Ôn thi vào lớp 10 mônToán
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn thi vào lớp 10 mônToán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
D¹ng I: rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai I/ BiÓu thøc sè häc Ph¬ng ph¸p: Dïng c¸c ph¬ng ph¸p biÕn ®æi c¨n thøc(®a ra ; ®a vµo; ;khö; trôc; céng,trõ c¨n thøc ®ång d¹ng; rót gän ph©n sè) ®Ó rót gän biÓu thøc. Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 9) ; 10) ; 11) ; ------------- 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) 20) . II/ BiÓu thøc ®¹i sè: Ph¬ng ph¸p: Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö; T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n cha cho §KX§) Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®îc) Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh: + Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia. + Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc + Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng. + Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän thêng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; gi¶i ph¬ng tr×nh; bÊt ph¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,lín nhÊtDo vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi. vÝ dô: Cho biÓu thøc: a/ Rót gän P. b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a/ Rót gän P: - Ph©n tÝch: - §KX§: - Quy ®ång: - Rót gän: b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn: - Chia tö cho mÉu ta ®îc: . - Lý luËn: P nguyªn nguyªn lµ íc cña 1 lµ. VËy víi a = 1 th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi tËp: Bµi 1: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc A; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. Bµi 2: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc B; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. Bµi 3: Cho biÓu thøc Rót gän biÓu thøc C; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1. Bµi 4: Rót gän biÓu thøc : Bµi5: Cho c¸c biÓu thøc: vµ Rót gän biÓu thøc P vµ Q; T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. Bµi 6: Cho biÓu thøc: Rót gän biÓu thøc P So s¸nh P víi 5. Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 7: Cho biÓu thøc: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn; TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2. Bµi 8: Cho biÓu thøc : Rót gän biÓu thøc P; T×m x ®Ó Bµi 9: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P T×m a ®Ó P< Bµi 10: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P T×m x ®Ó P < T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 11: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1 Bµi 12: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P= Chøng minh P Bµi 13: Cho biÓu thøc: P = víi m > 0 Rót gän P TÝnh x theo m ®Ó P = 0. X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x >1 Bµi 14: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P T×m a ®Ó P = 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ? Bµi 15: Cho biÓu thøc P = Rót gän P TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = vµ b = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu Bµi 16: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7 Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6 Bµi 17: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0 T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P = T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa. Rót gän P TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = vµ b = Bµi 19: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P Chøng minh r»ng P > 0 x Bµi 20: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P TÝnh khi x = Bµi 21: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20 Bµi 22: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P Chøng minh P Bµi 23: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P TÝnh P khi a =16 vµ b = 4 Bµi 24: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P Cho P = t×m gi¸ trÞ cña a Chøng minh r»ng P > Bµi 25: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1 Bµi 26: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 27: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > Bµi 28: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 29: Cho biÓu thøc : P = Rót gän P T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2 Bµi 30: Cho biÓu thøc: P = Rót gän P So s¸nh P víi 3 D¹ng ii: ®å thÞ vµ t¬ng quan gi÷a chóng I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 ⟺ a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2. (d1) cắt (d2) ⟺ a1 ≠ a2. d1) // (d2) ⟺ a1=a2b1≠b2 d1) ≡ (d2) ⟺ a1=a2b1=b2 (d1) ⊥ (d2) ⟺ a1.a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’≠0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b = 0 Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau: Tõ ph¬ng tr×nh (#) ta cã: a) (d) và (P) cắt nhau ⟺ phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau ⟺ phương trình (#) có nghiệm kép c) (d) và (P) không giao nhau ⟺ phương trình (#) vô nghiệm VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b : 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: ax1+b=y1ax2+ b=y2 Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’x2 +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên: Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép⟺Δ=0 +) Gi¶i hÖ để tìm a,b. VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B Gäi x1; x2 lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn lît lµ tung ®é cña A vµ B Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC: IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2. 1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). 2. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). 3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y = 2m +1. Bµi 2: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d): y = ax + b . 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 3: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m 1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 4: Cho (P) vµ (d): y = x + m 1. VÏ (P) 2. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4 4. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P) Bµi 5: Cho hµm sè (P): vµ hµm sè(d): y = x + m 1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) 3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng Bµi 6: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng () y = -2(x+1) 1. §iÓm A cã thuéc () kh«ng ? V× sao ? 2. T×m a ®Ó hµm sè (P): ®i qua A 3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng () ®i qua A vµ vu«ng gãc víi () 4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ () ; C lµ giao ®iÓm cña () víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC? Bµi 7: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 4 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn 2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) 3.T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. (Gîi ý: cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é cã nghÜa lµ A(-2;) vµ B(4;)Þ tÝnh ;SMAB cã diÖn tÝch lín nhÊtM lµ tiÕp ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1)víi (P)vµ(d1)//(d). Bµi 8: Cho (P): vµ ®iÓm M (1;-2) 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m HD: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:mµ a = m. thay x = 1; y = -2 tÝnh b = - m-2. vËy PT: 2. Chøng minh: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi 3. Gäi lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ ®ã? Bµi 9: Cho hµm sè (P): 1. VÏ (P) 2. Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB 3. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 10: Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d): 1. VÏ (P) 2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm 3. Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Bµi 11: Cho (P): vµ ®iÓm I(0;-2). Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi 2.T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt Bµi 12: Cho (P): vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I() cã hÖ sè gãc lµ m 1. VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) 2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) 3. T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 13: Cho (P): vµ ®êng th¼ng (d): 1. VÏ (P) vµ (d) 2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) 3. T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d) Bµi 14: Cho (P): 1.Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB 2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 14: Cho (P): 1.VÏ (P) 2.Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x = 1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x = 2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d): y = mx + n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB Bµi 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P) . D¹ng III: Ph¬ng tr×nh vµ HÖ ph¬ng tr×nh ------------------------ A/ Ph¬ng tr×nh b©c nhÊt mét Èn – gi¶I vµ biÖn luËn: + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng + Gi¶i vµ biÖn luËn: NÕu th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. NÕu th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. NÕu th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt vÝ dô: Gi¶i vµ bÞªn luËn ph¬ng tr×nh sau: Gi¶i: BiÖn luËn: + NÕu th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm: + NÕu th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: nªn ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. + NÕu th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Bµi tËp: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau: Bµi 1. Bµi 2. HD: Quy ®ång- thu gän- ®a vÒ d¹ng ax + b = 0 Bµi 3. . HD: NÕu NÕu th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. b. hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã hai Èn sè: + D¹ng tæng qu¸t: + C¸ch gi¶i: Ph¬ng ph¸p thÕ. Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè. + Sè nghiÖm sè: NÕu Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm . NÕu Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« nghiÖm . NÕu Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. + TËp nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh biÓu diÔn trªnmÆt ph¼ng to¹®é lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng: VÝ dô: Gi¶i c¸c HPT sau: Bµi1: Gi¶i: + Dïng PP thÕ: Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: + Dïng PP céng: Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: Bµi2: §Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi. Vaäy HPT cã nghiÖm lµ Bµi 3: *§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶i sau ®©y: + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: . Vaäy HPT cã nghiÖm lµ + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: . §Æt ; . HPT ®· cho trë thµnh: (TM§K) Vaäy HPT cã nghiÖm lµ Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) 1.1: 1.2. Bµi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá) 2.1. 2.2. Bµi 3: Giaûi heä phöông trình trong moãi tröôøng hôïp sau a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 Bµi 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trìnhcoù nghieäm laø (1; -2) b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm Bµi 5: Giaûi heä phöông trình sau: Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình Bµi 6: Cho hÖ ph¬ng tr×nh Gi¶i hÖ khi a =3 ; b =-2 T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = ( Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô) 7.1) 7.2) 7.3) (®k x;y2 ) 7.4) ; 7.5) ; 7.6) . 7.7) ; 7.8) ; 7.9) ; 7.10) ; 7.11) ; c.Ph¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt 1.C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) * NÕu > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = ; x2 = * NÕu = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý: Trong trêng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän: b’= vµ ' = * NÕu ' > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = * NÕu ' = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu ' < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt I. TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n ( hoÆc x1 = n , x2 = m) II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 4. x1 = vµ x2 = 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và (Đáp số: hay ) 2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : ) 3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho : a) và b) và (Đáp số a) b) ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : (§iều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : giải phương trình trên ta được và Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = thì b = *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tríc .T×m nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tríc cã hai c¸ch lµm: +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: (hoÆc ) (*) - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh , mµ ph¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tríc. §Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm: +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®îc nghiÖm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm thø2 V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và D¹ng 1. D¹ng 2. D¹ng 3. D¹ng 4. D¹ng 5. Ta biết D¹ng 6. = D¹ng 7. = =. D¹ng 8. = = D¹ng 9. = = .. D¹ng 10. D¹ng 11. = D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 D¹ng13 2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính 1. (34) 2. 3. 4. (46) b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. (138) d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. (3) 2. (1) 3. (1) 4. 5. e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính HD: VI. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. Ví dụ 1: Cho phương trình : (1) có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m. (Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn bíc 1) Gi¶i: Bíc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : Bíc2: Rút m từ (1) ta có : (3) Rút m từ (2) ta có : (4) Bíc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m. Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : §K:() ;Thay vào A ta c ó: Vậy A = 0 với mọi . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 1 Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình : . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m. Hướng dẫn: B1: Dễ thấy . Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có B3: Từ (1) và (2) ta có: 2 Cho phương trình : . Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) và (2) ta có: VII.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: và từ giả thiết: . Suy ra: (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Ví dụ 2: Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là : Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết . Suy ra Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 2. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 3. Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: - Từ Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: - Từ : . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn ) VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 D Điều kiện chung trái dấu P < 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P < 0. cùng dấu, P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S < 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. có 2 nghiệm cùng dấu. 2. có 2 nghiệm âm. 3. có ít nhất một nghiệm không âm. IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) Thì ta thấy : (v ì ) (v ì) Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Theo VI-ÉT: Theo đ ề b ài : Suy ra: Ví dụ 2: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: Vì Vậy m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: Vì Vậy Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0 hay Vậy: m = 1 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có g
File đính kèm:
CAC DANG TOAN ON THI VAO 10.doc
