Đẳng thức xảy ra Û Û .
 Hệ này có vô số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b = c = 1 Þ a = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.
Bài 10 : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2012 
Giải: 1003x + 2y = 2008 .Để y nguyên dương thì 2008 - 1003x > 0 .
* x =1 : ( loại) * x =2 : ( thỏa mãn) 
Vậy 
-----------------------------------------