Quan hệ chia hết trên tập số nguyên

Trong lý thuyết số, chia hết là một quan hệ hai ngôi trên tập các số nguyên. Quan hệ này cũng có thể mở rộng cho các phần tử trên một vành. Quan hệ chia hết gắn liền với nhiều khái niệm quan trọng trong lý thuyết số như số nguyên tố, hợp số, định lý cơ bản của số học...
Quan hệ chia hết trên tập số nguyên
Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b , hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta cũng gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước) của b.
Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15 
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố. 
Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố đựoc gọi là hợp số.
Định lí về phép chia có dư
Cho a, b là hai số nguyên (b khác 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2;...; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)
Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.
Tính chất
a) Nếu b|a và c|b thì c|a.
b) Nếu c|a, b|a và (b,c)=1 thì bc|a.
c) Nếu c|ab và (b,c)=1 thì c|a.
d) Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n≥1).
Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau từng đôi một. Trong đó có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n.
e) Nếu m|a và m|b thì m|(a+b) và m|(a-b).
Chứng minh: Vì m|a nên a=m×n1, vì m|b nên b=m×n2 (n1, n2 là các số nguyên). Vậy a+b=m×(n1+n2) mà (n1+n2) là số nguyên nên m|(a+b).
Định lý cơ bản của số học
Định lý cơ bản của số học (hay định lý về sự phân tích duy nhất ra các thừa số nguyên tố) phát biểu như sau: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố,chẳng hạn


Một cách tổng quát: Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

trong đó là các số nguyên tố. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n'.
Tập hợp các ước tự nhiên của số n
Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n
Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n ký hiệu là τ(n) 
Cho số tự nhiên n> 1 với dạng phân tích tiêu chuẩn như trên. Khi đó mỗi ước b của n có dạng:

trong đó với mỗi .
Do đó số tất cả các ước tự nhiên của n là

ví dụ: , nên số 6936 có số các ước tự nhiên là (3+1).(1+1).(2+1)=24. 
[sửa] Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n
Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n được ký hiệu là σ(n).
Công thức tính σ(n) như sau

Xem thêm :Hàm tống các ước
Các ước tự nhiên khác chính nó của n được gọi là ước chân chính của n. Nếu tổng các ước chân chính của số tự nhiên n bằng chính n hay thì n được gọi là số hoàn chỉnh.
Ví dụ:
Số 6 có các ước chân chính là 1,2, 3 và 6 = 1+2+3 nên 6 là số hoàn chỉnh. 
Số 28 có các ước chân chính là 1,4, 7, 14 và 28= 1+2+4 + 7 + 14 nên 28 là số hoàn chỉnh. 
[sửa] Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên 
Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên là một quan hệ thứ tự bộ phận.
Trong , với hai phần tử a, b bất kỳ, khác không, tồn tại phần tử d trong là cận dưới đúng của a và b theo quan hệ chia hết, nghĩa là
d|a và d|b; và 
với mọi d' thỏa mãn 1. d'|a và d'|b thì d'|d. 
Phần tử này chính là ƯCLN(a,b). Tương tự, với hai số tự nhiên a, b bất kỳ, cùng khác không, tồn tại phần tử m trong là cận trên đúng của a và b theo quan hệ chia hết, nghĩa là
a|m và b|m; và 
với mọi m' thỏa mãn 1. a|m' và b|m; thì m|m'. 
Phần tử này chính là BCNN(a,b).

MỘT DẤU HIỆU CHIA HẾT1/bổ đề:với mỗi số p=10s+r với r=1,3,7,9 có thể chọn dc số k (phụ thuôc vào s,r) sao cho 10k+1 là Bội của p,nghĩa là (10k+1) chia hết cho p.C/m;Xét với p=10s+1 chọn k=s+pt thì 10k+1=10(s+pt)+1=p(10t+1)xét tương tự với p=10s+3;10s+7:10s+p =>d.p.c.m2/Định lý:Số tự nhiên T=10x+a chia hết cho số lẻ p=10s+r với r=1,3,7,9 số x-ka chia hết cho p trong đó k thỏa mãn 10k+1 chia hết cho p.(các bạn tư chứng minh)3/tìm dấu hiệu chia hết: Muốn tính toán đỡ phức tạp ta chọn k sao cho |k|la Min VD:dấu hiệu chia hết cho 3,9:thì T=a1a2a3...at chia hết cho 3(hay Tchia hết cho 9) a1+a2+...+at chia hết cho 3 or cho9*dấu hiệu chi hết cho 7 :T=10x+a chia hết cho 7 M=(x-2a) chia hết cho 7*dấu hiêu chia hết cho 13,17 số T=10x+a chia hết cho 13(or 17) số M=x-5a chia hết cho 13 (or 17mời các bạn trao đổi thêm nha....ai bit rồi thì đừng cười.......
Số chia hết cho: a) khi n có tận cùng là số chẵnb) khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3c) khi 2 chữ số tận cùng của n tạo thành số chia hết cho 4d) khi n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5e) khi n chia hết cho cả 2 và 3f) khi n có 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8.g) khi tổng các chữ số của n chia hết cho 9h) khi n có chữ số tận cùng là 0i) khi hiệu số giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn là số chia hết cho 11.k) khi n chia hết cho cả 3 và 4l) khi n chia hết cho cả 3 và 5.

Nguyên văn bởi thuyan2 
1/ Chứng minh rằng tổng 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.2/Cho 4 số không chia hết cho 5, khi chia cho 5 thì được những số dư khác nhau.Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5 (không khó cũng không dễ, thử làm đi)He...He
1/ CMR: tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng a; a+1; a+2 với a thuộc N=> [a+(a+1)+(a+2)]=(a+a+1+a+2)=(a+a+a)+(1+2)=3a+3Ta có 3:3->3a:33:3Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3CMR: Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng a; a+1; a+2;a+3;a+4 với a thuộc N=> [a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)]=(a+a+1+a+2+a+3+a+4)=(a+a+a+a+a)+ (1+2+3+4)= 5a+10Ta có 5:5->5a:510:aVậy tổng của năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5
2/ Gọi 1 số chia hết cho 5 là a=> gọi 4 số khi chia hết cho 5 có các số dư khác nhau là a+1(chia 5 dư 1); a+2(chia 5 dư 2); a+3(chia 5 dư 3); a+4(chia 5 dư 4)Ta có: (a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)= 4a + (1+2+3+4)= 4a + 10Vì a chia hết cho 5 nên 4a chia hết cho 5 và 10 chia hết cho 5 => điều phải chứng minh