Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy về "dấu hiệu chia hết" trong dạy Toán THCS

 A - Phần mở đầu
I – Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học :
- Các bài toán về hàm số có vai trò quan trọng trong chương trình toán ở THCS nhất là ở phần tính chất của hàm số.
- Khi giải các bài toán về dấu hiệu chia hết học sinh phải biết vận dụng các kiến thức cơ bản về tính chất chia hết, phải biết vận dụng các kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
- Bài toán về “Dấu hiệu chia hết” rèn tư duy phân tích tổng hợp. Đòi hỏi học sinh biết vận dụng các kiến thức về tính chất chia hết, luỹ thừa, phép chia còn dư, kể cả một số hằng đẳng thức cơ bản, số nguyên tố
- Giải bài toán về dấu hiệu chia hết giúp học sinh có trí tưởng tượng phong phú, phát huy tính tích cực, chủ động trong tư duy, giáo dục tư tưởng, khả năng vận dụng vào thực tiễn, mong muốn đạt hiệu quả cao.
2- Cơ sở thực tiễn :
- Bài toán về “Dấu hiệu chia hết” có mặt ở phần số học trong chương trình toán THCS, ở các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT.
- Giáo viên giảng dạy trên lớp chủ yếu tập trung vào các dấu hiệu chia hết cơ bản như : chia hết cho 2; 3; 5; 9 mà chưa tập chung vào các dấu hiệu chia hết khác. Vì vậy việc bồi dưỡng và tuyển chọn học sing khá giỏi còn gặp khó khăn.
- Tài liệu dùng cho giáo viên và học sinh còn ít, dẫn đến việc lựa chọn bài tập và giải các bài tập còn nhiều hạn chế.
- Hiểu biết, nhận thức của học sinh về dạng toán này nhìn chung còn hạn chế, tư tưởng học sinh còn “Sợ” khi gặp dạng toán này. Bởi những lý do trên việc nghiên cứu các dấu hiệu chia hết còn là một việc làm cần thiết, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
II- mục đích và nhiệm vụ :
1- Mục đích :
- Nghiên cứu các dấu hiệu chia hết gồm các dấu hiệu chia hết có cơ sở lý luận, các bài tập áp dụng minh hoạ và bài tập tương tự nhằm củng cố lý thuyết, rèn luyện kĩ năng vận dụng.
- Tìm hiểu các bài tập về dấu hiệu chia hết trong các đề thi tuyển sinh, các loại sách tham khảo để từ đó rút ra phương pháp giải và áp dụng thực tiễn. 
2- Nhiệm vụ :
- Thông qua việc nghiên cứu các dấu hiệu chia hết nhằm sưu tầm tài liệu cho giáo viên- Góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Thông qua hệ thống lý thuyết – Hệ thống bài tập giúp cho giáo viên định hướng xác định trọng tâm trong việc bồi dưỡng của mình, giúp học sinh có cách học, phương pháp học tập đúng đắn.
- Thông qua chuyên đề này giúp học sinh phần nào hiểu được các dấu hiệu chia hết, biết vận dụng để giải bài tập. Góp phần nâng cao chất lượng học tập, chất lượng thi học sinh giỏi và chất lượng thi vào trường chuyên lớp chọn đạt kết quả tốt hơn.
Iii- phương pháp nghiên cứu :
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh.
- Phương pháp nghiên cứu qua các tài liệu tham khảo.
iv – Kết cấu của chuyên đề :
A- Phần mở đầu
Trang : 1
B- Nội dung các dấu hiệu, ví dụ minh hoạ
 Trang : 4
C- Bài tập áp dụng
 Trang : 14
D- Hướng dẫn lời giảng
E- Kết luận
F- Tài liệu tham khảo
v- phạm vi sử dụng :
- Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng học sinh thi vào các trường chuyên, lớp chọn.
- Dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên dạy toán ở trường THCS.
- Dùng cho học sinh THCS học tập, ôn thi.
b - nội dung
i- dấu hiệu chia hết cho 2 :
1- Lý thuyết
	Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số ấy có chữ số tận cùng là chữ số 0; 2; 4; 6; 8.
Tổng quát : N = anan-1 a1ao 2 ao 2 ao thuộc 
2- Ví dụ :
a- Ví dụ 1: Chứng minh rằng 3 số tự nhiên bất kỳ, có ít nhất 2 số mà hiệu chia hết cho 2 .
Lời giải :
	+ Cách 1 : Xem 3 số bất kỳ là a, b, c và giả sử a > b > c :
	- Nếu cả 3 số a, b, c đều chẵn hoặc đều lẻ
	=> a – b; b – c ; c – a đều chia hết cho 2.
	- Nếu có 2 số chẵn, giả sử là a, b = > a – b 2.
	- Nếu có 2 số lẻ, giả sử b và c => b – c 2.
	Vậy trong 3 số tự nhiên a, b, c luôn có ít nhất 2 số mà hiệu chia hết cho 2.
	+ Cách 2 : Ta chia 3 số tự nhiên a, b, c cho 2 . Số dư của phép chia có thể là 0 hoặc 1. Có 3 phép chia mà chỉ có 2 số dư do đó có ít nhất 2 số chia cho 2 có cùng số dư. Hiệu của 2 số đó chia hết cho 2.
b- Ví dụ 2 : Chứng minh rằng nếu a và b là 2 số lẻ thì a3 – b3 chia hết cho 2n khi và chỉ khi a – b chia hết cho 2n.
Lời giải :
	Ta có : a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
	- Nếu a – b 2n thì (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 2n.
	- Đảo lại : Nếu a – b là 2 số lẻ thì a2 + ab + b2 là số lẻ do đó a2 + ab + b2 và 2n nguyên tố cùng nhau.
	Như vậy nếu (a - b)(a2 + ab + b2) 2n thì (a - b) 2n .
II- dấu hiệu chia hết cho 3
1- Lý thuyết :
	Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 .
Tổng quát : N = anan-1 a1ao 3 an + an-1 +  + a1 + ao 3 .
2- Ví dụ :
a- Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên bất kỳ có ít nhất 2 số mà tổng hoặc hiệu chia hết cho 3 .
Lời giải :
	 Xem 3 số tự nhiên bất kỳ a, b, c ; giả sử a > b > c .
Ta đem chia các số đó cho 3. Có thể có 3 khả năng sau : 
	+ Cả 3 số đều chia hết cho 3 .
	Khi đó a + b; a – b; a + c; a – c; b + c; b – c đều chia hết cho 3 .
	+ Có 2 số chia hết cho 3. Giả sử 2 số đó là a và b.
	Ta có a + b và a – b đều chia hết cho 3.
	+ Có một số chia hết cho 3 giả sử số đó là a => b và c không chia hết cho 3 :
	- Nếu b và c chia cho 3 có cùng số dư thì b – c 3.
	- Nếu b và c chia cho 3 không có cùng số dư thì b + c 3.
	Vậy trong 3 số tự nhiên bất kỳ có ít nhất 2 số mà tổng hoặc hiệu chia hết cho 3.
b) Ví dụ 2 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng bằng chữ số 6 và chia hết cho 3 .
Lời giải :
	Các số có 5 chữ số tận cùng bằng chữ số 6 khi và chỉ khi số gồm 4 chữ số còn lại chia hết cho 3. Các số gồm 4 chữ số bao gồm từ 1000 đến 9999 có tất cả là : 9999 – 999 = 9000 (số).
	Trong đó cứ 3 số liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 3. Do đó số các số có 4 chữ số chia hết cho 3 là 9000 : 3 = 3000 (số). Số đó cũng chính là số các chữ số có 5 chữ số tận cùng bằng 6 và chia hết cho 3.
iii- dấu hiệu chia hết cho 4
1- Lý thuyết :
	Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4.
Tổng quát : N = anan-1 a1ao 4 a1ao 4
2- Ví dụ :
a- Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số là bội của 4
Lời giải :
	Ta biểu diễn 2 số chẵn liên tiếp là 2n và 2n + 2 (nN) có khả năng n hoặc chẵn hoặc lẻ.
	+ Nếu n chẵn thì n = 2k (kN) => 2n = 2.2k = 4k => 2n 4
	2n + 2 = 4k + 2 và 2<4 nên 2k + 2 không phải là bội của 4
	+ Nếu n lẻ thì n = 2k + 1 (kN)
	=> 2n = 2(2k + 1) = 4k + 2 => 2n = 2 không phải là bội của 4
	2n + 2 = 2(2k +1) + 2 = 4k + 4 = 4(k + 1) => 2n = 2 là bội của 4
	Vậy một trong 2 số chẵn liên tiếp là bội của 4.
b- Ví dụ 2: Cho n số a1; a2;; an-1; an trong mỗi số nhận giá trị –1 hoặc 1 và a1a2 + a2a3 + + ana1 = 0 . Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
Lời giải :
	Vì mỗi số a1; a2;; an-1; an nhận giá trị –1 hoặc 1. Theo giả thiết thì 
a1a2 + a2a3 + + ana1 = 0 nên số các số hạng ở vế trái nhận giá trị 1 và số các số hạng nhận giá trị –1 là bằng nhau suy n là số chẵn .
	Ta lại có a1a2 . a2a3  ana1 = (a1a2a3  an)2 = 1 do đó các số hạng nhận giá trị –1 là số chẵn. Đặt số số hạng ấy là m = 2k như vậy n = 2m = 4k chia hết cho 4.
IV- Dấu hiệu chia hết cho 5
1- Lý thuyết :
	Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số ấy có chữ số tận cùng là 0 hoặc5
Tổng quát : N = anan-1 a1ao 5 ao 5 ao = .
2- Ví dụ : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thoả mãn đẳng thức 
a2 + b2jhjj = c2 thì một trong các số a,b,c chia hết cho 5.
Lời giải : 
	Một số không chia hết cho 5 thì số đoa có thể biểu diễn dưới dạng 
5k 1 hoặc 5k 2 .
	Vì (5k1)2 = 25k2 10k + 1 và (5k2)2 = 25k2 20k + 4.
	Như vậy bình phương của 1 số không chia hết cho 5, khi chia cho 5 sẽ có số dư là 1 hoặc 4.
	Nếu cả a và b không chia hết cho 5 thì khi chia a2 + b2 cho 5 sẽ được các số dư là 1 + 1 = 2; (1 + 4) – 5 = 0; (4 + 4) – 5 = 3.
	Mặt khác khi chia 	c2 cho 5 sẽ có các số dư 1; 0; 4. Như vậy nếu có 
a2 + b2jhjj = c2 thì số dư khi chia c2 cho 5 là 0 nghĩa là c2 chia hết cho 5 hay c chia hết cho 5.
v- dấu hiệu chia hết cho 6
1- Lý thuyết :
	Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.
Tổng quát : N = anan-1 a1ao 6 
2- Ví dụ : 
a- Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
Lời giải : 
	Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số tự nhiên chia hết cho 2, một số chia hết cho 3. Vậy tích n( n+1 )( n+2 ) chia hết cho 2.3 = 6.
b- Ví dụ 2: Tổng của 2 số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của 2 số đó cũng chia hết cho 6.
Lời giải :
	Nếu a3 + b3 6 => a3 + b3 là số chẵn => a,b cùng tính chẵn, lẻ => a + b là số chẵn => a + b 2.
	Vì a3 + b3 6 nên a3+ b3 chia hết cho 2 và cho 3. Vậy a3 + b3 + 3ab(a+ b)
chia hết cho 3 hay (a3+ b3) chia hết cho 3 => a + b 3.
	Đảo lại : Nếu a + b 6 thì (a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 6
Iv- dấu hiệu chia hết cho 7 :
1- Lý thuyết :
Cho số N = an.10n + an-1.10n-1++a1.10 + a0.
Gọi . Số N 7 2a0 – A 7 (A < 2a0) 
hoặc A - 2a0 7 (2a0 < A)
Chứng minh :
	Ta có N = an.10n + an-1.10n-1++a1.10 + a0
= 10(an.10n-1 + an-1.10n-2 ++ a1)
= 10.A + a0	()
= A(7 + 3) + 7a0 – 6a0
= 7(A + a0) + 3(A – 2a0).
- Nếu A < 2a0 thì N = 7(A + a0) - 3(2a0 – A)
Lúc đó 2a0 – A chia hết cho 7 khi và chỉ khi N 7
- Nếu A > 2a0 thì N = 7(A + a0) + 3(A – 2a0)
Lúc đó A – 2a0 7 N 7
2- Ví dụ :
a- Ví dụ 1: 749 7 vì và A – 2a0 = 74 – 2.9 = 56 7.
b- Ví dụ 2 : Chứng minh rằng trong 7 số sau : n; n + 30; n + 2.30; n +3.30; 
n + 4.30; n + 5.30; n + 6.30 có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 7.
Lời giải :
Hiệu của 2 số trong 7 số đã cho có dạng : 
	R = (n + k.30) – (n + m.30) = (k - m).30 với m,k nguyên 
	Và ; (k m).
	Từ đó suy ra và k – m 0.
Số (k - m).30 7 tức là k = m. Do đó một số hạng n + k.30 với k = 0;1;;6 khi chia hết cho 7 có số dư khác số dư của 1 số khác có dạng đó chia cho 7 có số dư bằng 0. Tức là có 1 và chỉ 1 trong 7 số đã cho chia hết cho 7.
Vii- dấu hiệu chia hết cho 8 :
1- Lí thuyết :
	Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có 3 chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8.
Tổng quát : N = anan-1a1a0 8 a2a1a0 8
Chứng minh : 
	Ta có : N = an.10n + an-1.10n-1++ a1.10 + a0 
	 = 1000.A + B
	Trong đó A = an.10n-3 + an-1.10n-4 + + a3
	 B = 100.a2 + 10.a1 +a0
	Vì 1000 8 nên 1000.A 8 => N 8 B = a2a1a0 8
2- Ví dụ :
a- Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .
Lời giải : 
	Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n và 2n + 2
	Tích của chúng là : 2n(2n+2) = 4n(n + 1)
	Trong 2 số n; n + 1 có 1 số chia hết cho 2 
	Do đó 4n(n + 1) 8
b- Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì 
	An = 5n + 2.3n-1 + 1 chia hết cho 8
Lời giải :
	Nếu n = 1 thì A1 = 5 + 2 +1 = 8 8
	=> Mệnh đề đúng với với n = 1
	Giả sử mệnh đề đúng với n =k tức là 
	Ak = 5k + 2.3k-1 + 1 chia hết cho 8.
 Xét Ak+1 = 5k+1 + 2.3k + 1 = 5.5k + 6.3k-1 + 1
Ta có : Ak+1 - Ak = 4(5k + 3k -1) là số chẵn => 4(5k +3k-1) 8.
Như vậy Ak +1 là tổng của 2 số chia hết cho 8 nên Ak +1 8.
viii- dấu hiệu chia hết cho 9
1- Lí thuyết :
Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Tổng quát : N = anan-1a1a0 9 an + an-1 +  + a1 + a0 9
2- Ví dụ : 
a- Ví dụ 1 : Xem số X = aaa gồm n chữ số a ( nN và n) ; a 0. Tìm điều kiện để số X chia hết cho 9.
Lời giải : 
	Tổng các chữ số của X là : a + a +  + a = n.a
 n số a
	Vậy để X 9 hoặc n 9 hoặc a 9
b- Ví dụ 2 : Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để a2 + ab + b2 chia hết cho 9 là a và b đều chia hết cho 3.
Lời giải : 
	+ Đủ : Nếu => 
=> a2 + ab + b2 = (3k1)2 + 3k1.3k2 + (3k2)2 = 9(k12 + k1.k2 + k22)
Điều này chứng tỏ a2 + ab + b2 9
+ Cần :	Giả sử a2 + ab + b2 9 ta có 
a2 + ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 3ab = (a - b)2 + 3ab 
Vì a2 + ab + b2 9 nên a2 + ab + b2 3 và 3ab 3
(a - b)2 chia hết cho 3. Ta suy ra (a - b)2 chia hết cho 9 (= 32) 
Từ đó 3ab chia hết cho 9. Vậy hoặc a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3 hoặc a và b cùng chia hết cho 3.
Ix- dấu hiệu chia hết cho 10
1- Lí thuyết :
	 Một số chia hết cho 10 thì có chữ số tận cùng là 0 và đảo lại .
Tổng quát : 	N = anan-1a0 10 a0 = 0.
2- Ví dụ :
	Chứng minh rằng : chia hết cho 10.
Lời giải :
Cách 1 : Đặt (77)7 = a như vậy 
	Bài toán đưa về việc chứng minh a49 – a 10.
	Ta có : a49 – a = a(a48 - 1) = a.(a4- 1)[(a4)11 +  + 1] = a(a4 - 1).N
	Ta thấy a(a4 - 1) là số chẵn nên chia hết cho 2 
	Hơn nữa (a4 - 1) chia hết cho 5 (vì a4 tận cùng là chữ số 1)
	Mà (2; 5) = 1 nên bài toán được chứng minh.
Cách 2 : Bài toán chứng minh xong nếu ta chỉ ra được và có chữ số tận cùng giống nhau.
	Thật vậy : Xét chữ số tận cùng của các luỹ thừa 7 : 71; 72; 77. Chữ số tận cùng tương ứng là 7; 9 ; 3; 1; 7; 9; 3.
	Xét chữ số tận cùng của các luỹ thừa 3 : 31; 32; 37. Chữ số tận cùng tương ứng là 3; 9 ; 7; 1; 3; 9; 7. 
Vậy số có chữ số tận cùng là 7 và có chữ số tận cùng là 7.
= > Điều phải chứng minh.
X- dấu hiệu chia hết cho 11
1- Lí thuyết :
	Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó “đứng ở vị trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng ở vị trí chẵn” (Kể từ phải sang trái ) chia hết cho 11.
Tổng quát : N = anan-1a1a0
	+ Nếu n chẵn thì an là số hạng thứ (n + 1) lẻ 
	=> N 11 (a1 + a3 +  + an-1) - (a0 + a2 +  + an) 11 .
+ Nếu n lẻ thì an là số hạng thứ (n + 1) chẵn 
N 11 (a1 + a3 +  + an-1) - (a0 + a2 +  + an) 11 .
2- Ví dụ :
Chứng minh rằng abcabc 11
Lời giải :
	abcabc = 1000abc + abc = 1001abc 11
	b- Tìm số N = abcd biết : abcd 11; a = b + c và bc là số chính phương.
Lời giải :
	Vì bc là số chính phương nên chữ số tận cùng của c chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9. Mặt khác abcd 11 nên a + c – b – d nhận các giá trị 0; 11
	Ta xét các trường hợp sau :
	+ Nếu a + c – b – d = 0 => => 2c = d
	Nếu c = 0 thì d = 0 ; c = 1 thì d = 2 ; c = 4 thì d = 8 
	Thay trực tiếp ta có : 9812 ; 1012 hoặc 4048 
	+ Nếu a + c – b – d = 11 ta có => 2c – d =11
	=> c > 5 và d lẻ 
	Nếu c = 6 => d = 1 
	c = 9 => d = 7 
	Ta có các số : 7161; 9361; 9097.
	+ Nếu a + c – b – d = - 11 => 
	=> d – 2c = 11. Vì d hệ này vô nghiệm
	Vậy có 6 số phải tìm : 9812 ; 9361; 9097; 7161; 4048; 1012.
c- bài tập áp dụng
Tìm tất cả các số dạng 6a1bc , biết số đó chia hết cho 3, cho 4 và cho 5 .
Chứng minh rằng số 4343 – 1717 chia hết cho 5 .
Chứng minh rằng số là số tự nhiên .
Chứng minh rằng số :
102005 + 2 chia hết cho 3.
(72004)2005 – (324)2005 chia hết cho 10.
Cho số A = 44444 (2005 chữ số 4).
Số A có chia hết cho 8 không ?
Số A có chia hết cho 6 không ?
Chứng minh rằng A = 3538 + 4133 chia hết cho 77.
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 biết a,b,c là các số nguyên và 
a + b + c chia hết cho 6.
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng trong hai số :
a = 22n+1 + 2n+1 + 1
b = 22n+1 – 2n+1 + 1
Có một số không chia hết cho 5.
Chứng minh rằng : 222333 + 333222 chia hết cho 13.
Chứng minh rằng : 
Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81.
Số gồm 27 nhóm chữ số 10 thì chia hết cho 27.
11) Xem số Y = aaa gồm n chữ số a, n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 (a0).
	Tìm điều kiện của a và n để Y chia hết cho 8 hoặc 125.
12) Chứng minh rằng các số n3 + 3n2 – n – 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ .
13) Tìm chữ số a biết rằng 20a20a20a chia hết cho 7.
14) Cho A = 2 + 22 + 23 ++ 22004.
	Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 7 và 15.
15) Cho B = 3 + 33 + 35 + + 31991
	Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41.
16) Chứng minh rằng số .
	Luôn luôn là một số tự nhiên với mọi x N.
17) Chứng minh rằng A = n5 – n 30 với mọi số nguyên dương x .
18) Chứng minh rằng một có dạng n4 – 4n3 – 4n2 + 16n (n chẵn , n > 4) thì chia hết cho 384.
19) Chứng minh : 0,3.(20032003 – 19971997) là một số nguyên.
20) Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên để 4n2 + 1 chia hết cho 5 và chia hết cho 13.
D- Hướng dẫn lời giải
Bài 1 :
 - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4, cho 5 để chỉ ra c chẵn, c = 0 hoặc c = 5 
=> bc = 00; 20 ; 40; 60 hoặc 80.
 - Sử dụng dấu hiệu cho 3 => 7 +(b + c) + a 3
 - Xét các trường hợp của bc ta tìm ra 17 số phải tìm : 62100; 65100; 68100;60120;63120;66120;69120;61140;64140;67140;62160;65160;68160;
60180;63180;66180;69180.
Bài 2 : Chỉ ra 4343 = 4340.433 = (434)10 -> tận cùng là chữ số 7
	1717 = 1716.17 = (174)4.17 -> tận cùng là chữ số 7.
2004 số 0
2005 số 0
Bài 3 : Chỉ ra : 102005 + 8 = 1000 + 8 = 10008 rồi tính tổng các chữ số của số đó.
Bài 4 : 
Xét tổng các chữ số của số đó.
Số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là 1.
Bài 5 : 	a) Xét 444 8 => A 8.
Viết số A = 4.2005 = 8020 3 = > A 6.
Bài 6 : Chứng minh A 7 ; A 11 => A 77.
	A = 3638 + 4133 = (3638 – 138) + (4133 +133)
	 = (36 - 1)(3637 + 3636++1) + (41 + 1)(4132- 4131+ - 41 +1) 	 = 5.7.B + 6.7.C 7
	A = 3638 +4133 = (3638 – 338) + (4133 + 333) + (338 - 333)
	 = (36 –3).M + (41 + 3).N + 333.(35 - 1) 
 = 3.11.M + 4.11.N + 333.11.22 11
Bài 7 : Xét dấu hiệu 
	a3 +b3	+ c3 – (a + b +c) = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (c - 1)c(c + 1)
	Sau đó sử dụng tính chất chia hết của một tổng.
Bài 8 : Xét dấu hiệu a – b = 2n + 2 5 => điều phải chứng minh
Bài 9 : 222333 +333222 = 111333.2333 + 111222.3222
	 = 111222.[(111.23)111 + (32)111]
 	 = 111222.[888111 + 9111]
	Xét số 888111 + 9111
 Trên đây là một vài ý kiến của bản thân tôi về phương pháp giảng dạy về "dấu hiệu chia hết " trong dạy toán đã được áp dụng và giảng dạy ở trường có hiệu quả . Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng chí và đồng nghiệp 
	 Ninh Khang, ngày 10 tháng 5 năm 2009 
 Người viết 
 	 Trần Quyết Thắng