Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ

ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Lê Phúc Lữ12
Phương pháp nhân lượng liên hợp là một cách giải quen thuộc được áp dụng khá nhiều trong
các bài toán giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Cách giải đơn giản và hiệu quả này
không những giúp ta tiếp cận bài toán theo hướng tự nhiên hơn mà còn giúp ta tự tạo được
nhiều bài toán mới mẻ một cách dễ dàng, thông qua đó có thể tự rèn luyện thêm các kỹ năng
cho mình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu rõ hơn về phương pháp nhân lượng
liên hợp cũng như những điều cần chú ý khi áp dụng nó.
1 Kiến thức cần nhớ và một số bài toán mở đầu
1.1 Kiến thức cần nhớ
Ở chương trình THCS, chúng ta đã khá quen thuộc với những bài toán về biến đổi biểu thức
vô tỉ bằng cách dùng đại lượng phù hợp để khử căn nhằm làm xuất hiện nhân tử. Điều đó
được thực hiện nhờ các hằng đẳng thức cơ bản sau3:
• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a
2 − b2
a+ b
.
• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a
3 − b3
a2 + ab+ b2
.
• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a
4 − b4
(a+ b)(a2 + b2)
.
• · · ·
• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).
Sử dụng ý tưởng này, trong các bài toán về phương trình và hệ phương trình, chúng ta có thể
nhóm hoặc thêm bớt các đại lượng phù hợp vào các biểu thức chứa căn rồi làm xuất hiện các
đa thức. Nhờ việc phân tích các đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện ra thừa số chung, ta
1Sinh viên trường Đại học FPT, thành phố Hồ Chí Minh. Nickname chienthan ở Diễn đàn Cùng nhau vượt
Đại dương 
2Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ
nguồn của  khi đăng tải trên các trang web khác.
3Ở đây ta tạm hiểu là các biểu thức đã thỏa mãn điều kiện của phép chia.
1
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
2 Lê Phúc Lữ
đưa bài toán đã cho về các phương trình tích quen thuộc và từ đó xử lý tiếp. Tất nhiên là có
nhiều yếu tố khác cần chú ý nhưng với các bài toán thông thường thì ý tưởng tổng quát là:
Giả sử trong phương trình, hệ phương trình cần xét, chúng ta có biểu thức dạng
√
P (x) với
P (x) là một đa thức nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x = a là một nghiệm của
nó. Khi đó, ta sẽ thêm vào biểu thức trên đại lượng −√P (a) để có được biến đổi sau√
P (x)−
√
P (a) =
P (x)− P (a)√
P (x) +
√
P (a)
.
Đa thức P (x) − P (a) ở trên tử rõ ràng có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làm
các công việc thêm bớt tương tự vào những đại lượng còn lại, chúng ta sẽ có được ngay nhân
tử cần tìm.
Như thế, tổng quát hơn, nếu ta có phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) xác định trên miền D
và ta đã biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta có thể biến đổi đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0
và quy về xử lý phương trình mới g(x) = 0.
Trong nhiều trường hợp thì g(x) sẽ vô nghiệm trên D, tuy nhiên một số trường hợp khác thì
nó sẽ vẫn còn nghiệm nữa và điều đó đòi hỏi nhiều cách xử lý thích hợp.
1.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
√
x+ 1 +
√
x+ 4 +
√
x+ 9 +
√
x+ 16 =
√
x+ 100.
Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình nên có thể tiến
hành biến đổi như sau(√
x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)
⇔ (x+ 1)− 1
2
√
x+ 1 + 1
+
(x+ 4)− 22√
x+ 4 + 2
+
(x+ 9)− 32√
x+ 9 + 3
+
(x+ 16)− 42√
x+ 16 + 4
=
(x+ 100)− 102√
x+ 100 + 10
⇔ x√
x+ 1 + 1
+
x√
x+ 4 + 2
+
x√
x+ 9 + 3
+
x√
x+ 16 + 4
=
x√
x+ 100 + 10
⇔
x = 01√
x+ 1 + 1
+
1√
x+ 4 + 2
+
1√
x+ 9 + 3
+
1√
x+ 16 + 4
=
1√
x+ 100 + 10
Xét phương trình:
1√
x+ 1 + 1
+
1√
x+ 4 + 2
+
1√
x+ 9 + 3
+
1√
x+ 16 + 4
=
1√
x+ 100 + 10
. (1)
Ta có
√
x+ 100 + 10 >
√
x+ 1 + 1 > 0 nên
1√
x+ 1 + 1
>
1√
x+ 100 + 10
,
suy ra
1√
x+ 1 + 1
+
1√
x+ 4 + 2
+
1√
x+ 9 + 3
+
1√
x+ 16 + 4
>
1√
x+ 100 + 10
, ∀x > −1
và do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 3
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
(a) 3
√
x+
√
x+ 3 = 3; (b) 3
√
2x+ 1 + 3
√
x = 1.
Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x > −3. Phương trình đã cho tương đương với(
3
√
x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 1
3
√
x2 + 3
√
x+ 1
+
x− 1√
x+ 3 + 2
= 0
⇔ (x− 1)
(
1
3
√
x2 + 3
√
x+ 1
+
1√
x+ 3 + 2
)
= 0⇔
x− 1 = 01
3
√
x2 + 3
√
x+ 1
+
1√
x+ 3 + 2
= 0
Từ đây, ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, khi đó theo các biến đổi ở
trên, ta có
1
3
√
x2 + 3
√
x+ 1
+
1√
x+ 3 + 2
= 0.
Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra do
√
x+ 3 + 2 > 0 và
3
√
x2 + 3
√
x+ 1 =
(
3
√
x+
1
2
)2
+
3
4
> 0.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.
(b) Phương trình đã cho tương đương với(
3
√
2x+ 1− 1
)
+ 3
√
x = 0⇔ (2x+ 1)− 1
3
√
(2x+ 1)2 + 3
√
2x+ 1 + 1
+ 3
√
x = 0
⇔ 2x
3
√
(2x+ 1)2 + 3
√
2x+ 1 + 1
+ 3
√
x = 0⇔ 3√x
 2 3√x2
3
√
(2x+ 1)2 + 3
√
2x+ 1 + 1
+ 1
 = 0
⇔

x = 0
2
3
√
x2
3
√
(2x+ 1)2 + 3
√
2x+ 1 + 1
+ 1 = 0
Dễ thấy
2
3
√
x2
3
√
(2x+ 1)2 + 3
√
2x+ 1 + 1
+ 1 > 0, ∀x ∈ R
nên từ trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình sau:
√
x2 + 15 = 3
3
√
x2 +
√
x2 + 8− 2.
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với(√
x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)
⇔ x
2 − 1√
x2 + 15 + 4
=
3(x2 − 1)
3
√
x4 +
3
√
x2 + 1
+
x2 − 1√
x2 + 8 + 3
.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
4 Lê Phúc Lữ
Như vậy, ta có x2 = 1 hoặc
1√
x2 + 15 + 4
=
3
3
√
x4 +
3
√
x2 + 1
+
1√
x2 + 8 + 3
.
Tuy nhiên, do
√
x2 + 8 + 3 <
√
x2 + 15 + 4 nên ta có
1√
x2 + 15 + 4
<
1√
x2 + 8 + 3
,
và do đó khả năng thứ hai không thể xảy ra. Từ đây ta thu được x2 = 1 hay x = ±1.
Tóm lại, phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x = −1 và x = 1.
2 Các bài toán áp dụng và những điều cần chú ý
Trong phần này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu thêm các bài toán minh họa khác thể hiện rõ hơn
ứng dụng của phương pháp.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
(a) 3
√
x2 − 1 + x = √x3 − 2; (Đề đề nghị Olympic 30/4)
(b) x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x. (Đề thi Olympic 30/4, 2009)
Lời giải. (a) Điều kiện: x > 3
√
2. Phương trình đã cho tương đương với(
3
√
x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)
⇔ (x− 3)
[
1 +
x+ 3
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4
]
=
(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√
x3 − 2 + 5
⇔
x = 3
1 +
x+ 3
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =
x2 + 3x+ 9√
x3 − 2 + 5
Xét phương trình:
1 +
x+ 3
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =
x2 + 3x+ 9√
x3 − 2 + 5 . (1)
Ta có các đánh giá sau:
• V P = x
2 + 3x+ 9√
x3 − 2 + 5 >
x2 + 3x+ 9√
x3 + 5
> x
2 + 3x+ 9
x2+x
2
+ 5
= 2 +
2(2x− 1)
x2 + x+ 10
> 2.
• V T < 1 + x+ 3
3
√
(x2 − 1)2 + 4 = 1 +
x+ 3
3
√
(x− 1)2(x+ 1)2 + 4 < 1 +
x+ 3
3
√
(x− 1)3 + 4 = 2.
Do đó, với mọi x > 3
√
2, ta có V T < 2 < V P, hay nói cách khác, (1) vô nghiệm. Vậy phương
trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 5
(b) Ở bài này, chúng ta có hai cách giải như sau:
Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với
x3 + 3x2 + 3x− 1− 3 3√3x+ 5 = 0⇔ (x3 + 3x2 + 3x− 7) + 3 (2− 3√3x+ 5) = 0
⇔ (x− 1)(x2 + 4x+ 7) + 9(1− x)
4 + 2 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
= 0
⇔ (x− 1)
x2 + 4x+ 7− 9
4 + 2 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
 = 0.
Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, khi đó ta có
x2 + 4x+ 7 =
9
4 + 2 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
,
hay
(x2 + 4x+ 7)
[
4 + 2 3
√
3x+ 5 +
3
√
(3x+ 5)2
]
= 9. (1)
Ta sẽ chứng minh
(x2 + 4x+ 7)
[
4 + 2 3
√
3x+ 5 +
3
√
(3x+ 5)2
]
> 9.
Thật vậy, ta có
(x2 + 4x+ 7)
[
4 + 2 3
√
3x+ 5 +
3
√
(3x+ 5)2
]
=
[
(x+ 2)2 + 3
] [(
3
√
3x+ 5 + 1
)2
+ 3
]
> 9
và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi{
x+ 2 = 0
3
√
3x+ 5 + 1 = 0
⇔ x = −2.
Từ đây ta suy ra (1) có nghiệm duy nhất x = −2. Vậy phương trình đã cho có tất cả hai
nghiệm là x = 1 và x = −2.
Cách 2. Ta sẽ biến đổi phương trình đã cho theo cách khác như sau:
x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0
⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3
[
(x+ 1)3 − 3x− 5]
(x+ 1)2 + (x+ 1) 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
= 0
⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x
3 + 3x2 − 4)
(x+ 1)2 + (x+ 1) 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
= 0
⇔ (x− 1)(x+ 2)2
1 + 3
(x+ 1)2 + (x+ 1) 3
√
3x+ 5 + 3
√
(3x+ 5)2
 = 0.
Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x ∈ R nên ta suy ra phương trình đã cho có
hai nghiệm là x = 1 và x = −2.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
6 Lê Phúc Lữ
Nhận xét. Ở cách thứ nhất của câu (b), do chỉ tìm được một nghiệm của phương trình là
x = 1 nên lời giải dẫn đến một phương trình khác mà ta phải dùng bất đẳng thức đánh giá để
tìm nghiệm còn lại. Trong khi đó, ở cách 2, vì đã tìm được cả hai nghiệm của phương trình đã
cho nên có thể chủ động nhóm các hạng tử để tạo nên nhân tử chung là (x− 1)(x+2), còn lại
biểu thức trong ngoặc đã luôn dương với mọi x nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.
Các bước phân tích để có được cách nhóm trên sẽ được giới thiệu rõ ở các bài sau. Dưới đây là
cách thông dụng khi giải bài toán này, đó chính là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cách
giải quan trọng dùng để xử lý các bài phương trình có bậc hai vế là nghịch đảo của nhau.
Cách 3. Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng
(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.
Đặt 3
√
3x+ 5 = y + 1 thì ta có (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ đây và từ phương trình ở trên, ta có hệ{
(x+ 1)3 = 3y + 5
(y + 1)3 = 3x+ 5
Trừ vế theo vế các phương trình, ta được
(x− y) [(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3] = 0⇔ x = y
(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x, y ∈ R). Thay y = x ngược trở lại vào
hệ, ta được phương trình tương ứng là
(x+ 1)3 = 3x+ 5.
Giải ra và thử lại, ta cũng được các nghiệm x = 1 và x = −2.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
(a) (x+ 3)
√
2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)
√
x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.
Lời giải. (a) Dễ thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình nên ta chỉ cần xét x 6= −3
là đủ. Khi đó, phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng
√
2x2 + 1 =
x2 + x+ 3
x+ 3
⇔
√
2x2 + 1− 1 = x
2
x+ 3
⇔ 2x
2
√
2x2 + 1 + 1
=
x2
x+ 3
⇔
x = 0 2√
2x2 + 1 + 1
=
1
x+ 3
Từ đây ta suy ra x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Xét phương trình còn lại, ta
thấy phương trình này tương đương với
√
2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔
x > −
5
2
2x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x
⇔
x > −
5
2
x2 + 10x+ 12 = 0
⇔
x > −
5
2
x = −5 +
√
13 ∨ x = −5−
√
13
⇔ x = −5 +√13.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = −5 +√13.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 7
(b) Tương tự bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta có
phương trình tương đương
√
x2 + 5 =
2x2 + 3x+ 1
x+ 3
⇔
√
x2 + 5− 3 = 2x
2 + 3x+ 1
x+ 3
− 3
⇔ x
2 − 4√
x2 + 5 + 3
=
2(x2 − 4)
x+ 3
⇔
x2 − 4 = 01√
x2 + 5 + 3
=
2
x+ 3
Nếu x2 − 4 = 0 thì ta có x = ±2 và hai giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Còn với
x2 − 4 6= 0 thì từ biến đổi trên, ta có
1√
x2 + 5 + 3
=
2
x+ 3
⇔ x+ 3 = 2
√
x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2
√
x2 + 5
⇔
{
x > 3
x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔
{
x > 3
3x2 + 6x+ 11 = 0
Rõ ràng không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ này. Và như thế, ta đi đến kết luận phương
trình đã cho có hai nghiệm là x = −2 và x = 2.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
(a)
√
x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;
(b)
√
x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;
(c)
√
x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.
Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với điều kiện này, ta dễ thấy:
• V T > √x+ 3 > 2 và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
• V P 6 2 và đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Do vậy, để có thể xảy ra trường hợp V T = V P như đã nêu ở đề bài thì ta phải có V T = V P = 2,
tức x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình và điều này gợi cho ta
nghĩ đến việc biến đổi phương trình như sau
√
x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x
⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x
⇔ √x− 1 + 2
√
(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√
x+ 3 + 2x
.
Ta thấy rằng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là một đại lượng không âm, trong
khi đó vế phải luôn mang giá trị 6 0. Do đó, để có thể xảy ra được dấu đẳng thức như trên
thì cả hai đại lượng này phải đồng thời bằng 0, tức là x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất
của phương trình đã cho.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
8 Lê Phúc Lữ
(c) Điều kiện: x > 1. Biến đổi tương tự như trên, ta được
√
x− 1 + 2
√
(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√
x+ 3 + 2x
⇔ √x− 1
[
1 + 2
√
x2 − 3x+ 5−
√
x− 1(4x+ 3)√
x+ 3 + 2x
]
= 0
⇔

√
x− 1 = 0
1 + 2
√
x2 − 3x+ 5 =
√
x− 1(4x+ 3)√
x+ 3 + 2x
Đến đây, bằng cách giải phương trình thứ nhất, ta tìm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếp
phương trình thứ hai, ta thấy
1 + 2
√
x2 − 3x+ 5 = 1 +
√
2 [x2 + (x− 3)2 + 1] > 1 +
√
2x2 > 1 + x.
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Do vậy, ta có
√
x− 1(4x+ 3)√
x+ 3 + 2x
6
√
x− 1(4x+ 3)
2x
6
x
2
· (4x+ 3)
2x
=
4x+ 3
4
< x+ 1 < 1 + 2
√
x2 − 3x+ 5.
Điều này chứng tỏ phương trình 1+ 2
√
x2 − 3x+ 5 =
√
x−1(4x+3)√
x+3+2x
vô nghiệm. Và như thế, ta đi
đến kết luận x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
(a) 3
(
2 +
√
x− 2) = 2x+√x+ 6; (Đề thi Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2000)
(b)
√
3x+ 1−√6− x+ 3x2 − 14x− 8 = 0. (Đề thi Đại học khối B, 2010)
Lời giải. (a) Điều kiện: x > 2. Ta có phương trình đã cho tương đương với
2(x− 3) +
(√
x+ 6− 3√x− 2
)
= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√
x+ 6 + 3
√
x− 2 = 0
⇔ (x− 3)
[
1− 4√
x+ 6 + 3
√
x− 2
]
= 0⇔
[
x = 3√
x+ 6 + 3
√
x− 2 = 4
Xét phương trình
√
x+ 6 + 3
√
x− 2 = 4. Bình phương hai vế để khử căn, ta được
10x− 12 + 6
√
(x+ 6)(x− 2) = 16⇔ 3
√
(x+ 6)(x− 2) = 14− 5x
⇔
 2 6 x 6
14
5
9(x+ 6)(x− 2) = (14− 5x)2
⇔
 2 6 x 6
14
5
x2 − 11x+ 19 = 0
⇔

2 6 x 6 14
5
x =
11− 3√5
2
∨ x = 11 + 3
√
5
2
⇔ x = 11− 3
√
5
2
.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T =
{
11−3√5
2
, 3
}
.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 9
(b) Điều kiện: −1
3
6 x 6 6. Phương trình đã cho tương đương với(√
3x+ 1− 4)− (√6− x− 1)+ 3x2 − 14x− 5 = 0
⇔ 3(x− 5)√
3x+ 1 + 4
+
x− 5√
6− x+ 1 + (3x+ 1)(x− 5) = 0
⇔
x = 53√
3x+ 1 + 4
+
1√
6− x+ 1 + 3x+ 1 = 0
Dễ thấy
3√
3x+ 1 + 4
+
1√
6− x+ 1 + 3x+ 1 > 0, ∀x ∈
[
−1
3
, 6
]
nên trường hợp thứ hai không thể xảy ra. Từ đây ta suy ra phương trình đã cho chỉ có một
nghiệm duy nhất là x = 5.
Ví dụ 8. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
(a) 3
√
2x+ 2 + 3
√
2x+ 1 =
3
√
2x2 + 3
√
2x2 + 1;
(b)
√
3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;
(c) 2
√
x2 + x+ 1
x+ 4
+ x2 − 4 6 2√
x2 + 1
.
Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều có dạng hàm số f(t) = 3
√
t+ 3
√
t+ 1 nên có thể dùng
tính đơn điệu của hàm số để giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương pháp nhân liên hợp nhằm
làm xuất hiện nhân tử chung ở hai vế. Trước hết, ta viết lại phương trình dưới dạng(
3
√
2x2 + 1− 3√2x+ 2
)
+
(
3
√
2x2 − 3√2x+ 1
)
= 0.
Bằng cách nhân các lượng liên hợp tương ứng, ta có
3
√
2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x
2 − 2x− 1
3
√
(2x2 + 1)2 + 3
√
(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3
√
(2x+ 2)2
=
2x2 − 2x− 1
A
và
3
√
2x2 − 3√2x+ 1 = 2x
2 − 2x− 1
3
√
(2x2)2 + 3
√
2x2(2x+ 1) + 3
√
(2x+ 1)2
=
2x2 − 2x− 1
B
.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với
(2x2 − 2x− 1)
(
1
A
+
1
B
)
= 0.
Tuy nhiên, do A, B > 0 nên từ đây ta có
2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−
√
3
2
∨ x = 1 +
√
3
2
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1−
√
3
2
và x = 1+
√
3
2
.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
10 Lê Phúc Lữ
(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình đã cho tương đương với(√
3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4
⇔ −x
2 + x+ 2√
3− x+ |x− 1| +
−x2 + x+ 2√
2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)
⇔ (2− x)(x+ 1)√
3− x+ |x− 1| +
(2− x)(x+ 1)√
2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0
⇔ (2− x)(x+ 1)
[
1√
3− x+ |x− 1| +
1√
2 + x+ |x| + (x+ 2)
]
= 0.
Do 1√
3−x+|x−1| +
1√
2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ [−2, 3] nên từ trên, ta có
(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1 và x = 2.
(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình đã cho tương đương với
2
(√
x2 + x+ 1
x+ 4
− 1
)
+ x2 − 3 6 2√
x2 + 1
− 1
⇔ 2 ·
x2+x+1
x+4
− 1√
x2+x+1
x+4
+ 1
+ x2 − 3 6
4
x2+1
− 1
2√
x2+1
+ 1
⇔ 2 (x
2 − 3)√
(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4
+ (x2 − 3) + x
2 − 3(
2 +
√
x2 + 1
)√
x2 + 1
6 0.
Và như thế, ta thu được
(x2 − 3)
[
2√
(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4
+ 1 +
1(
2 +
√
x2 + 1
)√
x2 + 1
]
6 0.
Dễ thấy biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai luôn dương với mọi x > −4, do đó ta có thể viết
lại bất phương trình trên thành
x2 − 3 6 0⇔ −
√
3 6 x 6
√
3.
Kết hợp với điều kiện xác định x > −4, ta thu được T = [−√3, √3] là tập nghiệm của bất
phương trình đã cho.
Nhận xét. Với câu (b) của ví dụ này, ta thấy có xuất hiện thêm các đa thức chứa dấu trị
tuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều này sẽ gây khó khăn hơn trong việc giải quyết, vì
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối thì thường khó phân tích thành nhân tử. Nhưng nhờ việc
sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán này đã được giải nhanh chóng và khá nhẹ
nhàng. Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng phương pháp nhân
lượng liên hợp là đủ.
Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp cho phép ta dám biến đổi các biểu thức một cách tự
do hơn, thoải mái hơn, không bị gò bó nhiều quá ở việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hay
đánh giá như trong các cách khác.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 11
Dưới đây là một loạt bài toán được tạo ra từ ý tưởng phong phú của phương pháp tiếp cận
bằng lượng liên hợp.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
(a)
3
√
x2 − 1 +√x− 3 +√x+ 1 + x = x+ 3
x2 − 6 + 5;
(b)
1√
x2 − x+ 1 +
√
x+ x2 = x+
1
x
+ 1;
(c)
√
x+ 9
x2 + x+ 2
+
2√
x2 − 3 =
x2 + 1
4
;
(d)
1√
x− 1 +
2
x2
+
1
2x
=
7
4
.
Lời giải. (a) Điều kiện: x > 3. Phương trình đã cho tương đương với(
3
√
x2 − 1− 2
)
+
√
x− 3 +
(√
x+ 1− 2
)
+ (x− 3) = x+ 3
x2 − 6 − 2
⇔ x
2 − 1− 8
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4
+
√
x− 3 + x+ 1− 4√
x+ 1 + 2
+ (x− 3) = 15 + x− 2x
2
x2 − 6
⇔ x
2 − 9
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4
+
√
x− 3 + x− 3√
x+ 1 + 2
+ (x− 3) + (x− 3)(2x+ 5)
x2 − 6 = 0
⇔ √x− 3
 √x− 3(x+ 3)
3
√
(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4
+ 1 +
√
x− 3√
x+ 1 + 2
+
√
x− 3 +
√
x− 3(2x+ 5)
x2 − 6
 = 0.
Do x > 3 nên biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương và như thế, ta có
√
x− 3 = 0⇔ x = 3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.
(b) Điều kiện: x > 0. Phương trình đã cho tương đương với(
1√
x2 − x+ 1 −
1
x
)
+
(√
x− 1)+ (x2 − x) = 0⇔ 1x2−x+1 − 1x21√
x2−x+1 +
1
x
+
x− 1√
x+ 1
+ x(x− 1) = 0
⇔ (x− 1)
[
1
x(x2 − x+ 1) + x2√x2 − x+ 1 +
1√
x+ 1
+ x
]
= 0.
Do x > 0 nên ta có
1
x(x2 − x+ 1) + x2√x2 − x+ 1 +
1√
x+ 1
+ x > 0.
Ta thấy phương trình thứ hai vô nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
12 Lê Phúc Lữ
(c) Điều kiện: x ∈ [−9, −√3) ∪ (√3, +∞) . Phương trình đã cho tương đương với(√
x+ 9
x2 + x+ 2
− 1
)
+
(
2√
x2 − 3 − 1
)
=
x2 + 1
4
− 2⇔
x+9
x2+x+2
− 1√
x+9
x2+x+2
+ 1
+
4
x2−3 − 1
2√
x2−3 + 1
=
x2 − 7
4
⇔ 7− x
2(√
x+9
x2+x+2
+ 1
)
(x2 + x+ 2)
+
7− x2(
2√
x2−3 + 1
)
(x2 − 3)
=
x2 − 7
4
⇔ (7− x2)
 1(√
x+9
x2+x+2
+ 1
)
(x2 + x+ 2)
+
1(
2√
x2−3 + 1
)
(x2 − 3)
+
1
4
 = 0.
Nhận thấy biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai luôn dương với mọi x thuộc điều kiện xác định
nên ta chỉ cần xét 7 − x2 = 0 là đủ. Giải phương trình này, ta tìm được x = ±√7. Vậy, tập
nghiệm của phương trình đã cho là T =
{−√7, √7} .
(d) Điều kiện: x > 1. Phương trình đã cho tương đương với(
1√
x− 1 − 1
)
+
(
2
x2
+
1
2x
− 3
4
)
= 0⇔
1
x−1 − 1
1√
x−1 + 1
+
(
2
x
− 1
)(
1
x
+
3
4
)
= 0
⇔ 2− x
(x− 1)
(
1√
x−1 + 1
) + 2− x
x
·
(
1
x
+
3
4
)
= 0
⇔ (2− x)
 1
(x− 1)
(
1√
x−1 + 1
) + 1
x
(
1
x
+
3
4
) = 0.
Mặt khác, dễ thấy với x > 1 thì
1
(x− 1)
(
1√
x−1 + 1
) + 1
x
(
1
x
+
3
4
)
> 0.
Do đó, từ các biến đổi ở trên, ta suy ra
2− x = 0⇔ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét. Rõ ràng, các cách biến đổi ở trên có một đặc điểm là ta có quyền nhóm các số
hạng với nhau một cách tùy ý, miễn sao khi trừ vào ta phân tích được các nhân tử như đã dự
đoán là được; như thế thì chỉ trong một phương pháp nhân liên hợp, ta có thể có nhiều cách
giải cho một bài toán. Tuy nhiên, ta cần phải lựa chọn cách nhóm thật thích hợp để tránh dẫn
đến lời giải rắc rối, phức tạp hơn.
Ta sẽ phân tích bài toán sau đây để làm rõ điều này: Giải phương trình:
(3x+ 1)
√
x2 + 3 = 3x2 + 2x+ 3.
Bài toán này có dạng giống với các bài toán ở ví dụ 5 đã xét ở trước, vậy ta hãy thử áp dụng
lại cách giải của các ví dụ đó xem sao: Do x = −1
3
không là nghiệm của phương trình nên ta
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 13
chỉ cần xét x 6= −1
3
là đủ và khi đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 3x+ 1 6= 0
để viết lại nó dưới dạng
√
x2 + 3 =
3x2 + 2x+ 3
3x+ 1
⇔
√
x2 + 3− 2 = 3x
2 + 2x+ 3
3x+ 1
− 2
⇔ x
2 + 3− 4√
x2 + 3 + 2
=
3x2 − 4x+ 1
3x+ 1
⇔ x
2 − 1√
x2 + 3 + 2
=
(x− 1)(3x− 1)
3x+ 1
.
Từ đây, ta dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, khi đó ta có
x+ 1√
x2 + 3 + 2
=
3x− 1
3x+ 1
⇔ x+ 1
3x− 1 =
√
x2 + 3 + 2
3x+ 1
⇔ x+ 1
3x− 1 − 1 =
√
x2 + 3 + 2
3x+ 1
− 1⇔ 2(1− x)
3x− 1 =
√
x2 + 3− (3x− 1)
3x+ 1
. (1)
Rõ ràng x = −1
4
không phải là nghiệm của phương trình này. Xét trường hợp x 6= −1
4
, khi ấy
ta có
√
x2 + 3 + (3x− 1) 6= 0. Suy ra
(1)⇔ 1− x
3x− 1 =
(1− x)(1 + 4x)
(3x+ 1)
(√
x2 + 3 + 3x− 1) .
Do (3x+ 1)
√
x2 + 3 = 3x2 + 2x+ 3 nên ta có
(3x+ 1)
(√
x2 + 3 + 3x− 1
)
= (3x2 + 2x+ 3) + (3x+ 1)(3x− 1) = 12x2 + 2x+ 2.
Điều này cho phép ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng
1− x
3x− 1 =
(1− x)(1 + 4x)
12x2 + 2x+ 2
⇔ 3(1− x
2)
2(3x− 1)(6x2 + x+ 1) = 0.
Do x 6= 1 nên từ đây ta có x = −1. Tuy nhiên, khi thử lại ta thấy x = −1 không thỏa mãn
phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Quả thực lời giải trên hết sức dài dòng và phức tạp (vì phải trải qua nhiều biến đổi loằng
ngoằng) đúng không nào các bạn? Nguyên nhân của việc này chính là vì từ ban đầu, ta đã
nhóm các hạng tử không thực sự phù hợp (tuy đã làm xuất hiện hạng lượng x − 1 nhưng lại
không triệt để). Bây giờ, ta hãy cùng xem xét cách giải sau (một hướng đi tốt hơn hẳn): Ta có
√
x2 + 3 =
3x2 + 2x+ 3
3x+ 1
⇔
√
x2 + 3− 2x = 3x
2 + 2x+ 3
3x+ 1
− 2x.
Đến đây, với chú ý ở các bất đẳng thức 3x2 + 2x+ 3 = (x+ 1)2 + 2x2 + 2 > 0 và
√
x2 + 3 > 0,
từ phương trình đã cho ban đầu, ta suy ra x > −1
3
. Kết quả này cho thấy
√
x2 + 3 + 2x > 0
và như thế, ta có thể viết được phương trình trên dưới dạng
x2 + 3− 4x2√
x2 + 3 + 2x
=
3x2 + 2x+ 3− 6x2 − 2x
3x+ 1
⇔ 3(1− x
2)√
x2 + 3 + 2x
=
3(1− x2)
3x+ 1
.
Lúc này, có hai trường hợp xảy ra là 1− x2 = 0 và 1√
x2+3+2x
= 1
3x+1
.
• Trong trường hợp thứ nhất, ta có x = ±1. Kết hợp với điều kiện x > −1
3
ở trên, ta thu
được nghiệm x = 1.
ht
tp
:/
/o
nl
uy
en
to
an
.v
n
14 Lê Phúc Lữ
• Xét trường hợp thứ hai, lúc này ta có
√
x2 + 3 + 2x = 3x+ 1⇔
√
x2 + 3 = x+ 1⇔ x2 + 3 = x2 + 1 + 2x⇔ x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.
Ở lời giải thứ nhất, ta đã cộng (−2) vào cả hai vế, làm xuất hiện lượng (x− 1) nhưng lời giải
vẫn còn phức tạp về sau. Ở lời giải thứ hai, ta đã cộng (−2x) vào cả hai vế, làm xuất hiện
lượng (x2 − 1) ở cả hai vế, từ đó thu được lời giải gọn gàng và đẹp đẽ như trên. Đó chính là
sự khác biệt! Ta sẽ xem xét cụ thể ý tưởng trên qua các bài toán dưới đây:
Ví dụ 10. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình:
x2 + x− 1 = (x+ 2)
√
x2 − 2x+ 2.
Lời giải. Với phương trình này, ta không gặp được sự may mắn là nó có hai nghiệm vô tỉ và
có thể nhận ra điều này bằng cách sử dụng máy tính. Nếu linh hoạt một chút, ta sẽ nghĩ đến
thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm