Phương pháp giải bài tập quan hệ vuông góc

Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 1 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUAN HỆ VUƠNG GĨC 
PHẦN THỨ NHẤT: PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
 Để chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng ta cĩ thể theo các định lí , hệ quả sau : 
   0; 90a b a b   . 
 
/ /b c
a b
a c

 

. 
 0a b a b   
 
 .Nếu ,a b
 
 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vàa b 
 Khi hai đường thẳng cắt nhau ta cĩ thể dùng các kết luận đã cĩ trong hình học phẳng như : tính chất đường 
trung trực , định lí Pitago đảo  để chứng minh chúng vuơng gĩc . 
 
( )
( )
a
a b
b


 
 
 
 ; 
 
/ /a
b a
b



 
 
 
 '
'
a hch a
b b a
b a


 

  
 
 ; 
 '
'
a hch a
b b a
b a


 

  
 
 . 
 
;ABC a AB
a BC
a AC
  
 
 
 Để chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ta cĩ thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau : 
 a  a b     
 --+
a b
a c a
b c O

 
 

   
  
. 
 / /a b a    . 
 / / a a     . 
    |AB M MA MB   ( là mặt phẳng trung trực của AB). 
 
 
 
ABC
MA MB MC MO
OA OB OC


  

   
  
. 
 
   
 
   
 
P Q
a P a Q
a c P Q
 

  
   
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 2 
 
   
   
   
 
P R
Q R a R
P Q a
 

  
  
 Để chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau ta cĩ thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau : 
          0, 90P Q P Q   
 
 
 
   
P a
P Q
a Q
 
 
 
 
   
   
   
/ /
R Q
P Q
P R
 
 

. 
 Tính gĩc giữa hai đường thẳng 
Phương pháp : Cĩ thể sử dụng một trong các cách sau: 
 Cách 1: (theo phương pháp hình học) 
 Lấy điểm O tùy ý (ta cĩ thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đĩ vẽ các đường thẳng lần lượt 
song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho 
 Tính một gĩc trong các gĩc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O . 
 Nếu gĩc đĩ nhọn thì đĩ là gĩc cần tìm , nếu gĩc đĩ tù thì gĩc cần tính là gĩc bù với gĩc đã tính . 
 Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ) 
 Tìm 1 2,u u
 
 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng    1 2àv  
 Khi đĩ     1 21 2 1 2
1 2
cos , cos ,
u u
u u
u u

   

 
 
  . 
 Tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Phương pháp : 
     0, 90a a    ; 
   0
/ /
, 0
a
a
a




  
; 
 
     , , '
'
a
a a a
a hch a


 
 
 
o Để tìm 'a hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng  MH  tại H , suy ra 
  ' ,hch a a AH A a       ,a MAH  
 Xác định gĩc giữa hai mặt phẳng 
Phương pháp : 
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 3 
 Cách 1 : Dùng định nghĩa : 
       , ,P Q a b trong đĩ :   
a P
b Q
 

 
 Cách 2 : Dùng nhận xét : 
       
   
   
      , ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
    

   
  
. 
 Cách 3 : Dùng hệ quả : 
 
 
   
     ,P
M Q
H hch M P Q MNH
HN m P Q
 

  

   
 . 
 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng 
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuơng gĩc vẽ từ điểm đĩ 
đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau : 
 Cách 1 : 
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuơng gĩc với (P) . 
 Xác định    m P Q  . 
 Dựng    MH m P Q   , 
  MH P  
suy ra MH là đoạn cần tìm . 
 Cách 2: Dựng    / /MH d  
o Chú ý : 
 Nếu        / / , ,MA d M d A    . 
 Nếu  MA I 
  
  
,
,
d M IM
d A IA


  
 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: 
 Khi 
 
 
  , 0
a P
d a P
a P

 

 . 
 Khi  / /a P 
      , ,d a P d A P  với  A P . 
 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : 
R
P
Q
p
q
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 4 
 Khi 
   
   
    , 0
P Q
d P Q
P Q

 

 . 
 Khi    / /P Q 
       , ,d P Q d M Q  
với  A P . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 Khi 
   
   
    
'
, ' 0
'
d
  
   
  
 . 
 Khi               / / ' , ' , ' ,d d M d N         với    , 'M N    . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 
 Đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
  và  ' là đường thẳng  a cắt   ở M và cắt 
 ' ở N đồng thời vuơng gĩc với cả   và  ' . 
 Đoạn MN được gọi là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường 
thẳng chéo nhau   và  ' . 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 
vuơng gĩc chung của hai đườngthẳng đĩ . 
Phương pháp : 
 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) . 
 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
đĩ là khoảng cách cần tìm . 
 Cách 3 : Dựng đoạn vuơng gĩc chung và tính độ dài đoạn đĩ . 
 Cách dựng đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau : 
 Cách 1: Khi a b 
 Dựng một    ,mp P b P a  tại H . 
 Trong (P) dựng HK b tại K . 
 Đoạn HK là đoạn vuơng gĩc 
chung của a và b . 
 Cách 2: 
 Dựng    , / /P b P a . 
 Dựng  ' Pa hch a , bằng cách lấy M a 
dựng đoạn  MN  , lúc đĩ a’ là 
đường thẳng đi qua N và song song a . 
 Gọi 'H a b  , dựng / /HK MN 
HK là đoạn vuơng gĩc chung cần tìm . 
(a)
(D')
(D)M
N
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 5 
PHẦN THỨ 2:HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN 
Bài1.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , SA vuơng gĩc với đáy , SA = a 2 . 
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chĩp là những tam giác vuơng. 
b) CMR (SAC)  (SBD) . 
c) Tính gĩc giữa SC và mp ( SAB ) . 
d) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) 
e) Tính d(A, (SCD)) . 
O
a
a 2
A
B C
D
S
H
Bài 2:Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại C và SB  (ABC), biết AC = a 2 , BC = a, SB = 3a. 
a) Chứng minh: AC  (SBC) 
b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA  BH. 
c) Tính gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 
3 a
a a 2
B
C
A
S
H
a
60°
a
a
a
H
O
A D
B C
S
Bài tập 3: Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a cĩ gĩc BAD = 600 
và SA=SB = SD = a. 
a) Chứng minh (SAC) vuơng gĩc với (ABCD) 
b) Chứng minh tam giác SAC vuơng 
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) 
Bài tập 4: Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là 
trung điểm của AB và CD. 
a) Cho biết tam giác SCD vuơng cân tại S. Chứng minh: SE  (SCD) và SF  (SAB). 
b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S trên EF. Chứng minh: SH  AC 
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 6 
c) Tính gĩc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) 
a
Q
K
M
HO F
E
A
B C
D
S
P
Bài tập 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,  ( )SA ABCD và SA = 2a. 
a). Chứng minh ( ) ( )SAC SBD ; ( ) ( )SCD SAD 
b). Tính gĩc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC); 
c). Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) 
2a
a
H
O
A
D
B C
S
Bài tập 6 Hình chĩp S.ABC. ABC vuơng tại A, gĩc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuơng gĩc với 
đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). 
a) CM: SB  (ABC) 
b) CM: mp(BHK)  SC. 
c) CM: BHK vuơng . 
d) Tính cosin của gĩc tạo bởi SA và (BHK). 
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 7 
Giải 
60°
2a
a
K
B
A
C
S
H
Bài 7: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 
5
2
a
. Gọi O là tâm của hình vuơng 
ABCD. Và M là trung điểm của SC. 
a) Chứng minh: (MBD)  (SAC) 
b) Tính gĩc giữa SA và mp(ABCD) . 
c) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). 
d) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) 
a 5
2
a
M
O
A D
B C
S
E
F
Bài tập 8: Cho hình lăng trụ ABC.ABC cĩ AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A cĩ BC = 2a, 
AB = a 3 . 
a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). 
b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). 
c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). 
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 8 
a 3
2 a
a
K
H '
B '
O
C
A
C '
A '
BH
Bài tập 9:Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, gĩc  060BAD  , cĩ SO vuơng gĩc mặt 
phẳng (ABCD) và SO = a. 
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). 
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). 
Bài tập 10: (Đề thi Đại học khối A năm 2010). 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và 
AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và 3SH a . Tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 
\ 
K
F
E
D
CB
A
S
H
O
D 
B 
M
N
H
K
D
CB
A
S
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 9 
PHẦN THỨ 3:MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LÀM 
Bài 1. Cho hình chĩp .S ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B , , 2AB BC a AD a   , các mặt phẳng 
 SAB và  SAD cùng vuơng gĩc với mặt phẳng  ABCD . 
a) Chứng minh  SA ABCD . 
b) Chứng minh    SAC ABCD . 
c) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp .S ABCD đều là các tam giác vuơng . 
 d) Khi 6SA a . Tính gĩc giữa SD với mặt phẳng  ABCD và gĩc giữa hai mặt phẳng  ABCD và  SCD . 
d) Tính các khoảng cách :        , ; , ; ,d A SCD d CD SAB d SD AC . 
Bài 2. Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a. 
a) Tính đường cao của hình chĩp . 
b) Tính gĩc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy . 
c) Tính d(O, (SCD)) . 
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của BD và SC . 
e) Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuơng gĩc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? 
Tính diện tích của thiết diện . 
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD cĩ 6, 3 3AD AB  . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho 2MA MB và N là trung 
điểm của AD . Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho 2 6SM  . 
a) Chứng minh      ;AD SAB SBC SAB  ; 
b) Chứng minh    SBN SMC ; 
c) Tính gĩc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC : 
d) Xác định vị trí điểm P SM sao cho      0, 60PNC SMC  . 
 (Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) . 
Bài 4. (*) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuơng gĩc với (ABC) . 
a) Chứng minh (SAI) vuơng gĩc với (SBC) . 
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vuơng gĩc với 
(SAC) và (NFC) vuơng gĩc với (SBC) . 
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuơng gĩc với (SBC) . 
d) Cho () qua A và song song với BC và () vuơng gĩc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi () khi SA = 2a 
. 
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS khơng đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất . 
a. Khi SA = 3a . Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) . 
Bài 5. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng SAB đều cạnh a, (SAB) vuơng gĩc với (ABCD) . 
a) Chứng minh SCD cân . 
b) Tính số đo gĩc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) . 
c) Tính đoạn vuơng gĩc với chung giữa AB và SC . 
Bài 6. Cho OAB cân tại O . OA = OB = a ,  0120AOB  . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuơng gĩc với (OAB) về cùng 
một phía , lấy M , N sao cho ,AM x BN y  . 
a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuơng tại O . 
b) Cho OMN vuơng tại O và x + y = 
2
3a
. Tính x, y ( x < y ) . 
c) Với kết quả câu b) . Tính gĩc  ,OMN OAB . 
d) Giả sử M , N lưu động sao cho 2y x . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định. 
Thầy Trịnh Quang Hịa-THPT Hiệp Hịa số 3 –ĐT:0974.938.838 
Trang 10 
Bài 7. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt  , 0AI x x a   . 
a) Chứng minh khi  4 15x a  thì gĩc giữa DI và AC’ bằng 060 . 
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất . 
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x . 
Bài 8. Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ , 2AB a SA a  . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh 
, ,SA SB CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với đường thẳng SP . Tính khoảng cáh từ P đến  SAB 
 (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) . 
Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , , ' 2 ,AB a AA a  ' 3A C a . 
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' 'A C , I là giao điểm của AM và 'A C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến 
mặt phẳng  IBC . (KHỐI D NĂM 2009) . 
Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C cĩ 'BB a , gĩc giữa đường thẳng 'BB và mặt phẳng  ABC bằng 600 ; 
ABC là tam giác vuơng tại C và  060BAC  . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng  ABC trùng với trọng 
tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách ttừ 'A đến mặt phẳng  ABC và diện tích của tam giác ABC . 
 (KHỐI B NĂM 2009). 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D , 2 ,AB AD a CD a   , ; góc giữa hai mặt 
phẳng  SBC và  ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng  SBI và  SCI cùng 
vuông góc với mặt phẳng  ABCD , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD và diện tích của hình thang ABCD . 
 (KHỐI A NĂM 2009). 
Bài 12. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh S trên mặt 
phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 
4
AC
AH  . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm 
của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC theo a. 
 (KHỐI D NĂM 2010) . 
Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C cĩ AB a , gĩc giữa hai mặt phẳng  'A BC và  ABC bằng 600. Gọi 
G là trọng tâm tam giác 'A BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC và  ' ' 'A B C . Tìm điểm M cách đều bốn 
điểm , , ,G A B C tính khoảng cách từ M đến các điểm đĩ theo a . 
 (KHỐI B NĂM 2010) . 
Bài 14. Cho hình chĩp .S ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng  ABCD và 3SH a . Tính diện 
tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 
 (KHỐI A NĂM 2010) . 
Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng , , ' 2AB BC a AA a   . Gọi M là trung 
điểm của đoạn thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và 'B C . 
 (KHỐI D NĂM 2008) . 
Bài 16. Trong mặt phẳng  P cho nửa đường trịn đường kính 2AB R và điểm C thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho 
AC R . Trên đường thẳng vuơng gĩc với  P tại A lấy điểm S sao cho      0SAB , SBC 60 . Gọi ,H K lần lượt là 
hình chiếu của A trên ,SB SC .Chứng minh tam giác AHK vuơng và tính diện ABC và khoảng cách từ S đến  P . 
 (KHỐI A NĂM 2007) . 
Hiệp Hịa ngày 15/3/2014