Sáng kiến kinh nghiệm Hình thành kỹ năng giải toán trên máy tính điện tử Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS đối với dạng toán duy số

A- Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu những kiến thức đó. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi người giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu sử dụng đồ dùng dạy học để đáp ứng nhu cầu dạy học hiện nay. Người giáo viên cần phải khai thác và sử dụng đồ dùng một cách triệt để và có hiệu quả cao nhất. Đối với môn toán học thì đồ dùng dạy học không phải là nhiều, nhưng để sử dụng thành thạo được thì thật là khó. Máy tính điện tử là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc giải toán. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán được nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian, nó giúp giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần phát triển tư duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử thì việc giải gặp rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải được, hoặc không đủ thời gian để giải.
Thi giải toán trên máy tính đã được tổ chức từ lâu, nhưng đối với các trường trong huyện thì cuộc thi này mới được tổ chức hai năm gần đây, nó còn mới mẻ nên giáo viên còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Chính vì vậy mà nhiều giáo viên còn ngại khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và khó tìm kiếm. Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích tìm hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên trên máy tính điện tử. Còn về phía giáo viên lại không được đào tạo cơ bản về nội dung này. Hầu hết giáo viên tự tìm hiểu, tự nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử nên gặp rất nhiều khó khăn trong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Chính vì vậy tôi đã chọn kinh nghiệm "Hình thành kỹ năng giải toán trên máy tính điện tử Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS đối với dạng toán dãy số" để viết. Các dạng bài tập áp dụng máy tính điện tử để giải thì rất nhiều, trong kinh nghiệm này tôi chỉ chọn một mảng nhỏ đó là dạng toán về dãy số để trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. Rất mong được các bạn đồng nghiệp trao đổi, đóng góp ý kiến để kinh nghiệm này hoàn thiện hơn và được áp dụng rộng rãi hơn. 
 Tôi xin chân thành cám ơn!
B - Nội dung chính
 Máy tính Casio fx - 570 MS
 Máy tính Casio fx - 570 MS
I - Một số kiến thức về máy tính điện tử
Để đọc và hiểu kinh nghiệm này đối với giáo viên phải biết sử dụng tương đối thành thạo máy tính Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS. Giáo viên có thể tìm hiểu chức năng của các phím trong sách hướng dẫn đi kèm máy tính khi mua. Sau đây là một số phím chức năng mà tôi sử dụng trong kinh nghiệm này:
- Mỗi một phím có một số chức năng. Muốn lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn phím rồi ấn phím đó. Muốn lấy chức năng của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím trước khi ấn phím đó.
- Các phím nhớ: (chữ màu đỏ)
- Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ đã nêu ở trên ta ấn như sau:
Ví dụ: Gán số 5 vào phím nhớ :
Bấm 
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số nhớ cũ trong phím đó bị mất đi và số nhớ mới được thay thế. 
Chẳng hạn ấn tiếp: thì số nhớ cũ là 5 trong bị đẩy ra, số nhớ trong lúc này là 14.
- Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím 
Ví dụ: (nhớ số 34 vào phím 
 Bấm (nhớ số 24 vào phím 
 Bấm tiếp: (Máy lấy 34 trong cộng với 24 trong được kết quả là 58).
- Phím lặp lại một quy trình nào đó: 
 đối với máy tính Casio fx - 500 MS
 đối với máy tính Casio fx - 570 MS.
- Ô nhớ tạm thời: 
 Ví dụ: Bấm 8 thì số 8 được gán vào trong ô nhớ. Bấm tiếp: 5 (kết quả là 38)
Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong 
II - Một số dạng dãy số và ví dụ
1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3)
Ta có công thức tổng quát:
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS. 
 Bấm 1 
 Và lặp lại dãy phím:
 Bằng phím 
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21... 
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: Bấm 1 
 Và lặp lại dãy phím:
 Bằng phím 
Giải thích:
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2=1 với u1=1 được u3= 2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21... 
Quy trình 2: Bấm 1 
 Lặp lại phím 
Giải thích:
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào .
Khi bấm lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím .
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi un trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các un tương ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím chỉ cần thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng.
2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u1 = a; u2 = b; un+1= un + un-1 với mọi n ³ 2 a và b là hai số nào đó.
Quy trình 1: 
Bấm b .
 và lặp lại dẫy phím
 . 
 Bằng phím .
Giải thích 
Bấm b nghĩa là đưa u2 = b vào .
Bấm nghĩa là cộng u2 =b với u1 =a được u3=a + b và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= a + b với u2 = b được u4 = u3 + u2 = a + 2b và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = a + 2b với u3 = a + b trong được u5 = u4 + u3 = 2a + 3b và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6; u7; u8 ... 
Quy trình 2: : Bấm b 
 Lặp lại phím 
Giải thích:
Khi bấm b đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào .
Khi bấm lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím . 
Ví dụ 1:
Cho dãy số u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4).
1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n ³ 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13
Sử dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n ³ 2 như sau:
 13 (gán u2 = 13 vào )
 (gán u3 = 21 vào )
 (gán u4 = 34 vào )
 (gán u5 = 55 vào )
 Lặp lại phím 
Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím 8 lần được số 2584 nghĩa là u13 = 2584.
Sau khi tính được u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím được số 17711 nghĩa là 
u17 =17711.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
 13 (gán u2 = 13 vào )
 (gán u3 = 21 vào )
 (gán u4 = 34 vào )
 (gán u5 = 55 vào )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ta được các un tương ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4..)
a) Lập một quy trình bấm phím để tính un+1.
b) Tính u12; u20; u25, u30.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số: .
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
 233 (gán u2 = 233 vào )
 (gán u3 = 377 vào )
 (gán u4 = 610 vào )
 (gán u5 = 987 vào )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ta được các un tương ứng.
Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím được u12=28657
Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím nữa được u20= 1346269
Để tính tiếp u25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím nữa được u25= 14930352
Để tính tiếp u30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím nữa được u30= 165580141.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
 233 (gán u2 = 233 vào )
 (gán u3 = 377 vào )
 (gán u4 = 610 vào )
 (gán u5 = 987 vào )
 Lặp lại phím 
Lặp lại phím ta tính tiếp được u6= 1597; u7 = ; 2584....
Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:
Lặp lại dãy phím 
Giải thích: Bấm đưa b = u2 vào ô nhớ , tính u3 = au2 + bu1 và gán u3 vào ô nhớ .
Dãy phím tính u4 = au3 + bu2 và gán u3 vào ô nhớ , còn trong ô nhớ là u3. thực hiện ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ . 
Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của un+1=aun + bun-1
+ Quy trình 2: 
 Lặp lại phím 
Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím để lặp lại quy trình.
Ví dụ 1: Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, .)
a) Tính u3 , u4 , u5 , u6 , u7.
b) Viết quy trình bấm phím để tính un.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:
 (gán u3 = 80 vào )
 (gán u4 = 560 vào ) 
 (gán u5 = 2720 vào )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ta tính được u6 = 16640, u7 = 87680 ...
 Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:
 (gán u3 = 80 vào )
 (gán u4 = 560 vào ) 
 (gán u5 = 2720 vào )
 Lặp lại phím 
Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím . 
Ví dụ 2: Cho dãy số 
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un.
c) Lập một quy trình để tính un?
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
 (u1= 1)
Sử dụng phím để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ... ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy. 
 b) Đặt ta có a+ b = 4 và ab = 1
=4un-1 - un-2
Vậy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un
c) Lập quy trình tính un.
Có u1 = 1, u2 = 4
 (gán u2 = 4 vào )
 4 (tính và gán u3 = 15 vào )
 (gán u4 = 56 vào ) 
 (gán u5 = 209 vào )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ta tính được u6 = 780, u7 = 2911 ...
Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các un tương ứng.
u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864.
c) Lập quy trình tính un.
 (gán u2 = 4 vào )
 4 (tính và gán u3 = 15 vào )
 (gán u4 = 56 vào ) 
 (gán u5 = 209 vào )
 Lặp lại phím 
Tìm được các un tương ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5,..)
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:
Lặp lại dãy phím 
Bằng cách bấm tiếp: và bấm liên tiếp phím 
Giải thích: 
Bấm: nghĩa là gán u1 = 1 vào , gán u3 = 2 vào. 
Bấm: tính u4 và gán vào 
 tính u5 và gán vào 
 tính u6 và gán vào 
 tính u7 và gán vào 
Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, ...
5. Dãy phi tuyến dạng: u1 =a, u2 = b, un+1 =
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
 Bấm: 
 Lặp lại dãy: 
Bằng cách phím và bấm liên tiếp phím 
- Giải thích:
Bấm gán u2= b vào 
 tính u3 = b2 + a2 và gán vào 
Lặp lại dãy: tính u4 = và gán vào 
 tính và gán vào 
6. Một số dãy số khác
Bài 1: Cho dãy số 
a) Lập quy trình bấm phím tính an+1
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS
a) Bấm 3
Lặp lại phím ta được : 
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424....
Giải thích: 
 Bấm 3 gán a1 = 3 vào ô nhớ 
 Bấm tính a2
 Bấm gán u2 vào ô nhớ 
(Mỗi lần bấm phím thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ )
Bài 2:Cho dãy số
a) Hãy tính xn với n = 1, 2,..., 15 với x0 = 1; x0 = 3
b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x0 cho trước bất kỳ, tức là tồn tại mọt số N nguyên dương sao cho với mọi x0 dãy {xn} xác định như trên ta có:
xn+N =xn với mọi n= 1, 2, 3, ... 
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1 
Bấm: 1
Khai báo công thức 	
Bấm tiếp: (1)
Liên tiếp bấm phím được xn.
Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 Bấm 3 
Dùng phím để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím được x'n
x1= 0,267949192 	 x'1= 0,886751345
x2= - 0,267949192 x'2= 0,204634926
x3= - 1 x'3= - 0,333333333
x4= - 3,732050808 x'4= - 1,127711849
x5= 3,732050808 x'5= - 4,886751346
x6= 1 x'6= 3
x7= 0,267949192 x'7= 0,886751345
x1= - 0,267949192 x'8= 0,204634926
 . . . . . . . . . . . 
Tính theo công thức truy hồi ta được:
Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6
III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải
Bài 1: Biết dãy só {an} xác định như sau: a1 = 1; a2 = 2; an+2 =3an+1 +2an với mọi n nguyên dương.
Tính a15.
Bài 2: Cho dãy số u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 2003un + 2004un-1 ( n = 2, 3, 4, ...)
a) Tính u4, u5, u6.
b) Lập quy trình tính un+1 . 
 Cho dãy số un=(3 + )n +(3 - )n (n = 0, 1, 2,)
Lập công thức tính un+2 theo un và un+1
Lập quy trình tính un, n=5,,10
Kết quả : u2 = 32; u3 = 180; u4 = 1016; u5 = 5736; u6 = 32384; u7 = 182832; 
u8 = 1032224; u9 = 5827680; u10 = 32901632; 
Bài tập 3: Cho dãy số
a) Tính các giá trị u1, u2; u3, u4.
b) Xác định công thức truy hồi tính un+2 theo un+ 1 và un.
c) Lập quy trình tiên tục tính un+2 theo un+ 1 và un rồi tính u5, u6,... u16.
Bài 4: Cho dãy số {un} xác định bởi:
u1 = 1; u2 = 3; un =3un-1 khi n chẵn và un =4un-1 + 2un-2 khi n lẻ.
a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính un
b) Tính u10, u11, u12, u14, u15.
Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
Lặp lại dãy phím nhờ
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
Kết quả: u10 = 115548; u11 = 537824; u12 = 1613472; u13 = 7529536; u14 = 22588608 ; u15 = 105413504.
 Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau: 
S1 = 1 + 2; S2 = (1 + 2) + 4 + 5; S3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9: ...
Tính S50; S60; S80; S100. 
Hướng dẫn