Phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 1 
 BAØI VIEÁT KYØ NAØY 
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GTLN – GTNN 
 Th.S Nguyễn Minh Hải 
ài toán tìm GTLN - GTNN thường xuyên xuất hiện 
trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi Đại học, Thi học 
sinh giỏi lớp 12 với nhiều hình thức và mức độ khác 
nhau. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu về phương pháp hàm số để giải quyết các 
bài toán này. 
I. Một số dạng toán thường gặp và chú ý khi giải. 
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến. 
Trường hợp1. GTLN – GTNN của hàm số trên một đoạn. 
 Giả sử y (x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại 1 ,..., ,nx x a b . 
Khi đó: 1
,
Max Max ,..., , , ;n
x a b
f x f x f x f a f b 
 1
,
Min Min ,..., , ,n
x a b
f x f x f x f a f b 
Trường hợp 2. GTLN – GTNN của hàm số trên một tập D. 
Xét hàm f(x) trên tập D tổng quát. Ta khảo sát để lập BBT của đồ thị f(x) trên D. 
Từ BBT ta tìm ra GTLN, GTNN của f(x). 
Trường hợp 3. Khi hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. Chúng ta xét dấu khử gíá trị tuyệt đối 
và đưa về khảo sát hàm số trên từng khoảng xác định đã chia. 
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức có nhiều biến. 
Cách 1. Chúng ta có thể coi một trong các biến đó là biến để khảo sát, coi các biến còn lại 
là tham số. 
Cách 2. Dùng phép đặt ẩn phụ để đưa biểu thức về một biến duy nhât, sau đó khảo sát theo 
biến mới đó. Với dạng này thì cần phải tìm điều kiện cho tham số mới chính xác. 
Cách 3. Áp dụng bất đẳng thức đánh giá chặt biểu thức theo một tham số mới. Trong 
trường hợp này phải chú dấu bằng xảy ra khi áp dụng BĐT và cũng phải tìm điều kiện 
chính xác cho tham số mới. 
II. Bài tập có lời giải chi tiết. 
1. Bài toán khảo sát trực tiếp 
Ví dụ 1.1. Tính GTLN, GTNN của hàm số 
3
22 3 4
3
x
y x x trên đoạn [-4; 0] 
Hướng dẫn. Hàm số liên tục trên [-4; 0], việc tìm GTLN-GTNN đơn giản hơn. Ta chỉ cần 
dựa vào giá trị của hàm số tại các điểm đạo hàm bằng 0 và hai đầu mút. 
 2
1 16 16
'( ) 4 3 '( ) 0 ; ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3 3
x
f x x x f x f f f f
x
[-4;0]
Ëy Max ax{ ( 4); ( 3); ( 1); (0)} 4 x = -3 hoÆc x = 0;
x
V y m f f f f khi 
[-4;0]
16
Min min{ ( 4); ( 3); ( 1); (0)}= khi x = -4 hoÆc x = -1
3x
y f f f f 
Ví dụ 1.2. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số 
1
y x
x
 trên (0;3] 
Hướng dẫn. Dễ thấy hàm số liên tục trên (0; ) . 
B 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 2 
2
2
2 2
1 1
'( ) 1 '( ) 0 1 0 1
x
y x y x x x
x x
. 
Dễ thấy 1 (0; )x . Vậy y'(x) 0 x 1. 
Có: 
x 0
4
limf (x) ; f (3) .
3
Từ BBT suy ra Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. 
Chú ý: 
 - Ở trên ta chỉ lấy nghiệm x = 1, giá trị x = -1 không thuộc vào TXĐ đang xét. 
 - Khi xét hàm số trên khoảng ta phải tính giới hạn của hàm số tại các đầu mút và tại 
các điểm không xác định trên khoảng đó. Khi đó mới kết luận được GTLN. 
Chú ý. Nếu bài toán không nói rõ tìm GTLN – GTNN trên tập nào thì chúng ta phải 
hiểu là tìm trên toàn bộ Tập xác định của hàm số đó. 
Ví dụ 1.3. (D-2010) Tìm GTNN của hàm số: 2 2y x 4x 21 x 3x 10 
Hướng dẫn. Khảo sát hàm 2 2f (x) x 4x 21 x 3x 10 trên 2 x 5. 
Có: 
2 2
4 2x 3 2x
f '(x)
2 x 4x 21 2 x 3x 10
 2 2f '(x) 0 (4 2x) x 3x 10 (3 2x) x 4x 21 
2 2 2 2
(2 x)(3 2x) 0 x ( ;1.5] [2; )
(4 2x) ( x 3x 10) (3 2x) ( x 4x 21) (3x 1)(17x 29) 0
1 1
x ; f ( ) 2.
3 3
 f(x) liên tục trên [-2; 5]. 
 Vậy min f (x) min{f ( 2);f (5);f (1/ 3)} f (1/ 3) 2. 
Nhận xét. Vì hàm số có TXĐ là đoạn [ 2;5] nên việc thực hiện đơn giản. 
Nếu yêu cầu tìm GTLN, GTNN của hàm trên (-1; 4] chẳng hạn thì ta phải lập BBT. 
Chú ý. Khi xét dấu của đạo hàm thì ta không nhất thiết phải giải các BPT 
'( ) 0; '( ) 0f x f x . Trong nhiều trường hợp ta không thể giải được các BPT này. Ta chỉ 
cần tìm nghiệm của '( ) 0f x sau đó dựa vào các điểm tới hạn của hàm số để phân chia 
TXĐ thành từng khoảng rời nhau tạo thành từ các điểm tới hạn liên tiếp, dấu của đạo hàm 
trên từng đó khoảng không đổi. Muốn xác định dấu của '( )f x trên khoảng (a;b) 
với a, b là các điểm tới hạn liên tiếp thì ta chỉ cần tính 0 0'( ), ( , ).f x x a b Khi đó dấu của 
0'( )f x chính là dấu của '( )f x trên (a,b). 
Bài tập tự luyện. 
Bài tập 1.1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
 1. 2 ln(1 2 )y x x trên đoạn [-2; 0]; 2. 2 cosy x x trên đoạn [0; ]
2
 3. 4 22 1y x x trên đoạn [0; 2] ; 4. 3 28 16 9y x x x trên đoạn [1; 3] 
Bài tập 1.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 
2
4
3
+
+- 0
310
y
y'
x
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 3 
2
x 1
. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
1 3
 = trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
2. Bài toán khảo sát gián tiếp 
 Nếu hàm số phức tạp, hoặc biểu thức với nhiều biến thì chúng ta phải cố gắng tìm 
cách đặt biến phụ để dưa về xét hàm số đơn giản hơn. Các đề thi Đại học, Cao đẳng 
thường cho ở dạng này. 
Ví dụ 2.1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 2( ) 4 2 3f x x x x trên các đoạn 
 1. Đoạn 0;4 2. Đoạn [1;2]. 
Hướng dẫn. Ở bài toán này f(x) là hàm bậc 4, nếu ta khảo sát trực tiếp bằng cách đạo 
hàm trực tiếp thì tiến trình sẽ phức tạp hơn và nhiều khi không thể xét được dấu của 
đạo hàm. Để giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn, ta tiến hành biến đổi và đặt ẩn 
phụ như sau: 
Ta có: 
2 2( ) 4 2 3 [( 2)( 1)][(x+2)(x-3)]f x x x x x x 2 2=(x 2)( 6).x x x 
 Đặt 2 2t x x khi đó: ( ) ( 4) ( ).f x t t g t g'(t) 2(t 2) 
 Tuy nhiên ta lại phải có thêm một bước là đi tìm TXĐ của g(t). 
 1. Lập BBT của t(x) trên [0; 4] được: 
9
t 10.
4
 Khi đó: g'(t) 0 t 2. 
 Ta có: g(2) = -4 <
9 225
g( )
4 16
 g(10) = 60. 
 Do đó 
9x [0;4]
t [ ;10]
4
min f (x) min g(t) g(2) 4 t 2 x 0. 
9x [0;4]
t [ ;0]
4
max f (x) max g(t) g(10) t 10 x 4. 
 2. Lập BBT của t(x) trên [1; 2] được: 2 t 0 g'(t) 0. 
 Ta có: g(-2) = 12 > g(0) = 0. Do đó 
x [1;2] t [ 2;0]
min f (x) min g(t) g(0) t 0 x 2. 
x [1;2] t [ 2;0]
maxf (x) max g(t) g( 2) t 2 x 1. 
Ví dụ 2.2. (Đại học khối D-2009) Cho x, y là các số thực không âm : x + y = 1.Tìm 
GTLN, GTNN của biểu thức: 3 3P (4x 3y)(4y 3x) 25xy. 
Hướng dẫn . 
 Do x+y =1 nên: 2 2 3P 16x y 12[(x y) 3xy(x y)] 34xy 2 216x y 2xy 12. Đặt t = 
xy, được: 
2
2 (x y) 1 1P 16t 2t 12; 0 xy t [0; ].
4 4 4
Xét 2f (t) 16t 2t 12 trên 
1
[0; ]
4
, có: 
1 1 191 1 25
f '(t) 32t 2;f '(t) 0 t ; f (0) 12;f ( ) ;f ( ) .
16 16 16 4 2
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 4 
Vậy 
1
t [0; ]
4
x y 1
1 25 1 1
max f (t) f ( ) t x y .1
4 2 4 2x.y
4
1
t [0; ]
4
x y 1
1 191 1 2 3 2 3
min f (t) f ( ) t x ;y .1
16 16 16 4 4x.y
16
Ví dụ 2.3. Cho x 0,y 0 thỏa mãn điều kiện : 2 2x y xy 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 3P(x, y) 9(x y xy ) 10 2(x y) 
Hướngdẫn Ta có: 2 21 x y xy 2xy xy xy 0. 
 Trong đó: 
x 0;y 1
xy 0
y 0;x 1
; xy 1 x y 1. 
- Đặt t xy(t [0;1]). Khi đó: 2 2 2 2x y 1 xy 1 t; x y x y 2xy 1 3t. 
 2 2P(x,y) 9xy(x y ) 10 2(x y) 9t(1 t) 10 2(1 3t) f (t), t [0;1]. 
 * Xét hàm f(t) trên [0; 1]. 
30 2 9(2t 1) 1 3t 15 2
f '(t) 18t 9 ;
2 1 3t 1 3t
 f '(t) 0 9(2t 1) 1 3t 15 2 (*) 
 - Vì hàm g(t) 9(2t 1) 1 3t đồng biến trên [0 ; 1] và
1 1
g( ) 15 2 (*) x .
3 3
Suy ra : 
t [0;1]
1
min f (t) f ( ) 16.
3
Dấu 
2 2
3 2 6 3 2 6
11 x ; y
xyxy1 6 6
3" " t 3
3 3 2 6 3 2 6x y xy 1 x y 2 x ; y
6 6
Vậy 
min
3 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6
P(x, y) 16 (x, y) ( ; ),( ; )
6 6 6 6
Ví dụ 2.4. Cho hệ 
2 2
3
3
x y
x y xy
. Tìm nghiệm ;x y của hệ để 
 2 2 ( )F x y x y xy đạt GTLN,GTNN 
Hướng dẫn Đặt 3x y a . Từ giả thiết 0a . 
 Khi đó ta có hệ: 222 2
3
33
6 6
3 3 3
3
x y a
x y ax y a
a a
x y xy x y xy xy
 Do đó ,x y là nghiệm của phương trình: 
2
2 6 63 0
3
a a
t a t 
 Hệ trên có nghiệm có nghiệm 
2 23 3 4 6 6 0a a a 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 5 
 2 6 3 0 3 2 3 3 2 3a a a 3 2 3 0a 
 Mặt khác: 2 2 2 3 2
1
( ) ( ) 2 ( ) ( 10 30 33) ( )
3
P x y xy x y x y xy xy x y a a a f a 
 2
20 10 10
f '(a) a a 10 0 a [0; 3 2 3] f'(a)>0, a [0; 3 2 3].
3 3
 Hàm f(a) liên tục trên [0; 3 2 3] do đó: 
a [0; 3 2 2 ]
x y 3
min P min f (a) f (0) 11 a 0 (x;y) (1;2);(2;1)
xy 2
a [0; 3 2 2 ]
x y 2 3
maxP maxf (a) f ( 3 2 3) a 3 2 3 (x;y) ( 3; 3)
xy 3
Ví dụ 2.5.(Đại học khối A- 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi: 2 2x y 2. 
 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 3 3P 2(x y ) 3xy. 
Hướng dẫn Có: 
3 3 2 2P 2(x y ) 3xy 2(x y)(x y xy) 3xy 2(x y)(2 xy) 3xy 
Đặt : x + y = t. Do 2 2 2(x y) 4xy t 2(t 2) 2 t 2. 
2 2 2 2(x y) (x y ) t 2
xy .
2 2
2 2
3 2t 2 t 2 3P 2t(2 ) 3. t t 6t 3.
2 2 2
 Xét hàm: 3 2
3
f (t) t t 6t 3, t [ 2;2].
2
 2f '(t) 3t 3t 6. 
t 2
f '(t) 0
t 1
. 
max
13 1
P t 1 x y 1;xy ;
2 2
min
P 7 t 2 x y 2;xy 1 x y 1. 
Bài tập tự luyện. 
Bài tập 1. Cho 
28 2 6 16f x x x x x . Tìm GTNN-LN của f x trên 
 1) Tập xác định. 2) Đoạn 4;6 . 
Gợi ý. 1.Đặt 2 2 2t 8 x 2 x t 10 2 x 6x 16 10 t 20 10 t 20 
 Khi đó: 2 2
1
8 2 6 16 ( 2 10) ( )
2
f x x x x x t t g t 
 2. 2 2t 10 2 x 6x 16 . Xét 2g(x) x 6x 16 trên [4;6]. 
 ta được: 28 g(x) 4 6 18 t 10 4 6 3 2 t 10 4 6 2 6 
Bài tập 2. (A. 2006). Cho 2số thực x 0,y 0 thỏa mãn : 2 2xy(x y) x y xy . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3
1 1
A .
x y
Gợi ý . Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P 0. Từ giả thiết S, P 0. 
 - Ta có: SP = S
2
 – 3P P = 
2
3
S
S
 A = 
3 3
1 1
x y
 = 
3 3
3 3
x y
x y
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 6 
 A = 
2 2
3 3
( )( )x y x y xy
x y
= 
2
3 3
( )x y xy
x y
= 
2
2 2
( )x y
x y
2
2
3S S
SP
. 
 - Điều kiện: S2 – 4P 0 S2 – 
24S
3S
 0 
1
3
S
S
 0 
3
1
S
S
 (*). 
Bài tập 3. (Thi thử ĐH. THPT Lê Xoay). Cho x,y R,x 0. Tìm GTLN của biểu thức : 
2
2 2 2 2
xy
M
(x 3y )(x x 12y )
Gợi ý . Vì x > 0. Ta có: 
2
2 2 2 2
22 2 2
2
12y
1 1
xy (x x 12y ) xM
12y(x 3y ).12y
3(4 )
x
. Đặt 
2
2
12y
t , t 0.
x
 Khi đó: 
1 t 1
M f (t)
3(4 t)
2
2 t 2 1 t
f '(t) ;f '(t) 0 t 8.
6(t 4) 1 t
2
2 2
2
[0; )
12y
2x 3y1 8
max M max f (t) x
18 x 0
x 0;y 0
Bài tập 4. Cho 2 2 1x y xy . Tìm GTNN - GTLN của 4 4 2 2M x y x y 
Bài tập 5. Tìm GTNN, GTLN (nếu có) của các hàm số. 
 1. 2 2( ) 9 10 16f x x x x trên 0;4 ; [-1;2]. 2. 
2
2
4 6
4 6 2019f x x x
x x
Bài tập 6. Cho hệ 
2 2
1
3 4
x y
x y xy
. Tìm nghiệm ;x y của hệ để 
 2 2 3 ( )F x y xy x y đạt GTLN,GTNN. 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DI TRUYỀN QUẦN THỂ 
Tăng Văn Đại 
 Bài tập sinh học là một nội dung khó trong chương trình sinh học phổ thông. Phần lớn 
học sinh cảm thấy khó khăn khi giải quyết các bài tập sinh học. Mặt khác đề thi mấy năm 
gần đây đã đề cập một số dạng bài tập vận dụng với yêu cầu ngày càng cao. Qua nhiều 
năm giảng dạy ôn thi tốt nghiệp và ôn thi và ĐH-CĐ tôi nhận thấy các bài tập phần di 
truyền quần thể tương đối khó và trìu tượng. Bài viết này góp phần giúp các em có cái nhìn 
tổng quát về các dạng bài toán di truyền quần thể. Trong chuyên đề “Phương pháp giải 
bài tập di truyền quần thể” tôi đã tham khảo đề thi ĐH-CĐ nhiều năm, tham khảo nhiều 
tài liệu chuyên đề của các tác giả lớn và kinh nghiệm giảng dạy của các thầy cô. Tôi hi 
vọng bài viết của mình sẽ giúp các em ôn thi ĐH, CĐ một cách có hiệu quả. 
I. Khái quát về quần thể. 
1. Các đặc trưng của quần thể. 
1.1. Khái niệm. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 7 
 Quần thể là một tập hợp các cá thể cùng loài, chung sống trong 1 khoảng không gian 
xác định, tồn tại qua thời gian nhất định, các cá thể giao phối với nhau sinh ra thể hệ mới 
(quần thể giao phối). Trừ loài sinh sản vô tính và trinh sinh không qua giao phối. 
1.2. Đặc trưng của quần thể. 
 Có vốn gen đặc trưng. Vốn gen của quần thể, thể hiện ở tần số alen và thành phần 
kiểu gen của quần thể. 
 +Tần số alen: Tỉ lệ giữa số lượng alen đó trên tổng số alen thuộc một locut trong quần 
thể hay bằng tỉ lệ phần trăm số giao tử mang alen đó trong quần thể ở 1 thời điểm xác định. 
 +Tần số kiểu gen: Tỉ lệ cá thể có kiểu gen đó trên tổng số cá thể trong quần thể. 
2. Cấu trúc di truyền của quần thể tự thụ phấn và tự thụ tinh. 
2.1. Quần thể tụ thụ phấn. 
 K/n: Tự thụ phấn là sự thụ phấn xảy ra cùng cây nên tế bào sinh dục đực và cái có 
cùng kiểu gen. 
Kết quả tự thụ phấn liên tiếp n thế hệ ở cây F1 dị hợp ban đầu thu được. 
 Aa=
n2
1
 AA=aa=
2
2
1
1
n
 Kết luận: Quần thể tự thụ phấn qua các thế hệ thì tần số alen không đổi, nhưng tần số 
kiểu gen thay đổi theo hướng tăng dần tỉ lệ kiểu gen đồng hợp, giảm dần tần số kiểu gen dị 
hợp. Kết quả là quần thể phân hoá thành các dòng thuần có kiểu gen khác nhau. 
2.2. Giao phối cận huyết=Giao phối gần. 
 K/n: Giao phối giữa các cá thể cùng bố mẹ, hoặc giữa bố mẹ với con cái của chúng. 
Cơ sở của việc cấm kết hôn gần: Hạn chế gen lặn có hại biểu hiện ra kiểu hình ở thể đồng 
hợp. 
3. Cấu trúc di truyền của quần thể ngẫu phối. 
 K/n: Hiện tượng các cá thể có thể lựa chọn và giao phối với nhau hoàn toàn ngẫu 
nhiên. 
 Kết quả: +Tạo ra nhiều biến dị tổ hợp. 
 +Duy trì tần số alen và thành phần kiểu gen ở trạng tái cân bằng. 
3.1. Định luật Hardy-Weinberg. 
 Trong quần thể lớn ngẫu phối, nếu không có các yếu tố làm thay đổi tần số alen, thì 
thành phần kiểu gen của quần thể sẽ duy trì không đổi từ thế hệ này sang thế hệ khác theo 
đẳng thức: 
 p
2
(AA) +2pq(Aa) + q
2
(aa) = 1. 
-Điều kiện nghiệm đúng của định luật Hardy-Weinberg. 
 +Quần thể có kích thước lớn. 
 +Các cá thể trong quần thể giao phối ngẫu nhiên. 
 +Các cá thể có kiểu gen khác nhau phải có sức sống và khả năng sinh sản như nhau. 
 +Đột biến không xảy ra hoặc xảy ra với tần số đột biến thuận bằng tần số đột biến 
nghịch. 
 +Quần thể được cách li di truyền với quần thể khác, không có biến động di truyền và 
di nhập gen. 
-Ý nghĩa: Khi quần thể ở trạng thái cân bằng, nếu biết tần số cá thể có kiểu hình lặn, ta tính 
được tần số alen lặn, alen trội và thành phần kiểu gen của quần thể và ngược lại. 
II. Các dạng bài tập về di truyền quần thể. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 8 
1. Xác định tần số alen. 
1.1. Xác định tần số alen khi biết cấu trúc di truyền quần thể. 
-Theo định nghĩa: Tần số alen bằng tỉ lệ giao tử mang alen đó trong quần thể. 
Ví dụ: Một quần thể thực vật có 1000 cây. Trong có có 500 cây AA, 300 cây Aa, 200 cây 
aa. Xác định tần số alen của quần thể. 
Hướng dẫn: Tần số alen A (p(A)) là: p(A) = [500.2 + 300] / (1000.2) = 0,65 
 q(a)=1 - 0,65 = 0,35. 
-Nếu biết cấu trúc di truyền của quần thể là: D (AA) + H (Aa) + R (aa) = 1. Thì tần số alen 
A là: 
 p(A) = D + H/2 q(a) = R + H/2 = 1 - p(A) 
Ví dụ: Ở một quần thể có cấu trúc di truyền là 0,5AA + 0,3Aa + 0,2aa =1. Xác định tần số 
alen 
của quần thể? 
 Hướng dẫn: Tần số alen A (p(A)) là: p(A) = 0,5 + 0,3/2 = 0,65, q(a) = 1 - 0,65 = 0,35. 
1.2. Đối với gen trên NST thường, nếu quần thể ở trạng thái cân bằng di truyền thì tần 
số alen lặn bằng căn bậc hai tần số kiểu hình lặn. Biết tần số kiểu hình lặn q2 (aa) => q 
(a) = )(2 aaq . 
Ví dụ: Ở một loài gen A quy định lông đen là trội hoàn toàn so với a quy định lông trắng. 
Quần thể đang ở trạng thái cân bằng di truyền và có tỉ lệ lông đen là 64%. Tính tần số alen 
A? 
Hướng dẫn: Tỉ lệ lông trắng là: 1 – 0,64 = 0,36. 
 Tần số alen a là: q(a) = 0,6 => p(A) = 1 – 0,6 = 0,4. 
1.3. Đối với gen lặn trên NST X không có alen tương ứng trên NST Y. Nếu quần thể cân 
bằng, thì tần số alen lặn liên kết với NST X (qXa) tính bằng (số cá thể đực mắc bệnh / 
tổng số cá thể đực của quần thể). 
 q(X
a
) = q(X
a
Y) => p(X
A
) = 1- q(X
a
) 
*Cấu trúc của quần thể khi cân bằng : 
 Giới cái XX: p2(XAXA) + 2pq(XAXa) + q2(XaXa) = 1 
 Giới đực XY: p(XAY) + q(XaY) = 1 
*Chú ý: Nếu xét cả quần thể có số cá thể mắc bệnh (cả đực và cái) là x%. Ta có: q(XaY) + 
q
2
(X
a
X
a
) = 2.x. Từ đó ta xác định được q(Xa) => Cấu trúc di truyền của quần thể. 
Ví dụ 1: Trong quần thể người tỉ lệ nam mắc bệnh mù màu là 1%. Khả năng nữ giới mắc 
bệnh mù màu là: 
 A. 0,01% B. 0,05% C. 0,04% 
 D. 1% 
Hướng dẫn: Ta có q(Xa) = q(XaY) = 0,01. Vậy tỉ lệ nữ mù màu là q2(aa) = 0,012 = 0,01%. 
Ví dụ 2: Trong quần thể người điều tra thấy 12% bị mù màu. Xác định tỉ lệ nam, nữ mù 
màu? 
 A. 12% nam mù màu, 4% nữ mù màu. B. 20% nam mù màu, 4% nữ mù màu. 
 C. 2% nam mù màu, 4% nữ mù màu. D. 20% nam mù màu, 2% nữ mù màu. 
Hướng dẫn: Ta có q(XaY) + q2(XaXa) = 2.0,12 => q(a) = 0,2. 
 Tỉ lệ nam mù màu là q(XaY) =20%, tỉ lệ nữ mù màu là q2(XaXa) = 0,22 = 4%. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 9 
1.4. Đối với một gen có nhiều alen có tần số tương ứng p(A), q(a’), r(a)... Thì cấu trúc di 
truyền của quần thể khi cân bằng là: [p(A) + q(a’) + r(a) +... ]2 = 1. 
1.4.1. Trường hợp các gen di truyền theo kiểu đồng trội. 
-Xét sự di truyền nhóm máu ở người có ba alen IA, IB, IO với tần số tương ứng là p, q, r. 
Khi quần thể cân bằng di truyền thì cấu trúc di truyền của quần thể là [p(IA) + q(IB) + r(IO)] 
= 1. 
 -Tần số nhóm máu A là: p2(IAIA) + 2pr(IAIO) 
 -Tần số nhóm máu B là: q2(IBIB) + 2qr(IBIO) 
 -Tần số nhóm máu AB là: 2pq(IAIB) 
 -Tần số nhóm máu O là: r2 (IOIO) 
Ví dụ 1: Trong quần thể người nhóm máu O chiếm 4%, nhóm máu B chiếm 21%. Xác 
định tỉ lệ nhóm máu A của quần thể, biết cấu trúc di truyền ở trạng thái cân bằng. 
 A. 0,45. B. 0,30. C. 0,25 D. 0.15. 
Hướng dẫn: Ta có r2 (IOIO) = 0,04 => r(IO) = 0,2 (1). q2(IBIB) + 2qr(IBIO) =0,21 (2). Từ (1), 
(2) suy ra q(I
B
) = 0,3, p(I
A) = 0,5. Vậy tần số nhóm máu A trong quần thể là p2(IAIA) + 
2pr(I
A
I
O
) =0,45. 
Ví dụ 2: Trong một quần thể người cân bằng kiểu gen người ta thấy xuất hiện 1% có nhóm 
máu O và 28% nhóm máu AB. Tỉ lệ người có nhóm máu A và B của quần thể đó là bao 
nhiêu. Biết rằng tần số nhóm máu A cao hơn nhóm máu B. 
 A. 56%; 15% B. 62%; 9% C. 49%; 22% D. 63%; 8% 
Hướng dẫn: Ta có r
2
 (I
O
I
O
) = 0,01 => r(I
O
) = 0,1 (1). 2pq(I
B
I
O
) =0,28 (2). P + q+ r =1 (3). 
Từ (1), (2, (3) suy ra q(IB) = 0,2, p(IA) = 0,7. Vậy tần số nhóm máu A trong quần thể là 
p
2
(I
A
I
A
) + 2pr(I
A
I
O) =0,63, tần số nhóm máu B là 0,08. 
1.4.2. Trường hợp các gen di truyền theo kiểu thứ tự trội lặn khác nhau. 
-Xét locut A có 3 alen a1, a2, a3 theo thứ tự trội lặn hoàn toàn a1>a2> a3 với tần số tương 
ứng là p,q, r. Cấu trúc di truyền của quần thể khi cân bằng là: 
 p
2
(a1a1) + 2pq(a1a2) + 2pr(a1a3) + q
2
(a2a2) + 2qr(a2a3) +r
2
(a3a3) = 1. 
 Tần số kiểu hình 1: p2(a1a1) + 2pq(a1a2) + 2pr(a1a3). 
 Tần số kiểu hình 2: q2(a2a2) + 2qr(a2a3). 
 Tần số kiểu hình lặn: r2(a3a3). 
Ví dụ: Màu sắc vỏ ốc sên do một gen có 3 alen kiểm soát: C1: nâu, C2: hồng, C3: vàng. 
Alen qui định màu nâu trội hoàn toàn so với 2 alen kia, alen qui định màu hồng trội hoàn 
toàn so với alen qui định màu vàng. Điều tra một quần thể ốc sên người ta thu được các số 
liệu sau: Màu nâu có 360 con; màu hồng có 550 con; màu vàng có 90 con. Xác định tần số 
các alen C1, C2, C3? Biết quần thể cân bằng di truyền. 
 A. 0,4; 0,4; 0,2 B. 0,2 ; 0,5; 0,3 C. 0,3; 0,5; 0,2 D. 0,2; 0,3; 0,5 
Hướng dẫn: 
 Ta có tần số kiểu hình nâu : hồng : vàng tương ứng là 0,36 : 0,55 : 0,09. 
 Ta có r
2
(C3C3) = 0,09 => r(C3) = 0,3. 
 Ta có q
2
(C2C2) + 2qr(C2C3) =0,55 = q(C3) = 0,5 => p(C1) = 0,2. 
1.5. Xác định tần số alen trong trường hợp có tác động của chọn lọc tự nhiên. 
1.5.1. Ở quần thể tự phối. 
 Đối với quần thể tự thụ phấn có gen gây chết (hoặc không có khả năng sinh sản) phải 
xác định lại cấu trúc di truyền của quần thể sau khi có chọn lọc. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 10 
Ví dụ 1: Một quần thể tự thụ phấn có kiểu gen ở thế hệ P: 0,45AA: 0,30Aa: 0,25aa. Biết 
rằng cây có kiểu gen aa không có khả năng kết hạt. Tính theo lí thuyết cây không có khả 
năng kết hạt ở thế hệ F1 là: 
 A. 0,1 B. 0,16 C. 0,15 D. 0,325 
Hướng dẫn: Cấu trúc di truyền của quần thể sau khi có chọn lọc là: 
 AA = 0,45 / (0,45+0,3) = 0,6 
 Aa = 1- 0,6 = 0,4. Vậy sau 1 thế hệ tự thụ phấn thì tần số kiểu gen aa = 0,4.1/4=0,1. 
1.5.2. ở quần thể giao phối. 
-Giả sử hệ số chọn lọc đối với kiểu gen AA, Aa, aa tương ứng là h1, h2, h3. Xác định tần số 
các alen sau 1 thế hệ chọn lọc. f(AA)= 
3
2
21
2
1
2
).().(2A).h(
A).h(
haaqhAapqAp
Ap
 f(Aa)= 
3
2
21
2
2
).().(2A).h(
a).h(2
haaqhAapqAp
Apq
 aa = 1-[f(AA) + f(Aa)] 
-Nếu kiểu gen đồng hợp tử lặn gây chết thì tần số alen lặn sau 1 thế hệ chọn lọc bằng 
q/(1+q). 
 Chứng minh: q(a) = 
q
q
qp
q
pqp
pq
1222
-Nếu kiểu gen đồng hợp tử lặn gây chết thì tần số alen lặn sau 1 thế hệ chọn lọc bằng 
q0/(1+n.q0). 
Ví dụ 1: Quần thể bướm bạch dương ban đầu có pB = 0,01 và qb = 0,99, với B là alen đột 
biến gây ra màu đen, còn b màu trắng. Do ô nhiễm bụi than thân cây mà loài bướm này 
đậu bị nhuộm đen, nên kiểu hình trội ưu thế hơn kiểu hình lặn (chim ăn sâu khó nhìn thấy 
bướm màu đen trên nền môi trường đen). Nếu trung bình 20% bướm đen sống sót được 
cho đến khi sinh sản, trong khi bướm trắng chỉ sống sót đến sinh sản 10%, thì sau một thế 
hệ tần số alen là: 
 A. p = 0,02; q = 0,98 B. p= 0,004, q= 
0,996 
 C. p = 0,01; q = 0,99 D. p= 0,04 ; q = 0,96 
Hướng dẫn: Tần số alen qB: 
 qB = (0,99
2
.10% + 0,01.0,99.20%) / [0,01
2
.20% + 2.0,01.0,99.20% + 0,99
2
.10%]=0,96 
Ví dụ 2: Quần thể ban đầu đang cân bằng di truyền có q(a)=0,01, các đồng hợp tử lặn chết 
trong dạ con. Hãy tính tần số các alen sau 1 thế hệ? 
 A. p(A)=0,9901; q(a)=0,0099 B. p(A)=0,9001; q(a)=0,0999 
 C. p(A)=0,9801; q(a)=0,0199 D. p(A)=0,901; q(a)=0,099 
Hướng dẫn: q(a) = q0/(1+q0) = 0,0099, p(A) = 0,9901 
Ví dụ 3: Sau khi quần thể đạt trạng thái cân bằng di truyền có cấu trúc di truyền p0
2
(AA) : 
2p0.q0(Aa) : q0
2(aa), do điều kiện sống thay đổi, những cá thể có kiểu gen aa trở nên không 
có khả năng sinh sản. Hãy xác định tần số alen q(a) của quần thể sau 5 thế hệ ngẫu phối? 
 A. q0/(1+5q0) B. (1/5.q0)
n
 C. q0-(1/5.q0)
n
 D. (1-q0)
n
/2 
Hướng dẫn: Áp dụng công thức qn = q0/(1+n.q0). 
1.6. Xác định tần số alen trong trường hợp xảy ra đột biến gen. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 11 
1.6.1. Với một gen có 2 alen, sự thay đổi tần số alen phụ thuộc cả vào tần số đột biến 
thuận (u) và tần số đột biến nghịch (v): ∆p = vq-up; ∆q = up – vq. 
Ví dụ 1: Một quần thể có p = 0,8, q = 0,2. Nếu tần số đột biến thuận u = 5.10-5, tần số đột 
biến nghịch v=2.10-5. Hãy tính tần số alen sau 1 thế hệ: 
Hướng dẫn: ∆p = vq-up = -3,6.10-5. Vậy p1 = 0,8 - 3,6.10
-5
 và q1 = 0,2 + 3,6.10
-5
. 
1.6.2. Tần số đột biến thuận (u) không thay đổi qua các thể hệ. 
-Tần số đột biến gen A thành a sau mỗi thế hệ là u. 
-Sau 1 thế hệ, tần số alen A: p(A)= p(A) - p(A).u 
Vd: Quần thể ban đầu có p(A) = q(a) = 0,5. Tần số đột biến A -> a sau mỗi thế hệ là 10-6. 
Sau bao nhiêu thế hệ thì tần số alen a tăng lên 1,5%. 
Hướng dẫn: Ban đầu p(A) = q(a) = 0,5 
 F1: p(A)1 = 0,5 - 0,5.10
-6
 = 0,5(1-10
-6
) 
 F2: p(A)2 = p(A)1 – p(A)1.10
-6
 =0,5(1-10
-6
)
2 
 Fn: p(A)n = p(A)n-1 – p(A)n-1.10
-6
 = 0,5(1-10
-6
)
n 
 Theo bài ra ta có: p(A)n = 0,5(1-10
-6
)
n
 = 0,5 – 0,5.1,5% => n=
)]101(5,0lg[
%)5,1.5,05,0lg(
6
1.7. Xác định tần số alen trong trường hợp xảy ra nhập cư. 
*Tốc độ di-nhập gen: m=Số giao tử mang gen di nhập / Số giao tử mỗi thế hệ trong quần 
thể 
 m=Số cá thể nhập cư / tổng số cá thể trong quần thể. 
-Nếu gọi: q0 : tần số alen trước khi có di nhập. 
 qm: tần số alen trong bộ phận di nhập. 
 q’: tần số alen sau khi di nhập. 
 m: kích thước nhóm nhập cư. 
-Thì: q
’
 = q0 - m(q0-qm) 
Ví dụ 1: Trong một quần thể gồm 900 con bướm, tần số alen quy định cấu tử chuyển động 
nhanh của 1 enzyme (p) bằng 0,7, và tần số alen quy định cấu tử chuyển động chậm (q) là 
0,3. 90 con bướm từ quần thể này nhập cư đến quần thể có q=0,8. Tính tần số alen của 
quần thể mới. 
Hướng dẫn: Ta tính được m= 90/ 900 = 0,1. Ta có q’ = q0 - m(q0-qm) = 0,8 – 0,1.(0,8-0,3) 
= 0,75. và p’ = 1 – 0,75 = 0,25. 
Ví dụ 2: Một quần thể cho có q(a) = 0,4 phát tán với tốc độ m=0,1 vào 2 quần thể I: 
qa=0,9, II: qa=0,1. Thì sau khoảng 30 thế hệ trong 2 quần thể nhận I, II có qa xấp xỉ bằng 
nhau và bằng qa của quần thể cho. 
2. Xác định cấu trúc di truyền của quần thể. 
2.1 Quần thể tự thụ phấn. 
 Quần thể tự phối ban đầu có cấu trúc di truyền x(AA) + y(Aa) + z(aa) = 1. Sau n thế 
hệ tự thụ phấn liên tiếp, thì cấu trúc di truyền của quần thể là: 
 AA = x + y.[1-(1/2)
n
]/2 
 Aa = y.(1/2)
n
. 
 Aa = z + y.[1-(1/2)
n
]/2 = 1 - [ AA + Aa] 
Ví dụ 1: Ở ngô, gen A: hạt đỏ, gen a: hạt trắng. Trong quần thể ban đầu toàn cây Aa. Xác 
định tỉ lệ phân li kiểu hình ở thế hệ F3 tự thụ phấn? 
 A. 62,5% hạt đỏ: 37,5% hạt trắng. B. 50% hạt đỏ : 50% hạt trắng. 
Baøi vieát kyø naøy Nhòp caàu tri thöùc 
 12 
 C. 56,25% hạt đỏ : 43,75% hạt trắng. D. 75% hạt đỏ : 25% hạt trắng. 
Ví dụ 2: Cho biết tỉ lệ kiểu gen của quần thể như sau: 1%AA: 64%Aa: 35%aa. Xác định 
cấu trúc di truyền của quần thể sau 4 thế hệ tự phối ? 
 A. 65%AA: 4% Aa: 31% aa. B. 1%AA: 64%Aa: 35%aa. 
 C. 31%AA: 4%Aa: 65%aa. D. 46,875%AA: 
6,25%Aa: 4