Ôn thi vào lớp 10 THPT - Đại số

Ôn THI Vào lớp 10 THPT
 Đại số
Chuyên đề I.
Thực hiện phép tính về căn thức.
I.Các kiến thức cần lưu ý.
a) Điều kiện để có nghĩa: A 0.
 b) Không phải bao giờ ta cũng có: .( Chỉ xảy ra khi A0 )
 Tổng quát: 
	= /A/ . Bằng A khi A0 ; Bằng –A khi A0.
c) Không phải bao giờ ta cũng có:
d) Chỉ có số không âm mới đưa được vào trong dấu căn và được A2
 VD: ( Sai ).
 ( đúng ).
e) Muốn khai phương của biểu thức A ( Tức là tính ) Ta cần tìm cách viết A dưới dạng A = B2 . Và lúc đó: = .
 VD: .
II. Một số bài toán điển hình.
 Bài 1. Rút gọn biểu thức: 
 a) .
 b) .
 Hướng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương.
 b) Nhân cả tử và mẫu với 2 rồi làm nư câu a.
 ( Hoặc đặt biểu thức là A. rồi bình phương hai vế.).
Bài 2 Chứng minh rằng: 
 a) .
 b) 
Hướng dẫn giải: a) Biến đổi vế trái như ở bài 1.
Viết 
Bài 3 Rút gọn:
 a) ( Với x )
b) ( Với ).
Hướng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương
 b) Nhân cả tử và mẫu với 2.
Bài 3 Tính:
A =.
Hướng dẫn giải: Lập phương hai vế đưa về phương trình bậc ba đối với ẩn là A, Giải phương trình đó tính được A =2.
Bài 4 Thực hiện phép tính: 
 a) 
 b) ).
 c) .
Hướng dẫn giải: a) Đáp số 21 b) c) 16.
Bài 5 Thực hiện phép tính: 
a) b
 c) 
Hướng dẫn giải: a) Đáp số: b) -2 c) 1.
 Bài 6 Cho biểu thức: 
 A = 
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của A khi x = 
Tìm các giá trị của x để A = -3.
 Hướng dẫn giải.
 a) A = b) Thay x vào ta có giá trị của A là: 12.
 c) GiảI phương trình A = 3 ta có : x1= - 3 ; x2 = .
Bài 7 Cho biểu thức: 
 B = .
Rút gọn biểu thức B.
Tính giá trị của B khi x = .
Tìm giá trị của x để B = 16.
Hướng dẫn giải: a) ĐK: x>1. Rút gọn ta được B = x-2.
 b) Biến đổi x = 9+2. Thay vào B ta có B = 7
 c) Giải phương trình B = 16 ta được: x = 26.
 Bài 8 Cho biểu thức: 
P = .
 a) Rút gọn P.
 b) Tính giá trị của P khi x = 6+2.
Tìm x khi P = .
Hướng dẫn giải: a) Rút gọn P = b) x = 6+2=> .
 Sau đó thay x voà P tính được: P = .
c) P = ú x1= 4 ; x2 = .
Bài 9. Tính giá trị của: 
a) A = 
 b) B = 
Chuyên đề II
Hàm số và đồ thị
I. Các kiến thức cần nhớ
 1. Hàm số: y = ax + b (a 0)
	+ Tính chất : * TXĐ : Mọi x R.
 * Sự biến thiên :
 + Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
 + Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R
	+ Đồ thị: Là đường thẳng song song với đồ thị y = ax nếu b 0. cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0 (b được gọi là tung độ gốc)
 + cách vẽ đồ thị: Lấy hai giá trị khác nhau của x rồi lập bảng giá trị tương ứng. Biểu diễn hai điểm trên hệ trục Oxy kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
 + Đường thẳng y = ax + b (a 0) có a gọi là hệ số góc. Và ta có: tg= - Trong đó là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0) với trục Ox.
2. Hàm số: y = ax2 (a 0) 
	+ Tính chất : * TXĐ : mọi x R.
 	 * Sự biến thiên :
 + Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0.
 + Nếu a 0.
	+ Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a 0)
Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi x = 0.
Khi a 0 là giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi x = 0.
	+ Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)
 - là đường cong đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng.
 * Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành. O là điểm thấp nhất của đồ thị.
 * Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dưới trục hoành. O là điểm cao nhất của đồ thị.
3. Tương giao của đường cong Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = bx + c
 Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng 
(d): y = bx + c Là nghiệm của hệ phương trình: => phương trình: ax2 = bx + c (1) là phương trình hoành độ. Vậy:
 + Đường thẳng (d) không cắt (P) ú phương trình (1) vo nghiệm.
 + Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường cong (P) ú Phương trình (1) có nghiệm kép.
 + Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ú phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
II. Một số dạng bài tập thường gặp.
 Dạng1 Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
Bài tập 1: 
Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d,)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y
 GiảI:
a) vẽ đồ thị hai hàm số
b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:x+3=2x+1x=2 suy ra y=5
Ví dụ 2: Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình:
(D1) y=x+1
(D2) y=-x+3
(D3) y= (m2-1)x+ m2 - 5 (với m
Xác định m để 3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.
Nhận xét: 3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phương trình trên hay x;y là nghiệm của và là nghiệm của (D3)
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm B của (D1) ,(D2) là:-x+3=x+1x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3 đường thẳng đồng quy thì (D3)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phương trình (D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5m2=4m=2;m=-2.
Vậy với m=2;m=-2thì 3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua:
 + Hai điểm A (x1; y1) và B (x2 ; y2)
 + Điểm M (x0 ; y0) và song song (vuông góc) với đường thẳng (d) cho trước
Bài tập 2
Xác định phương trình đường thẳng (d) biết:
Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
Đường thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đường thẳng: (d’): y = - x + 3 
Đường thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 7
Hướng dẫn giải
 Gọi đường thẳng (d): y = ax + b 
Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
nên ta có: => Vậy phương trình đường thẳng (d): y = 
b) Vì (d) song song với đường thẳng: (d’): y = - x + 3 => => (d): 
y = mà (d) đi qua M (-2; 5) => ta có: 5 = => b = 
Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = 
c) Đường thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 7
nên ta có: a.2 = -1 => a = và 4 = => b = 
Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = 
Bài tập 3
Cho hàm số y = (m2 – 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:
Đồ thị (D) của hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2
Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đường thẳng y = -3x -2
Đồ thị (D) đi qua điểm A (2; 3) 
Hướng dẫn giải
Đồ thị (D) của hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2 => 
 Ta có: ú 
Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đường thẳng y = -3x -2 => 
ta có: (m2 – 2 ).(- 3) = -1 ú 
 c) Đồ thị (D) đi qua điểm A( 2; 3) => 3 = 2m2 – 4 + 3m + 2 ú 2m2 +3m -5 = 0 
ta có a + b + c = 0 => m1 = - 1; m2 = 
Dạng 3. Tìm điểm cố định mà họ đường thẳng đi qua.
 * Phương pháp: Họ đường thẳng y = f(x;m) đi qua điểm cố định I( x0; y0) với mọi m ú phương trình ẩn m: y0= f(x0;m) có nghiệm với mọi m
Bài tập 4
Cho họ đường thẳng (m – 2).x + 2m y + 1 = 0 (Dm)
Tìm giá trị m biết đường thẳng (Dm) đi qua điểm A(-2; 4)
Tìm điểm cố định I mà họ đường thẳng (Dm) đi qua với mị giá trị của m.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng (Dm) đi qua A(-2; 4) ú (m – 2).(-2) + 2m.4 +1 = 0 ú 6m +5 = 0 ú m = 
Họ đường thẳng (Dm) đi qua điểm cố định I(x0; y0) ú phương trình: (m – 2).x0 + 2m.y0 + 1 = 0 vô số nghiệm m ú (x0 + 2y0).m – 2x0 + 1 = 0 có vô số nghiệm m ú 
Dạng 1: Bài toán chứng minh
 Chứng minh rằng: Đường thẳng (D): y= 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):
 y= 2x2 - 4(2m-1)x + 8m2 - 3
Nhận xét:
Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phương pháp giải vì học sinh không nắm được đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
 y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phương trình vậy phương trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách
giảI sau:
GiảI:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-32x2-8mx+8m2=0x2+4mx+4m2=0
Ta có: với mọi giá trị của m nên Đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đường thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x2-x+3m
a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=3
Nhận xét:tương tự như ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phương trình bậc hai
nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có hai điểm chung.
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
 -x2-x+3m=x+2m-x2-2x+m=0
Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) phương trình (3) có nghiệm kép
4+4m=0m=-1.
b) Đường thẳng (D) cắt parabol (P) phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
4+4m>0m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phương trình
-x2-2x+3=0x=1 hoặc x=3
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập phương trình tiếp tuyến
Ví dụ:Cho đường thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:
a) đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
b)Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
c) đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 tại điểm C(3;2)
Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đường thẳng song song va vuông góc để tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức như dạng hai để giải
Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5y=-2x+5/2 nên phương trình đường thẳng (D) có dạng:
y=-2x+b (b) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm được b=
Vậy phương trình đường thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b)Ta có: x-2y+1=0y=1/2x+1/2.Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng có phương trình:x-2y+1=0a.1/2=-1a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm được b=1.Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2) (D) 2=3a+bb=2-3a 
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được a=3 và suy ra b=-7 Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đường thẳng (D):y=-4x.
Giải:
Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b.Hoành độ điểm chung của (p) và (d) là nghiệm của phương trình: x2-2x-3=-4x+bx2+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) phương trình (2) có nghiệm kép 
Khi đó nếu điểm A(x0;y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do Anên ta có hệ phương trình;
Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) :y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và 
(4 ; -5). 
b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3. 
Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5) 
Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số 
y = ax2 - (1 + 4a)x - 1. 
Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh : 
ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 
ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5) 
Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) Phương trỡnh (5) cú nghiệm kộp 
 ∆’ = 0 4(a - 1)2 - 16a = 0 
 (a + 1)2 = 0 a = -1. 
Do đú : a = -1 ; b = 3 và c = -1. 
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1. 
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 nờn (P) đi qua điểm (0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3 Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2). 
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi 
Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2.
Dạng 6:Quỹ tích đại số
Phương pháp: Điểm M (x(m); y(m)) 
Chuyên đề III
Phương trình – hệ phương trình
GiảI bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình
I. Các kiến thức cần nhớ
 1. Phương trình.
 a) Phương trình bậc nhất một ẩn : Phương trình dạng: ax + b = 0 (1)
 - Cách giải: 
 * Nếu a = 0 => (1) ú 0x + b = 0 
 + b khác 0 => phương trình (1) vô nghiệm.
 + b = 0 => Phương trình vô số nghiệm
 * Nếu a khác 0 => phương trình (1) có một nghiệm duy nhất: x = 
 b) Phương trình bậc nhất hai ẩn:
	 * Phương trình dạng ax + by = c (1) (a2 + b2 0) 
Gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y: ẩn – a, b hệ số)
 * Phương trình (1) có vô số nghiệm (x; y) và nghiệm viết dạng tổng quát.
 c) Phương trình bậc hai: 
 + Phương trình dạng: ax2 + bx + c = 0 (a khác 0)
 + Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn.
 + Định lý Vi-et và áp dụg.
2. Hệ phương trình: 
 a) Hệ phương trình tuyến tính: Có hai dạng: Và 
 * Phương pháp giải: - Dùng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
 b) Hệ phương trình phi tuyến:
 + Hệ đối xứng;
Đối xứng loại I
Đối xứng loại II
+ Hệ đẳng cấp (Bậc hai)
 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình.
 1. Các công việc cần thiết trước khi tiến hành trình bày giải toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình:
 + Đọc kỹ đề, tóm tắt bài toán.
 + Lập bảng thể hiện mối liên hệ giữa các đối tượng và các các đại lượng. => PT hoặc hệ pt.
 + Căn cứ vào bảng trình bày giảI bài toán bằng cách lập pt hoặc hpt. 
II. Một số bài toán điển hình.
 Bài 1. Cho phương trình: ax + (2a – 1).y + 3 = 0 (1)
Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn là phương trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của a.
Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm là (-6; 3) với mọi giá trị của a.
Hướng dẫn giải.
Chứng tỏ a2 + (2a – 1)2 0 với mọi a.
Thay cặp số (-6; 3) vào phương trình thoả mãn với mọi a.
 Bài 2 Cho phương trình: mx + (m + 1).y -5 = 0 (m là tham số).
Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn là phương trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của m.
Tìm giá trị của m để (0; 3) là nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải
Chứng tỏ: m và m + 1 không đồg thời bằng 0 => đ.p.c.m
Thay (0; 3) vào ta tính được m = 
 Bài 3. Cho đường thẳng (d) có phương trình: 3x – 2y = 4 .
a) Vẽ đường thẳng đã cho.
b) Tính hệ số góc cuảe đường thẳng (d).
c) Biểu diễn nghiệm của phương trình 3x – 2y = 4 bằng công gthức.
Hướng dẫn giải
HS tự vẽ.
Ta có y = => Hệ số góc của (d) là a = 
Nghiệm của phương trình 3x – 2y = 4 là 
 Bài 4. Cho đường thẳng (d) có phương trình: mx – (3m – 1).y = 2 
 Chứng tỏ với mọi m (d) luôn luôn đI qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp ở chuyên đề II ta có: điểm cố định mà (d) đI qua với mọi m là I(6; 2)
Bài 5. Xét hệ phương trình: (I)
Chứng tỏ hệ phương trình (I ) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a; a’; b. tuỳ ý.
Khi nào hệ phương (I) có một nghiệm duy nhất.
Giả hệ phương trình khi a = 5; a’ =1; b = 2
 Hướng dẫn giải
Ta có: ú 
Vì (d) và (d’) luôn cắt nhau tại (0; b) => hệ phưiưng trình luôn có ít hất một nghiệm (0;b)
a = a’ hệ có ghiệm duy nhất: )0; b)
a a’ => hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 6. Cho phương trình: 5x + 7y = 60 (1)
Viết nghiệm tổng quát của phương rình (1).
Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1)
 Hướng dẫn giải
 a) 
 b) Vì mà x; y nguyên => 2y 5 = y = 5k ( k nguyên)
 Vậy x = 12 – 7k Do đó nghiệm nguyên của phương trình là: 
 c) Đặt điều kiện cho x ; y . Ta có: 0 k 1 => hai nghiệm tự nhiên là: (12; 0) và (5; 5)
Bài 7. Giải hệ phương trình: 
 Hướng dẫn giải
Đặt ĐK: y khử mẫu ta có hệ phương trình trở thành: GiảI hệ phương trình này được nghiệm: (x; y) =(7; -4)
Bài 8. Cho tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ với A(-3;1); B( -2; 4); C(2; 2 )
Viết phương trình đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC.
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
 Hướng dẫn giải
Gọi trung điểm của AC là M(x0; y0) => x0 = ; y0 = => M(;).
 Phương trình đường trung tuyễn BM có dạng y = ax+ b => a = ; b = Vởy phương trình trung tuyến BM là: y = .x + .
Hoàn toàn tương tự ta tìm được trung tuyễn CN: y = .
b) Toạ độ trọng tâm G là nghiệm hệ phương trình: => G( -1; )
Bài 9. Mọt điểm H trong mtj phẳng toạ Oxy có toạ độ H(2m – 1; m + 3)
Tìm một hệ thức liên hệ giữa xH và yH độc lập với m.
Chứng minh quỹ tích H là một đường thẳng khi m thay đổi.
Hướng dẫn giải
XH -2yH = 7.
Toạ độ H thoả mãn x -2y = 7 => Quỹ tích H là đường thẳng x -2y = 7
* Một số dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
 1. Dạng toán chuyển động
* Bài toán: (SGK đại số 9)
	Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến b, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút . Tính vận tốc mỗi xe.
* Hướng dẫn giải:
	- Trong bài này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc của mỗi xe. Từ đó xác định thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe.
	- Thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe bằng quãng đường AB chia cho vận tốc của mỗi xe tương ứng.
	- Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian đi của xe thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai (42 phút = giờ)
* Lời giải:
	Gọi vân tốc của xe thứ nhất là x (km/h, x > 12 ).
	Thì vận tốc của xe thứ hai là; x - 12 (km/h ).
	Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là (giờ).
 Của xe thứ hai là ( giờ ).
	Theo bài ra ta có phương trình:
 2700x - 2700.(x -12) = 7x.(x -12)
 7x2 - 84x - 32400 = 0
	Giải phương trình ta được x 74,3; x - 62,3 (loại)
	Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 74,3km/h.
 Vận tốc của xe thứ hai là 62,3km/h.
* Chú ý:
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian (S = v.t). Do đó, khi giải nên chọn một trong ba đại lượng làm ẩn và điều kiện luôn dương. Xây dựng chương trình dựa vào bài toán cho.
	- Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:
	+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau
	+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gian thực đi trên đường. Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên.
	- Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.
	- Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S + S = S.
 2.Dạng toán liên quan đến số học:
* Bài toán: (SGK đại số 8)
	Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng . Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho.
* Hướng dẫn giải:
	- Để tìm số đã cho tức là ta phải tìm được những thành phần nào
 (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ). Số đó có dạng như thế nào?
	- Nếu biết được chữ số hàng chục thì có tìm được chữ số hàng đơn vị
 không? Dựa trên cơ sở nào?
	- Sau khi viết chữ số 0 vào giữa hai số ta được một số tự nhiên như thế nào ? lớn hơn số cũ là bao nhiêu?
	* Lời giải
	Gọi chữ số hàng chục của chữ số đã cho là x , điều kiện 0 < x 7 và x N.
	Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
	Số đã cho có dạng: = 10x + 7 - x = 9x + 7
	Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới có dạng : 
 = 100x + 7 - x = 99x + 7
	Theo bài ra ta có phương trình:
 ( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180
 90x = 180
 x = 2 Thoả mãn điều kiện.
	Vậy:	chữ số hàng chục là 2
 	chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5 
 	số phải tìm là 25
* Chú ý:
	- Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm...
Biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó: = 10a + b.
 = 100a + 10b + c.
 ....................
	- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.
3.Dạng toán về năng suất lao động:
* Bài toán: ( SGK đại số 9)
	Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy, tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
* Hướng dẫn giải:
	- Biết số chi tiết máy cả hai tổ trong tháng đầu là 720. Nếu biết được một trong hai tổ sẽ tính được tổ kia.
	- Đã biết được số chi tiết máy của tháng đầu, sẽ tính được số chi tiết máy sản xuất được của tháng kia.
	- Tính số chi tiết máy sản xuất vượt mức trong tháng sau từ đó xây dựng phương trình.
* Lời giải:
	Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )
 Điều kiện x nguyên dương, x < 720
 Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất được: 720 - x ( chi tiết ).
	Tháng 2 tổ một sản xuất vượt mức ( chi tiết ).
	Tháng 2 tổ hai sản xuất vượt mức ( chi tiết ).
Số chi tiết máy tháng 2 cả hai tổ vượt mức: 
 819 - 720 = 99 ( chi tiết )
Theo bài ra ta có phương trình:
 = 99
 15x + 8640 - 12x = 9900
 3x = 9900 - 8640
 3x = 1260
 x = 420 (thoả mãn).
	Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất được 720 - 420 = 300 chi tiết máy.
* Chú ý:
	Loại toán này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình và giải phương trình như các loại toán khác.
	Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán.
 4.Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:
* Bài toán ( SGK đại số 8).
	Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc làm được của đội 1 bằng 1 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
* Hướng dẫn giải:
	- Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bằng số 1.
	- Số phần công việc trong một ngày nhân với số ngày làm được là 1.
* Lời giải:
Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xog con mương là x ( ngày)
Điều kiện x > 0 .
Trong một ngày đội 2 làm được công việc.
Trong một ngày đội 1 làm được 1 (công việc ).
Trong một ngày cả hai đội làm được công việc.
Theo bài ra ta có phương trình:
 24 + 36 = x
 x = 60 thoả mãn điều kiện
Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.
Mỗi ngày đội 1 làm được công việc.
Để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày.
* Chú ý:
	ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước. Từ đó lập phương trình và giải phương trình.
 5.Dạng toán về tỉ lệ chia phần:
* Bài toán: (SGK đại số 8).
	Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai 100 tấn. Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất bằng số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.
* Hướng dẫn giải:
Quá trình
Kho I
Kho II
Trước khi chuyển
 x + 100 (tấn)
x (tấn ), x > 0
Sau khi chuyển
x +100 - 60 (tấn )
x + 60 ( tấn )
Phương trình: x + 100 - 60 = . (x + 60 )
* Lời giải:
Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn ), x > 0.
Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn ).
Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 ( tấn ).
Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 ( tấn ).
Theo bài ra ta có phương : x + 100 - 60 = 
 Giải phương trình tìm được: x = 200 thoả mãn điều kiện.
	Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc
Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc.
 6.Dạng toán có liên quan đến hình học:
* Bài toán: ( SGK đại số lớp 9 ).
	Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn.
* Hướng dẫn giải:
	- Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.
	- Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải.
* Lời giải:
	Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140
	Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m ).
	Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x - 4(m) và 140 - x - 4 = 136 - x (m).
	Theo bài ra ta có phương trình:
 ( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256
 140x - x2 - 544 = 4256
 x2 - 140x - 4800 = 0
	Giải phương trình tìm được x = 80; x = 60 (thoả mãn).
	Vậy kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.
 7.Toán có nội dung vật lý, hoá học:
* Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )
	Người ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng?
* Hướng dẫn giải:
	- Để giải bài toán ta cần chú ý khối lượng riêng của mỗi chất được tính theo công thức: D = V = 
	Trong đó:	m là khối lượng tính bằng kg
	V là thể tích của vật tính bằng m3
	D là khối lượng riêng tính bằng kg/m3
* Lời giải:
	Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m3), điều kiện x > 200
	Thì khối lượng riêng của chất thứ hai là: x – 200 (kg/m3)
	Thể tích của chất thứ nhất là: (m3)
 	Thể tích của chất thứ hai là: ( m3 ).
	Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là: ( m3).
	Trước và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất lỏng không đổi, nên ta có phương trình: 
	Giải phương trình ta được: x = 800 thoả mãn điều kiện 
 x = 100 ( loại ).
	Vậy khối lượng riêng của chất thứ nhất là 800 k