Phép biến hình trong mặt phẳng

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 
Phép dời hình: F = ( )Đ Đ aD- - -
 ,I OvT Q : Nếu ( )F M M ′= và ( )F N N ′= thì MN M N′ ′= . 
Phép đồng dạng: F = ( ),I kV với „ 0k : Nếu ( )F M M ′= và ( )F N N ′= thì M N k MN′ ′= . 
Tính chất: Phép biến hình đã học “biến cái gì thành cái đó”. 
§ Phép tịnh tiến theo vectơ v


_
v
T  
 : ( ) .vT M M MM v′ ′= Û =



Trong mp Oxy: ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , , .
v
x x a
v a b M x y M x y T M M
y y b
′ = +
′ ′ ′ ′= = Û 
′ = +




§ Phép đối xứng tâm I_ [ ]IĐ : ( )IĐ M M M I′= „ Û là trung điểm của .MM ′ 
Trong mp Oxy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2; , ; , , .
2I
x x a
I a b M x y M x y Đ M M
y y b
′ + =
′ ′ ′ ′= = Û 
′ + =
§ Phép đối xứng trục 
D
_[ ]Đ
D
: ( )Đ M M M
D
′= „ Û D là trung trực của .MM ′ 
Trong mp Oxy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; , ; .Ox OyM x y : Đ M M x y Đ M M x y′ ′= - = - 
§ Phép quay tâm O góc 
a
_ ( ),OQ a   : ( ) ( ) ( ), ;O
OM OMQ M M
OM OMa a
′=
′= Û 
′ =
. 
Trong mp Oxy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),90 , 90; ; , ; .o oO OM x y : Q M M y x Q M M y x-′ ′= - = - 
§ Phép vị tự tâm I tỉ số 0k „ _ ( ),I kV   : ( ) ( ), .I kV M M IM k IM′ ′= Û =

 

Trong mp Oxy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),; , ; , , . I k
x a k x a
I a b M x y M x y V M M
y b k y b
′
- = -
′ ′ ′ ′= = Û 
′
- = -
. 
BÀI TẬP 
Dạng 1: 

 Xác định ảnh của một điểm, 1 đường thẳng, 
1 đường tròn qua một hoặc hai phép biến 
hình liên tiếp. 

 Xác định một phép biến hình khi cho biết 
một vài dữ kiện nào đó. 
Dạng 2: 

 Sử dụng tính chất của phép biến hình để 
giải quyết một bài toán chứng minh hình 
học phẳng hoặc một bài toán về quỹ tích 
điểm. 

 Trong mp Oxy, cho các điểm ( )1; 3 ,A ( )2; 4 ,B - ( )3; 5C , đường thẳng 
( ) : 2 3 0d x y- + - = , đường thẳng ( )1 : 3 2 2 0d x y- + = và đường tròn 
( ) 2 2: 4 8 4 0x y x y+ - + + =C . 
Bài 1: Tìm ảnh của điểm A và đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ ( )3; 6v = -
 . 
Bài 2: Tìm ảnh của đường tròn ( )C qua phép đối xứng tâm ( )2;1I - . 
Bài 3: Tìm ảnh của đường tròn ( )C qua phép vị tự tâm ( )6;8S - , tỉ số 1
4
k = . 
Bài 4: Tìm ảnh của đường thẳng ( )d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay 
tâm O góc 90o và phép đối xứng trục tung. 
Bài 5: Tìm ảnh của đường thẳng ( )1d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối 
xứng trục hoành và phép quay tâm O góc -90o. 
Dạng 2: Sử dụng tính chất của phép biến hình: 
 Bài 1: Cho điểm B thuộc đoạn thẳng AC. Dựng về cùng một phía so với AC hai tam giác đều 
ABD và BCE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và CD. Chứng minh tam giác BMN đều. 
 Bài 2 (BT 7 trang 35, SGK) Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với 
đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O), dựng các hình bình hành MABN và 
MAEB. Tìm quỹ tích điểm N và E khi M di động trên (O). 
 Bài 3: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm B và dựng các hình vuông ABMN và BCEF nằm cùng một 
phái với đường thẳng AC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CM, AE. Chứng minh tam 
giác BPQ vuông cân. 
 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A,B cố định, AC cắt BD tại I. Tìm quỹ tích các điểm C và 
D khi I di động trên một đường tròn cố định. 
§ Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các tam giác đều ABMN và 
ACPQ. Gọi E là trung điểm của BC, F là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: 
AE NQ^ và 2AE NQ= . 
§ Bài 6. Hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ có chung tâm I và cùng chiều. Gọi M,N là trung điểm 
các cạnh AB, BC; M’,N’ là trung điểm các cạnh A’B’, B’C’. Chứng minh .MM NN′ ′^ 
§ Bài 7. Cho tam giác ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài các tam 
giác đều 1 1 1, ,ABC BCA CAB . Chứng minh rằng 1 1 1.AA BB CC= = 
§ Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. A, B cố đinh. C di động. Tìm quỹ 
tích trực tâm H, trọng tâm G của tam giác. 
§ Bài 9. Cho điểm A nằm trên nửa đường tròn đường kính BC. Dựng về phía ngoài tam giác ABC 
hình vuông ABEF. Chứng minh khi A di động thì F cũng di động trên một nửa đường tròn cố 
định. 
§ Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC, M là 
trung điểm của đoạn AK và N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng .MB MN^