Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ Lớp 5

Phần mở đầu
Lý do chọn đề tài
1. Môn Toán với tư cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của 
thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lượng khá lớn trong quá trình học tập của học sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển tư duy lô gíc, hình thành và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh, chứng minh, trừu tượng hóa, khái quát hóa  là môn học cần thiết để học tập các môn học khác và đặc biệt nó được áp dụng trong đời sống hàng ngày của con người.
2. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy – học các dạng “Toán điển hình”: 
dạng toán “ Chuyển động đều” là một dạng toán khó ở trong chương trình môn Toán ở Tiểu học “Chuyển động đều” là dạng toán liên quan đến 3 đại lượng: vận tốc, thời gian và quảng đường. 
Để giải được dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
3. Xuất phát từ thực trạng dạy và học toán “ Chuyển động đều” ở chương trình
Tiểu học mà trong đó có dạng chuyển động của hai động tử cùng chiều trên đường thẳng và trên vòng tròn. “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” thuộc các bài toán chuyển động trong vòng tròn. Các bài toán thường gây khó khăn cho học sinh bởi việc xác định thời gian và thời điểm, khoảng cách giữa kim giờ và kim phút .
 “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” liên quan đến ba đại 
lượng là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này không xuất hiện trong SGK Toán 5 kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập này đa số giáo viên cảm thấy khó. Một số giáo viên chưa biết cách hướng dẫn cho học sinh để các em có thể nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết. Trong chương trình Violympic giải toán qua mạng Internet do BGD&ĐT tổ chức đến vòng thi thứ 18 thì đa số giáo viên gặp khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ”.
 Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” nói riêng trong môn Toán ở Tiểu học và góp phần trong việc đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh năng khiếu trên cơ sở kiến thức chuẩn theo chương trình để hình thành và phát triển những kiến thức nâng cao một cách phù hợp với nhận thức của học sinh. Chúng tôi, những cán bộ quản lý và giáo viên trường Tiểu học Quỳnh Thạch xin được trao đổi những việc làm đó qua sáng kiến: Quỳnh Thạch xin được trao đổi những việc làm đó qua sáng kiến: Phương pháp dạy học “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” lớp 5.
Cơ sở thực tiễn:
Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa, qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán lớp 5 của trường Tiểu học Quỳnh Thạch chúng tôi thấy:
Về sách giáo khoa:
“ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” là một dạng toán thuộc các bài toán “ Hai động tử chuyển động cùng chiều” nhưng chuyển động của kim giờ và kim phút trên mặt đồng hồ không được đưa vào giảng dạy trong sách giáo khoa Toán 5 .
Về giáo viên :
- Chất lượng của đội ngũ giáo viên ngày càng được nâng cao do được đào tạo cơ bản và chất lượng “đầu vào” được chú ý hơn. Do tác động của xã hội nói chung và yêu cầu của giáo dục ngày nay nói riêng nên đòi hỏi nhà giáo phải vươn lên không ngừng, vì vậy chất lượng của đội ngũ ngày càng được cải thiện rõ nét. Nhưng bên cạnh đó vẫn có một số giáo viên năng lực chuyên môn còn hạn chế. 
- Một số giáo viên còn xem nhẹ việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi. Không
ít giáo viên trong các nhà trường nói chung và trong trường Tiểu học nói riêng còn có suy nghĩ rằng việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc của cán bộ quản lý và một vài giáo viên mà quên đi đó là trách nhiệm của tất cả mọi giáo viên, của tất cả mọi người chứ không phải của riêng ai.
- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt động dạy –
học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phương pháp dạy học mới, thiếu sự linh hoạt trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay “đưa lạ về quen”.
 Qua thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn. Toán thì 
đa số giáo viên còn lúng túng khi hướng dẫn học sinh giải dạng này. Các bước giả trong tài liệu tham khảo còn chưa cụ thể, quá dài nên khi giáo viên tham khảo để hướng dẫn học sinh còn gây sự khó hiểu cho các em; một số giáo viên còn không hiểu bản chất của bài toán.
3. Về thực tế cuộc sống:
“ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” là những bài toán thực tế mà 
chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay vẫn còn xa lạ với nhiều người như:
 Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong thời 
gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
 Những bài toán như thế nếu biết được phương pháp giải thì không khó nhưng 
quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.
4. Về học sinh :
- ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi nhớ và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính hời hợt, nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của các em còn hạn chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi được các em vận dụng để giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng “đưa lạ về quen”.
- Đối với các bài toán “Chuyển động đều” liên quan đến 3 đại lượng gây không ít
khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong chương trình Tiểu học. Đặc biệt, đối với dạng toán “chuyển động cùng chiều” liên quan đến hai kim trên mặt đồng hồ quả thực là khó đối với học sinh vì chuyển động của chúng là chuyển động trên vòng tròn nên các em khó xác định được vị trí và quy luật của hai kim đồng hồ là kim phút và kim giờ. Các em còn khó xác định đâu là thời gian, đâu là thời điểm. Khả năng tưởng tượng của các em còn hạn chế nên việc tìm ra khoảng cách giữa hai kim trong một thời điểm còn mơ hồ.
Mặc dù trong chương trình và sách giáo khoa Toán 5 không có bài tập nào liên 
quan đến chuyển động của hai kim đồng hồ nhưng để phát triển và nâng cao trí tuệ cho học sinh nhất là những học sinh có năng khiếu về môn Toán thì nhiệm vụ của 
người giáo viên bồi dưỡng là phải biết phát huy hết khả năng tiềm ẩn của các em.
III. Đề xuất phương pháp giải “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ”
 Trên cơ sở kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán 5, chúng tôi đã hình 
thành đưa các bài toán lạ trở về các bài toán điển hình quen thuộc, với phương pháp:
Xây dựng trên nền kiến thức cũ. 
Biến đổi dạng lạ thành quen.
- Dựa vào kiến thức đơn giản để hình thành kiến thức nâng cao.
 - Hình thành cho các em kỹ năng giải toán thông qua các bước giải toán. 
 Dạng 1:
“Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” Chập nhau (trùng nhau)
Ví dụ 1:
 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Sau 3 giờ một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 36km/giờ. Hỏi kể từ lúc xe máy bắt đầu đi, sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp ?
 ( SGK Toán 5 –Trang 146 )	
Đây là bài toán thuộc dạng toán “ Hai động tử chuyển động cùng chiều” với vận tốc V1, V2 (V2 > V1) trên một quảng đường để đuổi kịp nhau thì :
Thời gian đuổi kịp nhau (t) = Khoảng cách ban đầu : Hiệu vận tốc (V2 – V1) 
Trong ví dụ trên ta có thể giải như sau :
Bài giải
Quy ước
Nhận xét
- Quảng đường xe đạp đi trước xe máy trong 3 giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy gần xe đạp là :
36 – 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ 30 phút 
- Quảng đường đi trước .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp nhau .
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc 
*Dạng toán “Hai hiệu số”
 	Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, chúng tôi đã khai thác để dạy học sinh áp dụng để giải “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” khá xa lạ đối với học sinh và một bộ phận giáo viên. Khi gặp “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ”, các em không biết phân tích vì khó hình dung ra vị trí của hai kim trên mặt đồng hồ và quá trình chuyển động của chúng. 
Để khắc phục điều này, Sau khi học xong bài toán thông thường nói trên chúng tôi đã đưa ra “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” và thực hiện qui trình dạy như sau : 
 Bài toán 1:
 Bây giờ là 3 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu, hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
 Trước hết chúng tôi quy ước cho học sinh:
1. Ta chọn mặt đồng hồ là một vòng thì vận tốc của kim phút là 1vòng/giờ, vận tốc của kim giờ là 1/12 vòng/giờ.
 2. Nếu ta chia mặt đồng hồ thành 60 đoạn thẳng thì vận tốc kim phút là 60 đoạn thẳng /giờ, vận tốc của kim giờ là 5 đoạn /giờ. 
3. Nếu chia mặt đồng hồ thành 12 vạch thì vận tốc kim phút là 12vạch/giờ, kim giờ là 1vạch/giờ.
Trong quá trình dạy chúng tôi đã chọn trường hợp thứ 2.
 Các bước tiến hành :
- Giải lại ví dụ trong sách giáo khoa.
- Tiến hành giải. 
- So sánh sự giống nhau giữa hai bài toán để rút ra phương pháp giải.
Phân tích 
Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 nên khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là 5 x 3 = 15 (đoạn thẳng ). 
Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến lúc đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 3 giờ đúng, nghĩa là bằng 15 đoạn thẳng. 
Mà cứ mỗi giờ kim phút đi được một vòng quay (60 đoạn thẳng) còn kim giờ chỉ đi được vòng quay (5 đoạn thẳng ) nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là: 60 – 5 = 55 (đoạn thẳng).
Ví dụ
Bài toán 1
So sánh
 Quảng đường xe đạp đi trước xe máy trong 3 giờ là:
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy gần xe đạp là :
 36 – 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ 30 phút
- Khoảng cách giữa kim giờ và kim phút là :
5 x 3 = 15 (đoạn thẳng )
- Mỗi giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là :
 60 – 5 = 55 (đoạn thẳng)
- Kể từ lúc 3 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
 15 : 55 = (giờ)
 hay 16 phút 
Quảng đường (khoảng cách ban đầu) đi trước .
- Hiệu vận tốc 
Thời gian đuổi kịp nhau.
Như vậy đây là bài toán “ Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau” 
thuộc dạng toán “Hai hiệu số ”. Bài toán đó được giải như sau:
Kết luận 1:
 Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài toán khi bài toán cho trước thời điểm và yêu cầu tìm thời gian chập ( trùng khít ) lên nhau bằng cách lấy:
 Khoảng cách giữa hai kim (tại thời điểm đó) chia cho hiệu vận tốc của hai kim
 Tại những thời điểm hai kim trùng khít lên nhau. Vì kim phút chuyển động nhanh hơn kim giờ (V2 > V1) nên trong vòng quay thứ nhất chúng không thể gặp nhau trên vòng chuyển động. Vậy khoảng cách giữa hai kim được tính như thế nào? Để hướng dẫn loại bài toán này chúng tôi thực hiện như sau :
Bài toán 2:
 Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Phân tích 
 Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng (60 phút) mà hai kim vẫn chưa gặp nhau.
Các bước
Bài giải
Nhân xét
Bước 1
Bước 2
Bước 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12 . Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng (60 phút ) mà hai kim vẫn chưa gặp nhau
- Đến 1 giờ kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 5 đoạn thẳng. Tổng số đoạn thẳng giữa kim phút và kim giờ là :
60 + 5 = 65 ( đoạn thẳng )
 - Hiệu vận tốc giữa hai kim là : 
 60 – 5 = 55 ( đoạn thẳng /giờ )
- Thời gian để hai kim chập nhau là :
 65 : 55 = (giờ) = 1 giờ
 Đáp số : 1 giờ
- Quảng đường đi trước.
- Hiệu vận tốc.
- Thời gian đuổi kịp nhau.
Nhận xét : 
 Qua bài toán trên ta thấy :
Nếu tính tại một thời điểm nhất định khi hai kim đang trùng nhau thì thời 
gian để hai kim trùng nhau (chập khít) lần thứ 2 sẽ mất một khoảng thời gian là 1 giờ. 
 Từ nhận xét đó chúng tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán 3.
Bài toán 3: Trong một ngày, hai kim đồng hồ gặp nhau bao nhiêu lần và vào những thời điểm nào trong ngày?
Giải: 
Nếu tính từ 0 giờ là lúc hai kim chập nhau và hai kim cùng chỉ vào số 12 nên sau 1 giờ thì hai kim lại chập nhau ( xem bài trên )
Một ngày có 24 giờ nên số lần hai kim chập nhau là :
 24 : 1 giờ = 22 (lần); Vào các thời điểm:
 Lần thứ nhất vào lúc : 1 giờ .
 Lần thứ hai vào lúc : 1 + 1 = 2 ( giờ )
 Lần thứ ba vào lúc : 2 + 1 = 3 ( giờ )
 .
 Lần thứ 21 vào lúc : 21 + 1 = 22 ( giờ )
 Lần thứ 22 vào lúc : 22 + 1 = 24 ( giờ )
 Đến đây học sinh đã có thể dễ dàng tìm được đáp số của bài toán “Hoa học 
bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong thời gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?”
Ví dụ 2 : Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36km/giờ. Đến 11 giờ 7 phút một ô tô cũng từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54 km/ giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ ? 
 ( SGK Toán 5 – Trang 146 )
Bài giải
Quy ước
Nhận xét
- Thời gian xe ô tô đi sau xe máy là : 
11giờ 7 phút – 8 giờ 37 phút = 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ 
- Quảng đường xe máy trước khi xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần xe máy là :
54 – 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi kịp xe đạp là :
 90 : 18 = 5 ( giờ )
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc:
11 giờ 7 phút + 5 giờ = 16 giờ 7 phút 
 Đáp số : 16 giờ 7 phút 
- Quảng đường đi trước .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp nhau.
- Thời điểm đuổi kịp nhau.
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc 
* Dạng toán “Hai hiệu số”
 Chúng tôi tiếp tục quy trình dạy học như bài toán 1.
Bài toán 4: 
 Bây giờ là 2 giờ 43phút (3giờ kém 17 phút). Hỏi lúc nào hai kim đồng hồ sẽ chập nhau?
Phân tích: 
 	ở 3 bài toán trên, thời điểm cho trước là giờ đúng, còn ở bài toán này thời điểm cho trước là giờ kém. Vậy xác định khoảng cách ban đầu của hai kim là bao nhiêu?
 - Lúc 2 giờ 43 phút (3 giờ kém 17 phút) thì kim phút còn cách số 12 (lúc 3 giờ đúng) là 17 phút.
 - Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 nên khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là 5 x 3 = 15 (đoạn thẳng ). 
- Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến lúc 
đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một quảng đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 3 giờ kém 17 phút đến 3 giờ đúng và từ 3 giờ đúng đến lúc kim phút chập khít lên kim giờ. Như vậy thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ sẽ bằng thời gian từ lúc 2 giờ 43 phút (3 giờ kém 17 phút) đến 3 giờ đúng cộng với thời gian mà kim phút đuổi kịp kim giờ bắt đầu từ 3 giờ đúng.
(cách phân tích còn lại giống như bài toán 1)
Ví dụ
Bài toán 1
So sánh
- Thời gian xe ô tô đi sau xe máy là : 
11giờ 7 phút – 8 giờ 37 phút = 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ 
- Quảng đường xe máy trước khi xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần xe máy là :
54 – 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi kịp xe đạp là :
 90 : 18 = 5 ( giờ ) 
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc 
11 giờ 7 phút + 5giờ = 16 giờ 7 phút 
- Thời gian tính từ lúc 2 giờ 43 phút (3 giờ kém 17phút) đến 3giờ là 17phút.
- Lúc 3 giờ đúng thì khoảng cách giữa kim giờ và kim phút là :
5 x 3 = 15 (đoạn thẳng )
- Mỗi giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là :
60 – 5 = 55 ( đoạn thẳng )
- Kể từ lúc 3 giờ thì thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
15 : 55 = (giờ ) hay 16 phút 
- Thời điểm hai kim trùng nhau là: 
3giờ + 16 phút = 3giờ 16 phút 
Quảng đường (khoảng cách) đi trước .
- Hiệu vận tốc 
-Thời gian đuổi kịp nhau .
- Thời điểm gặp nhau (đuổi kịp nhau)
Kết luận 2:
Qua việc đối chiếu cách giải các bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài toán khi bài toán cho trước thời điểm và yêu cầu tìm thời điểm chập (trùng khít) lên nhau bằng cách lấy:
 Thời điểm lúc đầu + Thời gian đuổi kịp nhau (chập nhau )
 * Để xác định thời gian hai kim đuổi kịp nhau đối với bài toán khi thời điểm cho trước là “giờ hơn” hoặc “giờ kém” thì ta đưa về giả thiết: tại thời điểm đó hai kim đang chỉ giờ đúng, để xác định khoảng cách giữa hai kim một cách chính xác rồi sau đó tìm thời gian hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ giờ đúng đó.
* Các bước giải.
Các bước
Nội dung
Diễn giải
Ghi chú
Bước1 
Giả thiết giờ đúng
Thời điểm lúc đầu là a giò hơn (kém) b phút thì ta đưa về a giờ đúng.
Bước 2
Tìm khoảng cách giữa hai kim đồng hồ
Khoảng cách giữa hai kim lúc đó là khoảng cách mà kim phút chỉ số 12 và kim giờ chỉ số a.
Bước 3
 Tìm thời gian để hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ lúc a giờ đúng. 
Khoảng cách giữa hai kim chia cho hiệu vận tốc hai kim.
Bước 4
Tìm thời điểm để hai kim đuổi kịp nhau
Thời điểm a (giờ đúng) cộng với thời gian đuổi kịp nhau
Dạng II: 
 “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” : vuông góc; thẳng hàng với nhau.
Khi hai kim chuyển động trên mặt đồng hồ, giữa hai kim sẽ tạo ra các góc khác nhau. “Khoảng cách đi trước” được tính như thế nào khi giữa kim phút và kim 
giờ tạo ra các góc đó? Thời gian ngắn nhất tại một thời điểm cho trước để đến lúc chúng tạo ra các góc là bao nhiêu? Chúng tôi đã hướng dẫn học sinh giải các bài tập loại này thông qua các trường hợp đặc biệt khi hai kim tạo ra góc vuông, góc bẹt (thẳng hàng) mà các em được học ở chương trình Tiểu học.
 Bài toán 5:
 Bây giờ là 12 giờ trưa. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim sẽ vuông góc với nhau ?
Các bước
Phân tích và giải
Nhận xét quy trình giải
Bước 1
Bước 2
Bước 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ chập khít lên nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ 15 đoạn thẳng.
- Thời gian ngắn nhất để hai kim vuông góc với nhau là :
 15 : ( 60 - 5 ) = (giờ) 
 Đáp số : giờ 
- Chuyển động chập nhau 
0 : ( 60 – 55 ) = 0 ( giờ )
- Chuyển động vuông góc 
15 : ( 60 - 5 ) = (giờ ) 
- Tổng thời gian của hai chuyển động .
 0 + = ( giờ ) 
Bài toán 6: 
Trong một ngày thì có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với nhau ?
Bài giải : 
Các bước
Phân tích và giải
Nhận xét quy trình giải
Bước 1
Bước 2
Bước 3
- Lúc 3 giờ thì hai kim vuông góc với nhau 
(kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 ). Để dễ tính , ta tính 24 giờ từ 3 giờ sáng hôm nay đến 3 giờ sáng hôm sau. 
- Lúc 3 giờ sáng, kim phút ở sau kim giờ 15 đoạn thẳng, sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ. 
- Hai kim muốn vuông góc thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ 15 đoạn thẳng nữa. 
Như vậy, lúc 3 giờ đến khi hai kim vuông góc lần thứ nhất thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là 
 15 + 15 = 30 ( đoạn thẳng )
Vị trí của kim phút lúc đó ở trước kim giờ 15 đoạn thẳng. Nếu kim phút lại đi hơn kim giờ 30 đoạn thẳng nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ 
45 đoạn thẳng (30 + 15 = 45 ) thành ra kim phút lại đi sau kim giờ 15 đoạn thẳng nhỏ (60 - 45 = 15) và hai kim lại vuông góc với nhau.
- Thời gian lần thứ hai (kể từ lần đầu lúc 3 giờ) hai kim vuông góc với nhau là: 
 30 : ( 60 – 5 ) = ( giờ )
- Số lần để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau trong một ngày là :
 24 : = 44 ( lần )
 Đáp số: 44 lần
- Chuyển động chập nhau:
15 : (60 – 5) =(giờ)
- Chuyển động vuông góc .
15: (60 – 5) = (giờ)
- Tổng thời gian của hai chuyển động .
 + = (giờ )
- Số lần để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau trong một ngày là :
 24 : = 44 (lần)
Bài toán 7: Bây giờ là 3 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau là bao nhiêu ?
Giải:
Các bước
Phân tích và giải
Nhận xét quy trình giải
- Bước 1
- Bước 2
- Bước 3
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3. Kim phút cách kim giờ 15 đoạn thẳng. 
 Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với kim giờ ) . 
- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ 30 đoạn thẳng nữa . 
Như vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ số đoạn thẳng là : 
 15 + 30 = 45 ( đoạn thẳng )
- Từ lúc 3 giờ , thời gian ngắn nhất để hai kim thẳng hàng với nhau là :
 45 : ( 60 – 5 ) = (giờ )
 Đáp số : (giờ )
- Chuyển động chập nhau.
15 : ( 60 – 5 ) = (giờ )
- Chuyển động thẳng hàng
30 : (60 – 55 ) = (giờ)
- Tổng thời gian cả hai chuyển động .
 + = ( giờ )
Bài toán 8:
 Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau ?
Giải:
Các bước
Phân tích và giải
Nhận xét quy trình giải
- Bước 1
- Bước 2
- Bước 3
- Ta thấy, lúc 6 giờ sáng hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau. Để dễ tính, ta tính một ngày (24 giờ) bằng cách tính 6 giờ sáng hôm nay đến 6 giờ sáng hôm sau.
Lúc 6 giờ, kim phút cách kim giờ 30 đoạn thẳng. Khi đuổi kịp kim giờ thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ 30 đoạn thẳng . 
- Đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút lại đi hơn kim giờ 30 đoạn thẳng nữa. Như vậy từ lúc 6 giờ (hai kim thẳng hàng lần thứ nhất) đến khi hai kim thẳng 
hàng lần thứ hai thì kim phút đi nhiều hơn kim giờ số đoạn thẳng là :
 30 + 30 = 60 (đoạn thẳng)
Thời gian để hai kim thẳng hàng lần thứ nhất 
đến thẳng hàng lần thứ hai là : 
 60 : ( 60 – 5 ) = (giờ )
Số lần để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau trong một ngày là :
 24 : = 22 ( lần ) 
 Đáp số : 22 lần
- Chuyển động chập nhau.
30 : ( 60 -5 ) = 
( giờ )
- Chuyển động thẳng hàng 
30 : ( 60 – 5 ) = (giờ)
- Tổng thời gian của hai chuyển động .
 + = (giờ )
- Số lần để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau trong một ngày là :
24 : = 22 ( lần )
Kết luận :
 Đối với “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” khi mà hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng chúng tôi đã hướng dẫn học sinh giải theo ba bước cơ bản sau:
Bước 1: Tìm thời gian hai kim gặp nhau ( chập nhau ) . 
Bước 2: Tìm thời gian hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng với nhau khi chúng cùng chung một điểm xuất phát.
Bước 3: Tìm thời gian hoặc thời điểm của hai chuyển động trên.
* Chú ý: Trường hợp khi thời điểm cho trước là “giờ hơn” hoặc “giờ kém” thì ta đưa về giả thiết: tại thời điểm đó hai kim đang chỉ giờ đúng, để xác định khoảng cách giữa hai kim một cách chính xác và sau đó tìm thời gian hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ giờ đúng đó.
Dạng iii:
“Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ”: hai kim đổi chỗ cho nhau 
Bài toán 9: 
Buổi chiều, An ngồi làm một bài văn lúc hơn 3 giờ 20 phút một chút. Khi An làm xong bài văn thì thấy cũng là lúc hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau . Hỏi An làm bài văn đó hết bao nhiêu phút ?
 Phân tích và giải: 
Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một quảng từ vị trí trên số 4 một chút đến vị trí kim giờ lúc bắt đầu làm bài là trên số 3 một chút. Còn kim giờ di chuyển từ vị trí ban đầu (hơn 3 giờ 20 phút một chút) đến vị trí kim phút. Như vậy tổng quảng đường đi của hai kim đồng hồ vừa tròn một vòng đồng hồ nghĩa là bằng 60 đoạn thẳng.
Trong một giờ, kim phút đi được một vòng đồng hồ nên vận tốc của kim phút là 60 đoạn thẳng nhỏ, còn kim giờ đi được từ số này đến số liền sau nên vận tốc kim giờ là 5 đoạn thẳng. Như vậy, tỷ số vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 12 lần (60 : 5 = 12 lần)
Ta có sơ đồ:
Kim giờ 60 đoạn thẳng
Tổng số phần bằng nhau là :
 1 + 12 = 13 (phần )
Quảng đường kim phút đi bằng số đoạn thẳng là:
 60 : 13 x 12 = 55( đoạn thẳng )
Mà kim phút di chuyển được một khoảng nhỏ tức là đi hết 1 phút. Vậy kim phút đã di chuyển chỗ trong 55phút. Tức là An làm bài văn hết 55phút .
 Đáp số : 55phút
Kết luận: 
 Trường hợp bài toán mà hai kim đổi chỗ cho nhau chúng tôi đã hướng dẫn học sinh đưa về dạng “ Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó ”
- Tổng quảng đường đi được của hai kim bằng 60 đoạn thẳng .
- Tỷ số là tỷ số vận tốc di chuyển trên mặt đồng hồ của hai kim bằng 
- Hai số là thời gian chuyển động của hai kim đến khi đổi chỗ cho nhau.
III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .
Với mục đích là nâng cao năng lực giải toán ở tiểu học nói chung và dạng toán chuyển động cùng chiều thuộc “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” nói riêng cho giáo viên và học sinh trong nhà trường. Thực hiện đổi mới phương pháp dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu về môn toán chúng tôi đã thực hiện trên hai đối tượng:
Đối với giáo viên: Nhà trường đã tổ chức chuyên đề bồi dưỡng học sinh 
giỏi cho tất cả giáo viên trực tiếp đứng lớp. Sau khi giáo viên được bồi dưỡng về kiến thức và phương pháp , chúng tôi tổ chức các tiết dạy thể nghiệm trên đối tượng là học sinh lớp 5 và tổ chức hội thảo rút kinh nghiệm. Qua hội thảo, năng lực, khả năng của giáo viên được nâng lên. Đa số giáo viên đã biết và có thể phát huy được khả năng của mình trong việc đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh năng khiếu về môn toán. Các tổ chuyên môn đã đề xuất cách dạy “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” được xây dựng trên nền của kiến thức “ Tìm một phần mấy của một số ” đã học ở lớp 3 để dạy ở lớp 4 và lớp 5 .Khai thác các bài toán về tỷ số phần trăm trong SGK toán 5 để dạy các bài toán tỷ số phần trăm trong chương trình kiến thức nâng cao vv ... Việc dạy – học môn Toán trong trường ngày càng có chiều sâu và tính hiệu quả.
Đối với học sinh: 
Với phương pháp dạy học xây dựng trên nền kiến thức cũ trong các buổi học 
BDHSG, các em học sinh lớp 5 được học kiến nâng cao trở nên nhẹ nhàng hơn, dễ tiếp thu hơn từ đó tạo được động lực học tập các môn học nói chung và môn Toán nói riêng. 
Giờ