Phương trình lượng giác trong các đề thi Đại học – cao đẳng từ 2002 đến 2013

 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 1 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TRONG CÁC ĐỀ THI 
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2013 
LÔI NONI ÑA U 
PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TRONG CÁC ĐỀ THI 
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2013 
 Nhaèm giuùp caùc em luyeän taäp vaø laøm quen moät soá daïng Giải một phương trình 
PTLG trong caùc kì thi ÑH-CÑ . 
 Qua ñoù thaáy ñöôïc möùc ñoä-yeâu caàu Giải một phương trình PTLG trong caùc kì thi 
ÑH-CÑ ,ñaëc bieät trong nhöõng naêm gaàn ñaây, ñoàng thôøi cuõng giuùp caùc em ñònh 
höôùng luyeän taäp toát hôn moät soá baøi Giải phương trình PTLG daïng töông tö.ï 
Taøi lieäu goàm caùc noäi dung : 
 NHAÉC LAÏI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PTLG 
 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG 
 KINH NGHIEÄM BIẾN ĐỔI GIAÛI PTLG 
 PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TRONG CÁC ĐỀ THI ÑH-CÑ 
 LUYEÄN TAÄP DAÏNG TÖÔNG TÖÏ 
 Chuùc caùc em ñaït keát quaû toát trong kieåm tra vaø thi ÑH-CÑ sau naøy . 
 Bình Döông,ngany 20 tha ng 09 na0m 2013 
 Tong hôp va bie n soann 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 2 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
cos(-α) = cosα 
sin(-α) = - sinα 
tan(-α) = - tanα 
cot(-α) = - cotα 
sin(π - α) = sinα 
cos(π - α) = - cosα 
tan(π - α) = - tanα 
cot(π - α) = - cotα 
sin(
2
 - α) = cosα, cos(
2
 - α) = sinα 
tan(
2
 - α) = cotα, cot(
2
 - α) = tanα 
 NHAÉC LAÏI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 1. Các hệ thức lượng giác cơ bản: :(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Cùng góc” 
 2 2
sin cossin cos 1; tan ,cot ; 1 sin ,cos 1
cos sin
x xx x x x x x
x x
       
 Suy ra: 2 22 2
1 11 tan ,1 cot ; tan .cot 1.
cos sin
x x x x
x x
     
 2. Cung có liên quan đặc biệt: :(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Cos đối – Sin bù - Phụ chéo” 
 Đặc biệt: 
khi
khi

    


    


   


   

sin k ch½n
sin( k ) ;tan( k ) tan
sin khi k lÎ
cos k ch½n
cos( k ) ;cot( k ) cot
cos khi k lÎ
 3. Công thức cộng: 
 Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sin 
 Cos thì cos cos, sin sin dấu đối” 
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb 
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb 
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 
ba
baba
ba
baba
tan.tan1
tantan)tan(
tan.tan1
tantan)tan(






 4. Công thức nhân đôi:(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Suy ra từ công thức cộng bằng cách thay b bằng a” 
sin2a = 2sina.cosa 
2
2. tan
tan2
1 tan


a
a
a
cos2a = 2.cos
2
a – 1 
 = 1– 2.sin
2
a 
 = cos
2
a – sin
2
a 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 3 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
 5. Công thức hạ bậc:(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Được suy ra từ công thức nhân đôi”. 
   2 21 cos2 1 cos2cos ,sin
2 2
x x
x x 
 6. Công thức biến đổi tổng thành tích: :(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos. Sin trừ sin bằng hai lần cos sin 
 Cos cộng cos bằng hai lần cos cos. Cos trừ cos bằng hai lần cos sin” 
  
   
  
   
   
    
sin( )
sin sin 2.sin .cos , tan tan
2 2 cos .cos
sin( )
sin sin 2.cos .sin , tan tan
2 2 cos .cos
cos cos 2.cos .cos , cos cos 2.sin .sin
2 2 2 2
a b a b a b
a b a b
a b
a b a b a b
a b a b
a b
a b a b a b a b
a b a b
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng: :(Thöôøng hay duøng) 
 Nhớ: “Suy ra từ công thức tổng thành tích” 
     
     
      
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 8. Công thức tính theo t = tan a: (Ít söû duïng) 

  
  
2
2 2 2
2 1 2
sin 2 ,cos2 , tan2
1 1 1
t t t
a a a
t t t
 “Công thức này đa số học sinh không nhớ được nhưng hay dùng trong việc giải PTLG nên cần 
lưu ý cho học sinh” 
 9. Công thức nhân ba: (Ít söû duïng) 
   



3 3
3
2
sin3 3.sin 4.sin , cos3 4.cos 3.cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a a a a
a a
a
a
 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PTLG 
 Nhìn chung khi giaûi moät PTLG ta caàn bieán ñoåi hôïp lí ñeå ñöa veà dang quen thuoäc ( Daïng PTLG cô 
baûn, caùc daïng thöôøng gaëp: Phương trình bậc nhất, bậc hai,đối với moät HSLG ,phương trình bậc nhất 
đối với sinu, cosu .v.v).Daïng phương trình tích các PTLG cơ bản, các PTLG thường gặp 
 Ñoái vôùi loaïi PTLG coù ñieàu kieän ,ñaàu tieân caàn ñaët ÑK vaø keát hôïp nghieäm vôùi ÑK ñeå keát luaän 
nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. 
 Ngoài ra, ta còn sử dụng cách đặt ẩn số phụ hợp lí để đưa về phương trình theo ẩn phụ đó và giải tìm 
nghiệm. 
 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 4 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
 “Để đưa về PT tích hay để rút gọn” 
1) 21 sin 2 (sin cos )x x x   ; 21 sin 2 (sin cos )x x x   
2) sin cos1 tan
cos
x xx
x

  , cos sin1 cot
sin
x xx
x

  , 3) sin 2sin cos
2
xx x  
4)    2 2cos 2 cos sin cos sin . cos sin    x x x x x x x 
5)    2 2cos x 1 sin x 1 sin x . 1 sin x        2 2sin x 1 cos x 1 cosx . 1 cos x     
6)
2 2sin x cos x 2t anx+ cot x
sin x.cosx sin 2x

  , 
2 2sin x cos x 2cos2xt anx cot x
sin x.cosx sin 2x
 
   
7) 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x    , 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x    
8) 4 4 2 2cos sin cos sin cos 2   x x x x x 
 4 4 2 2 21 1 1 cos 4 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 .sin 2 1 . .cos 42 2 2 4 4
xx x x x x x          
 
 6 6 2 2 23 3 1 cos 4 5 3sin cos 1 3sin .cos 1 .sin 2 1 . .cos 4
4 4 2 8 8
xx x x x x x          
 
9) 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x        
 
 7 7 7cos cos .cos sin .sin sin
2 2 2
x x x x       
 
  2sin sin .cos cos .sin . sin cos4 4 4 2x x x x x
        
 
 KINH NGHIEÄM VAÄN DUÏNG COÂNG THÖÙC LG HÔÏP LYÙ ÑEÅ BIẾN 
ĐỔI GIAÛI PTLG 
Khi gặp PTLG có chứa: 
- “Bình phương, khác góc” ta thường sử sụng công thức hạ bậc. 
- “Tích các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tổng. 
- “Tổng các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tích. 
- “Góc gấp đôi nhau” ta thường sử dụng công thức nhân đôi. 
- “Các góc đặc biệt”, VD như: x
4

 , 3
2
x  , 7
4
x  ta thường sử dụng công thức cộng để biến đổi 
trước. Lưu ý các cặp gặp phụ nhau. 
 PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TRONG CÁC ĐỀ THI ÑH-CÑ 
NĂM 2002 
(Khối A-2002) Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình: 
cos3x + sin3x5(s inx + ) os2x + 3
1+sin2x
c 
Giải 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 5 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
ĐS: 5;
3 3
x x   . 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về phương trình bậc 2 đối với một HSLG 
(Khối B_2002)Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   
Giải 
 ĐS:  ; ,9 2x k x k k
 
   
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Khối D_2002) Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 
Giải 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 6 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
ĐS: 3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x       
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 NĂM 2003 
(Khối A_2003)Giải phương trình: 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
xx x x
x
   

Giải 
ĐS:  4x k k

   
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Khối B-2003) cotgx - tgx + 4sin2x = 2
sin 2x
Giải 
ĐS:  ,3x k k

    
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 7 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về phương trình bậc 2 đối với một HSLG 
(Khối D_2003) 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
Giải 
ĐS:  2 , ,4x k x k k

        
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
NĂM 2004 
(Khối A_2004) khoâng coù PTLG 
(Khối B_2004) Giải phương trình   25sin 2 3 1 sin tanx x x   
Giải 
ĐS:  52 ; 2 ,6 6x k x k k
 
      
Nhận xét caùch giaûi: 
(Khối D_2004) Giải phương trình    2 cos 1 2 sin cos sin 2 sinx x x x x    
Giải 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 8 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
ĐS:  2 , ,3 4x k x k k
 
        
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
NĂM 2005 
(Khối A – 2005) Giải PTLG sau: 2 2cos 3x cos2x cos x 0  
 Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc” 
 Biến đổi để đưa về phương trình bậc 2 đối với một HSLG 
 HD giải: 
 2 2cos 3x.cos2x cos x 0   1+cos6x cos 2 1+cos2x 02 2
x
   
 cos6x.cos 2 1x  “Tích ta thường biến đổi về tổng” 
  1 cos8 cos 4 12 x x  
 “Góc 8x và 4x: nên sử dụng công thức nhân đôi” 
 22.cos 4 cos 4 3 0. S : . 2x x Ð x k

     
(Khối B – 2005) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 
Giải 
ĐS: 2 2 ;
3 4
x k k       
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 9 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
(Khối D – 2005) sin4x + cos4x + cos(x-
4
 )sin(3x-
4
 ) - 3
2
= 0 
Giải 
ĐS:  ,4x k k

   
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về phương trình bậc 2 đối với một HSLG 
NĂM 2006 
(Khối A_2006) Giải phương trình:  
6 62 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


Giải 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 10 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
ĐS:  5 24x k k

   
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về phương trình bậc 2 đối với một HSLG 
(Khối B-2006) xcotx + sinx(1 + tanxtan ) 42 
Giải 
ĐS:  5; ,12 12x k x k k
 
      
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng PTLG cô baûn sin[f(x)]=m 
(Khối D – 2006)Giải PTLG sau: cos3x cos2x cosx 1 0    
 Nhận xét caùch giaûi: “Đưa về cùng một hàm số lượng giác” Ở bài toán này ta nhận thấy cos3x và 
cos2x ta đều chuyển được về cosx nên sử dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi để đưa PT về 
cùng một hàm số sinx” Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 HD: 
 3 2
cos3x cos2x cosx 1 0
4.cos 3.cos 2cos 1 cos 1 0x x x x
   
      
 3 22cos x cos x 2cosx 1 0     2(2cos 1)(cos x 1) 0x    
 1cos ,sin 02

  x x 2S: 2 ,
3
Ð x k x k      
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 11 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
NĂM 2007 
(Khối A– 2007) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 
Giải 
ĐS:  , 2 , 24 2x k x k x k k
 
         
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Khối B – 2007) 2sin22x + sin7x  1 = sinx 
Nhận xét caùch giaûi: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc” 
Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 HD: 
 1 cos 42. sin 7 1 sin2
xPT x x    
 sin 7 sin cos 4 0x x x    “Tổng ta thường biến đổi về tích để đặt nhân tử chung” 
2cos 4 .s in3x cos 4 0x x   
cos 4 0
cos 4 (2sin3x 1) 0
sin 3 sin
6
x
x
x 

   
 

2 5 2: , ,
8 4 18 3 6 3
KL x k x k x k           
(Khối D_2007)Giải phương trình 
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x x    
 
Giải 
ĐS:  2 , 2 ,2 6x k x k k
 
       
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng PTLG cô baûn cos[f(x)]= m 
NĂM 2008 
(Khối A-2008) 1 1 74sin( )3sinx 4sin( )2
x
x


  

 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 12 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
Nhận xét caùch giaûi: “Ở bài toán này ta thấy có chứa 3sin 2x
  
 
 và 7sin 4 x
  
 
 nên ta sử dụng 
công thức cộng để biến đổi” 
Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 HD: 
 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x       
 
  7 7 7 2sin sin .cos cos .sin . sin cos4 4 4 2x x x x x
         
 
 Điều kiện: sin 0,cos 0x x  
 PT trở thành: 
1 1 12 2(sin cos ) 0 (sin cos ) 2 2 0
sin cos sin .cos
sin 0
4 5S: , ,
4 8 81sin 2
2
x x x x
x x x x
x
Ð x k x k x k
x

  
  
         
 
             
 


(Khối B– 2008) 3 3 2 2sin 3 os sinxcos 3sin osxx c x x xc   
Nhận xét caùch giaûi: “Biến đổi đưa về PT dạng: 
 3 2 2 3a.sin x + b.cos x.sin x + c.cosx.sin x + d.sin x + e.cosx + f.cos x = 0” 
Aùp duïng caùch giaûi nhö PT thuaàn nhaát baäc 2 ñ/v sin vaø cos 
 Khi cosx = 0 2sin 1x  (không thỏa phương trình). 
 Khi cosx ≠ 0: 
 Chia 2 vế cho cos3x, đặt t = tanx ta được: 
 3 2t 3 3 0t t    2( 3)( 1) 0t t    
 3, 1t t     S: ,3 4
Ð x k x k        
(Khối D_2008) Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
Giải 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 13 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
ĐS:  2 2 , ,3 4x k x k k
 
       
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(CĐ_A_B_D_2008) Giải phương trình sin 3 3 cos3 2sin 2x x x  
Giải 
ĐS:  4 22 , ,3 15 5x k x k k
  
     
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng PTLG cô baûn sin[f(x)]=sin[g(x)] 
NĂM 2009 
(Khối A – 2009) Giải PTLG sau: (1 2sin x)cosx 3(1 2sin x)(1 sin x)


 
 Nhận xét caùch giaûi: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” 
 HD: 
  2cos sin 2 3. 1 sin 2.sinPT x x x x     
  cos sin 2 3. cos 2 sinx x x x    “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về 
 dạng a.sinx + b.cosx” 
  cos sin 2 3. cos 2 sinx x x x    
 3.sin cos sin 2 3.cosx x x x    “Chia hai vế của PT cho 2” 
 sin sin 2
6 3
x x          
   
 ĐS: 
2 3, 2
18 3 2
x k x l        
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 14 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
(Khối B – 2009) Giải PTLG sau: 3sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)    
 Nhận xét caùch giaûi: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” Ở bài toán này ta 
thấy có chứa tích: cosx.sin2x nên ta biến đổi về tổng và có sin3x nên ta sử dụng công thức nhân ba để hạ 
bậc 3” 
 HD: 
 1 3 1sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 )2 4 4
1 3 3 1sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3
2 2 2 2
PT x x x x x x x
x x x x x x
      
     
 sin 3 3 cos3 2cos 4x x x   “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về 
 dạng a.sinx + b.cosx” 
 1 3sin 3x cos 3x cos 4x2 2
   “Chia hai vế của PT cho 2” 
 cos 3x cos 4x6
    
 
 ĐS: 2x k , x k2
42 7 6
  
     
(Khối D_2009)Giải phương trình 3 cos5 2 sin 3 cos 2 sin 0x x x x   
Giải 
ĐS:  , ,18 3 6 2x k x k k
   
      
Nhận xét caùch giaûi: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” 
(CĐ_A_B_D_2009) Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx 
Giải 
ĐS:  5, ,12 12x k x k k
 
      
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
NĂM 2010 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 15 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
(Khối A – 2010) Giải PTLG sau:
(1 sin x cos 2x)sin x 14 cos x1 tan x 2
    
  

Nhận xét caùch giaûi: “Ở bài toán này ta thấy có chứa  2sin . sin cos4 2x x x
    
 
 và mẫu có chứa 
sin cos1 tan
cos
x xx
x

  nên ta phân tích để rút gọn tử và mẫu cho (sinx + cosx)” 
 HD: 
 Điều kiện: cos 0x  và tanx ≠ 1 
2(1 sin cos 2 ). .(sin cos ) 12 .cos .cos
sin cos 2
x x x x
PT x x
x x
  
 

 (1 sin cos 2 ).(sin cos ) .cos cos
sin cos
x x x x x x
x x
  
 

 (1 sin cos2 ) 1 sin cos 2 0x x x x       “Góc 2x và 1x: nên sử dụng CThức nhân đôi” 
2 12sin sin 1 0 sin 1( ) sin
2
7S : 2 2 ( )
6 6
x x x loai hay x
Ð x k hay x k k
       
 
       
(Khối B – 2010) (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 
Giải 
Phương trình đã cho tương đương với: 2sin x cos2 x − sin x + cos2x cos x + 2cos2x = 0 
⇔ cos2xsin x + (cos x + 2)cos2x = 0 ⇔ (sin x + cos x + 2)cos 2x = 0 (1). 
Do phương trình sin x + cos x + 2 = 0 vô nghiệm, nên: 
(1) ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = 
4 2k
 
 (k  Z) 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Khối D –2010) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x     
Nhận xét caùch giaûi: “Góc 2x và 1x: nên sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi” 
 Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
HD: 
 2sin .cos cos 2 3sin cos 1 0PT x x x x x      “Ở đây ta nhóm 2.sinx.cosx với cosx do 
 khi nhóm với 3.sinx ta không giải tiếp được” 
   2cos . 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x      
      cos . 2sin 1 2sin 1 . sin 2 0x x x x      
   2sin 1 cos sin 2 0x x x     
  
 
2sin 1 0 1 5S: 2 , 2
6 6cos sin 2 0 2 ,
x
Ð x k x k
x x PTVN
 
 
 
    
  
NĂM 2011 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 16 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
( Ñaïi hoïc-K.A-2011) Giaûi PT: 
2
1+sin2x cos2x
 2 sin sin 2
1 cot
x x
x



Giaûi: ÑK sin x  0 (*) . PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: 
 
 
2 2
sin 1+sin2x cos2x 2 2 sin cos 1+sin2x cos2x 2 2 cos ( sin 0)
cos 0 2
cos sinx cosx- 2 cos 0
sinx cosx= 2
sin 1
4
x x x x Do x
x k
x
x x
x



     

  
           
 
2
x k

  Thoûa (*) 
 sin 1 2
4 4
x x k
 

 
     
 
 Thoûa (*) 
Vaäy PT coù nghieäm 
2
x k

  ; 2
4
x k

  
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Ñaïi hoïc -K.B-2011) Giaûi PT: sin2xcosx sinxcosx=cos2x+sinx+cosx 
Giaûi: PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: 
sinx(1+cos2x) sinxcosx=cos2x+sinx+cosx cos2x(sin 1) cos (sin 1) 0
sin 1 0 sin 1 2
(sin 1)(cos2x cos ) 0
2cos2x cos 0 cos2x= cos cos( )
3 3
x x x
x k
x x
x x
kx x x
x


 
     

    
                
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Ñaïi hoïc -K.D-2011) Giaûi PT: 
sin2x 2cosx sinx 1
 0
tan 3x
  


Giaûi: ÑK cos x  0 vaø tanx  3 (*) PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: 
sin2x 2cosx sinx 1 2cosx(sin 1) (sin 1) 0
sin 1 2
2
(sin 1)(2cosx 1) 0 1
cosx= 
22
3
x x
x x k
x
x k




        
                 
Ñoái chieáu ÑK (*) suy ra nghieäm 2
3
x k

  
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
( Cao ñaúng-K.A,B,D-2011) Giaûi PT: 
2
cos4x 12sin x 1=0  
Giaûi: 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 17 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
2 2 2
cos4x 12sin x 1=0 2cos 2x 1+6(1 cos2x) 1=0 cos 2x 3cos2x+2=0
cos2x 1
cos2x 2( )
x k
VN

        
 
   
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương baäc 2 ñ/v moät HSLG 
NĂM 2012 
( Ñaïi hoïc-K.A vaø A1 -2012) Giaûi PT: 3sin2x cos2x=2cosx 1  
Giaûi: PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: ( 3sinx cosx 1)cosx=0  
 cosx=0 x=
2
k

  
 
2
3sinx cosx 1=0 cos cos 2
3 3 2
3
x k
x
x k

 


 
             
Vaäy nghieäm cuûa PT laø x=
2
k

 , 2x k  ,
2
2
3
x k

  
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
( Ñaïi hoïc-K.B -2012) Giaûi PT: 2(cosx 3sinx)cosx =cosx 3sinx+1  
Giaûi: PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: 
cos2x 3sin2x=cosx 3sinx cos 2x cos x
3 3
2
x 2
3
2x x 2
3 3 2
3
k
k
k
x
 

 


   
         
   

  
        
  
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng PTLG cô baûn cos[f(x)]=cos[g(x)] 
( Ñaïi hoïc-K.D -2012) Giaûi PT: sin3x cos3x sinx+ cosx= 2cos2x  
Giaûi: PT ñaõ cho töông ñöông vôùi PT: 
cos2x=0
(2sinx 2 cosx 2)cos2x=0
2sinx 2 cosx 2 0
cos2x=0
4 2
7
2
1 12
2sinx 2 cosx 2 0 cos cos
4 2 3
2
12
k
x
x k
x
x k
 

 



   
  
   

  
          
    
Vaäy nghieäm cuûa PT laø 
4 2
k
x
 
  , 7 2
12
x k

  , 2
12
x k

   
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 18 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B, D NĂM 2012) . Giải phương trình : 2cos2x + sinx = sin3x. 
Giaûi: 2cos2x + sinx = sin3x  sin3x – sinx – 2cos2x = 0 
  2cos2xsinx – 2cos2x = 0    cos2 02cos2 sinx 1 0 
sinx 1 0
x
x
 
     
  x = 
4 2k
 
 hay x = 22 k

 (k  Z) 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
NĂM 2013 
( Ñaïi hoïc-K.A vaø A1 -2013) Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x 4
    
 
Giaûi:
Điều kiện: cos 0 ,2x x k k
p
p¹ Û ¹ + Î  
( )( )
s inx cos 0 4s inx cos 2cos 1 0 1cos 22 3
x x k
PT x x x x k
p
p
p
p
é
é + = ê = - +
ê
ê
êÛ + - = Û Û ê
ê = ê
= ± +ê êë
ë
Vậy nghiệm phương trình là: ; 2 ,4 3x k x k k
p p
p p= - + = ± + Î  
 Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(Ñaïi hoïc -K.B-2013) Giải phương trình 2sin 5 2cos 1x x  
Giaûi:
2sin5 2cos 1x x   sin5x = 1 – 2 cos2x = -cos2x = sin(2x - /2) 
  5x = 2x - 
2

+ k2 hay 5x =  - 2x +
2

 + k2, k  Z 
  x = 
2
6 3
k 
  hay x = 
3 2
14 7
k 
 , k  Z 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng PTLG cô baûn 
(Ñaïi hoïc -K.D-2013) Giải phương trình sin 3 cos 2 sinx 0x x   . 
Giaûi:
 sin 3 cos 2 sin 0  x x x 
 2cos2 sin cos2 0 cos 2 2sin 1 0     x x x x x 
cos 2 0 ,
4 21 7sin 2 2 ,2 6 6
x x k k Z
x x k hay x k k Z
 
 
 
                
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 19 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
(CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B, D NĂM 2013) . Giải phương trình cos( ) sin 2 02 x x

   . 
Giaûi:
cos sin 2 0
2
x x    
 
  sinx + 2sinxcosx = 0  sinx(1 + 2cosx) = 0 
s inx 0
1 2cos 0x

  
  ,2
3
x k
k Z
x k




 
   

Nhận xét caùch giaûi: Biến đổi để đưa về daïng phương trình tích 
 LUYEÄN TAÄP DAÏNG TÖÔNG TÖÏ 
1. Giải phương trình: x
xx
sin
2cos32cot4  
HD- ÑS: Daïng coù ñieàu kieän.Biến đổi để đưa về phương trình (1 cos sin )(cos sin 3) 0x x x x     
3
2
2
x k

   
2. Giải phương trình: 1)12cos2(3cos2 xx 
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình sin 6 sinx x  5
2 mx  ( tm 5 ); 7
2
7
 mx  ( 37  lm ) 
trong đó Zltm ,, 
3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
6 64(sin cos ) 6.cos 2 2.cos 4 0
sin 2
x x x x
x
  
 
HD- ÑS: Daïng coù ñieàu kieän.Biến đổi để đưa về phương trình 
27cos 2 6cos 2 1 0   x x 1 1arccos2 7x k
    
 
 vµ 
1 1arccos2 7x k
     
 
 ( )k Z 
4. Giải phương trình :  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
HD- ÑS: Daïng coù ñieàu kieän.Biến đổi để đưa về phương trình 2cos
2
  x  24x k k

    
5. Giải phương trình : 3 (sin2x + sinx) + cos2x – cosx = 2 
HD- ÑS: 
Biến đổi để đưa về phương trình 2sin ( ) sin( ) 0
6 6
 
    x x x = 
6
k  ; x = 
3
k  ;x = 2k  
6. Giải phương trình:  
3 2cos cos 2 1 sin .sin cos
x x xx x

 

 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 20 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
HD- ÑS: Daïng coù ñieàu kieän Biến đổi để đưa về daïng phương trình 
     1 sin 1 cos 1 sin 0     x x x 22x k

   và 2x m   
7. Giải phương trình: 1 3cos cos 2 2 cos3 4sin .sin 2x x x x x    
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình 22 cos cos 0  x x 2, 22 3
 
     x k x k 
8. Giải phương trình: 1cos cos cos 2 14 4 3
x x x           
   
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình 22cos 3 2 cos 4 0x x   3 2 ,4

    x k k Z 
9. Giải phương trình: sin 4 cos4 4 2 sin ( ) 1
4
x x x     . 
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình 
sinx cos 0
(cos sinx)(sin 2 os2 ) 2
 
    
x
x x c x x = 4 k

  
10. Giải phương trình: 2 sin 2 3sin cos 2
4
x x x     
 
. 
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình 
   sin cos 1 2 cos 3 0   x x x 2 , 22

       x k x k 
11. Giải phương trình: 
  3s in co s 2 co s - co s4
1 ta n 2
x x x x
x
   
  

HD- ÑS: Daïng coù ñieàu kieän.Biến đổi để đưa về phương trình sinx – sin2x = 0 ↔ x = k , k  Z 
12. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  
2
1)3cos1)(2cos1(cos1  xxx 
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình: 
16
1
2
3cos.cos.
2
cos
2





 xxx 
 2; 2 ,
4 2 3
k
x x m k m Z
  
       
13. Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1
12
x x
  
HD- ÑS: Biến đổi để đưa về phương trình:  2(cosx–sinx)(sinx– 3 cosx)=0  ,
3 4
x k x k
      
14. Giải phương trình: )2sin(2cossin
2sincot
2
1 


 xxx
xx . 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh - 21 - T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
ÑT:0169 8033 568 
HD- ÑS: Daïng coù ÑK ,bieán ñoåi daãn ñeán PT: cos sin( ) sin2 0
4
x x x
 
    
 
 
 kx 
2
; 
.,,
3
2
4
 tktx  
15. Giải phương trình:  2 2 2 1cos cos sin +13 3 2x x x
          
   
HD- ÑS: Bieán ñoåi daãn ñeán PT : 
22sin sin 0 x x 52 ; 2 ;6 6
 
       x k x k x k 
16. Giải phương trình: xxxx 2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33  
HD- ÑS: Bieán ñoåi daãn ñeán PT : 
3
cos sin (2 sin ) sin cos 0