Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng

a. phần mở đầu
i. Lý do chọn đề tài:
Bài toán, theo nghĩa hẹp, là một vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết bằng phương pháp của toán học. Vì vậy, toỏn học giỳp con người giải quyết cỏc vấn đề của cuộc sống thông qua các bài toỏn thực tế. Cỏc bài toỏn thực tế được diễn đạt bằng lời văn từ đú cú tờn gọi bài toỏn cú lời văn.
Trong chương trình môn Toán ở lớp 4 và lớp 5, các bài toán có lời văn được giới thiệu nhiều dạng khác nhau. Trong đó các bài thuộc dạng toán liên quan đến tỉ số có số lượng lớn và rất phong phú về nội dung thực tiễn, có khả năng gây hứng thú đến khả năng giải toán ở học sinh, đặc biệt đối với các em học sinh giỏi.
 Tuy nhiên, do đăc điểm nhận thức của học sinh tiểu học và do có nhiều bài toán thuộc dạng không điển hình nên việc giải các bài toán liên quan đến tỉ số của các em còn gặp khó khăn. Xuất phát từ nhận thức trên, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm nhỏ trong việc “ hướng dẫn học sinh khai thác bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”
iI. Phương pháp và tài liệu nghiên cứu:
1, Phương pháp nghiên cứu:
@- Tìm hiểu SGV, SGK, các tài liệu tham khảo
@- Dự giờ, học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
@- Nêu các phương án dạy thử và đo kết quả dạy thử.
2, Tài liệu tham khảo:
& - SGK, SGV.
& - Các phương pháp giải toán. (Nhà xuất bản GD)
& - Toán nâng cao lớp 5(Tập 1, 2), Để học giỏi toán 5 (Nhà xuất bản GD) Và các tài liệu khác.
b. phần nội dung
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Đối với các em HS giỏi, ngoài việc giải được các bài toán ở SGK, giáo viên cần giúp các em giải được các bài toán nâng cao theo chương trình, biết cách trình bày bài làm khoa học. Tuy nhiên, trong quá trình dạy học tôi nhận thấy:
+ Những bài toán nâng cao liên quan đến tỉ số thường phát triển từ bài toán mẫu, mỗi bài thường có những yêu cầu khai thác các điều kiện khác nhau (khai thác tổng, hiệu, tỉ số và có bài yêu cầu khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu lẫn tỉ số). Do vậy HS gặp rất nhiều khó khăn trong việc khai thác các bài toán để giải bài toán đó.
+ Ngoài ra, có nhiều em mới chỉ biết áp dụng giải bài toán theo bài mẫu chứ các em chưa chủ động, sáng tạo trong việc tìm ra phương pháp giải theo suy nghĩ của mình.
+ Việc trình bày bài giải của các em cũng chưa đạt yêu cầu. Các em thường trình bày theo suy nghĩ của mình, chưa biết chắt lọc, tìm những thuật ngữ, kí hiệu toán học để bài làm ngắn gọn và chặt chẽ.
II. Các biện pháp cụ thể:
ở chương trình lớp 4, các em đã biết phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Tuy nhiên, trong chương trình nâng cao có rất nhiều bài tập khác liên quan đến tỉ số. Để giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán này, giáo viên cần phải hệ thống các bài tập đó theo từng nhóm. Mỗi nhóm bài, GV cần đưa ra những bài tập mẫu cho HS làm quen. Sau đó, các em so sánh với các dạng bài khác đã học, rút ra kết luận về phương pháp giải cho từng dạng bài.
Các “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng” tôi đã sắp xếp và phân theo các nhóm như sau:
1, Các bài toán áp dụng trực tiếp “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
2, Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
3, Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
4, Các bài toán khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu và tỉ số trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
5, Các bài toán khác về tỉ số.
Trên cơ sở phân nhóm như vậy, GV sẽ dễ dàng hướng dẫn các em nắm chắc các dạng bài, cách khai thác các điều kiện của đề bài để giải bài tập đúng. Sau đây, là các dẫn chứng cụ thể cho từng nhốm bài:
1, Các bài toán áp dụng trực tiếp “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”:
Ví dụ1: Lớp 5A có 40 học sinh. Biết rằng số HS nữ bằng số HS nam. Tính số HS nữ, HS nam.
Phân tích: ở dạng toán này, các em cần xác định được: Tổng số là 40 HS; Tỉ số của HS nữ so với HS nam là 3 : 2. Tức là nếu coi số HS nữ gồm 3 phần bằng nhau thì số HS nam gồm 2 phần như thế. Tổng số HS cả lớp sẽ gồm 5 phần. Từ đó, các em giải được bài toán.
Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết hiệu và thương của hai số là 0,75.
Phân tích: HS cần xác định được: Hiệu là 0,75; Tỉ số 0,75 tức là hay 
 Từ đó, áp dụng bài mẫu các em sẽ tính được:
Bài giải:
Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất: 	 0,75
Số thứ hai:
Theo sơ đồ, ta thấy giá trị một phần bằng nhau là 0,75.
	Vậy số thứ nhất là: 
	0,75 x 3 = 2,25
	Số thứ hai là:
	0,75 x 4 = 3
	Đáp số: 2,25 và 3.
Nhận xét: Nhóm bài tập này khá đơn giản với các em. Song việc nắm chắc phương pháp giải bài tập trong nhóm này thì các em dễ dàng tiếp thu các bài tập thuộc nhóm sau. Bởi vậy, trong khi làm toán, tôi luôn yêu cầu HS tự tìm thêm nhiều cách giải khác để nắm chắc kiến thức hơn.
2, Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
Ví dụ3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta đựơc một số lớn gấp 13 lần số cần tìm.
Phân tích:Trong bài toán này, HS phải xác định được số tự nhiên đó thay đổi như thế nào nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó. Từ đó, các em xác định được hiệu số của số mới và số cần tìm.
Bài giải:
 Khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số có hai chữ số thì số đó tăng thêm 900 đơn vị.
Theo bài ra, ta có sơ đồ: 
Số đã cho: 	 900
Số mới:
Nhìn lên sơ đồ ta thấy số cần tìm là :
900 : (13 – 1) = 75
ĐS: 75
Ví dụ 4: Bạn Bình có 22 viên bi gồm bi đỏ và bi xanh. Bình cho em 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Bạn An lại cho Bình thêm 7 viên bi đỏ nữa, lúc này Bình có số bi đỏ gấp đôi số bi xanh. Hỏi lúc đầu Bình có bao nhiêu viên bi đỏ, bao nhiêu viên bi xanh?
Phân tích: HS xác định được: Tỉ số đề bài đã cho vào thời điểm số bi của bạn Bình đã thêm vào và bớt đi một lượng là: Bi đỏ gấp đôi số bi xanh. Vậy chúng ta cần xác định tổng số bi của bạn Bình trong thời điểm đó có bao nhiêu viên?
Bài giải:
	Tổng số bi của bạn Bình sau khi cho em và nhận thêm của bạn An là:
	22 – (3 + 2) + 7 = 24 (viên)
Ta có sơ đồ:
Bi xanh:
Bi đỏ:	 24 viên
	Số bi xanh lúc sau là:
	24 : (2 + 1) = 8 (viên)
	Số bi xanh lúc đầu là:
	8 + 2 = 10 (viên)
	Số bi đỏ lúc đầu là:
	22 – 10 = 12 (viên)
Nhận xét: ở nhóm bài tập này, đề bài thường cho tỉ số ở một thời điểm cố định, các điều kiện khác như tổng hoặc hiệu không cùng thời điểm với tỉ số. Vậy, cần xác định tổng (hiệu) của các đại lượng tương ứng với thời điểm đưa ra tỉ số của đề bài.
3, Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
Ví dụ 5: Một cửa hàng gạo, có tổng số gạo nếp và gạo tẻ là 1950kg. Sau khi đã bán số gạo nếp và số gạo tẻ thì số gạo còn lại của 2 loại giống nhau. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu kg gạo nếp? Bao nhiêu kg gạo tẻ?
Phân tích: Bài toán cho biết tổng số còn tỉ số của hai số thì HS phải tìm bằng cách thực hiện các phép tính như sau:
Phân số chỉ số gạo nếp còn lại là:
 (số gạo nếp)
Phân số chỉ số gạo tẻ còn lại là:
 (số gạo tẻ)
Theo bài ra, ta có số gạo nếp bằng số gạo tẻ hay số gạo nếp bằng số gạo tẻ. Khi đó, HS vẽ được sơ đồ như sau và đưa bài toán về dạng điển hình để giải:
Gạo nếp:	
Gạo tẻ:	 1950kg
	Ví dụ 6: Cuối học kì I, lớp 5A có số HS giỏi bằng số HS còn lại của lớp. Cuối học kì II có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng số HS còn lại của lớp. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu HS giỏi cuối kì II ?
	Phân tích: Vì số HS còn lại của lớp ở 2 học kì khác nhau và số HS của cả lớp không thay đổi nên ta đưa tỉ số HS giỏi ở cả 2 kì so với số HS cả lớp rồi tính. Cụ thể là:
	Cuối học kì I, lớp 5A có số HS giỏi bằng số HS còn lại của lớp hay bằng số HS của lớp, học kì II có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng số HS còn lại của lớp hay bằng số HS của lớp. 
 HSG kì 1 
 4hs
	 HSG kì 2
	Từ sơ đồ trên, HS dễ dàng nhận ra được 4 em HS chính là số HS cả lớp.	
Ví dụ 7: Anh tôi năm nay 20 tuổi. Khi tuổi anh tôi bằng tuổi tôi hiện nay thì tuổi tôi bằng tuổi anh tôi lúc đó. Tính tuổi tôi hiện nay?
Phân tích: ở bài tập này, HS phải biểu thị mối quan hệ giữa tuổi anh và tuổi em ở hai thời điểm khác nhau qua sơ đồ như sau:
Lúc trước:
Tuổi tôi:
Tuổi anh tôi:
Hiện nay:
Tuổi tôi:
Tuổi anh tôi:
 20 tuổi
Vì hiệu giữa tuổi anh và em không thay đổi nên ta thấy tuổi em hiện nay là:
20 : 4 x 3 = 15 (tuổi)
Nhận xét: Nhóm bài tập này, đề bài thường có tỉ số “ẩn”, chỉ cho biết tổng (hiệu) hoặc tỉ số khác. Để giải được bài toán, đòi hỏi người giải toán phải xác định được tỉ số trong mối quan hệ khác với cái đã cho của đề bài. Sau đó có thể đưa bài toán về dạng toán điển hình rồi giải.
4, Các bài toán khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu và tỉ số trong “bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”.
Ví dụ 8: Tìm 1 phân số sao cho khi cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1. Nếu cộng vào mẫu số 4013 và giữ nguyên tử số thì được .
	Phân tích: HS phải xác định được hiệu số giữa tử số và mẫu số ban đầu, xác định được hiệu số giữa tử số và mẫu số nếu như thêm một lượng vào mẫu số và giữ nguyên tử số. Khi đó thì tỉ số giữa tử số và mẫu số là bao nhiêu
Bài giải
	Nếu cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1 hay tử số bằng mẫu số. Vậy phân số đã cho có tử số bé hơn mẫu số 1 đơn vị.
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
Tử số	4013
Mẫu số
	 1
	Nhìn lên sơ đồ ta thấy tử số của phân số đã cho là:
	(4013 + 1) : 2 = 2007
	Mẫu số của phân số đó là:
	2007 + 1 = 2008
	ĐS: 
Ví dụ 9: Tổng số tuổi của 2 chị em bé hơn 2 lần tuổi chị là 3 tuổi. Hiệu giữa tuổi chị và tuổi em bé hơn tuổi em là 5 tuổi. Tính tuổi chị và tuổi em?
Phân tích: HS phải vẽ được sơ đồ biểu thị hai lần tuổi chị hơn tổng tuổi chị và tuổi em là 3 tuổi. Từ đó suy ra được hiệu của tuổi chị và em. Sau đó lại vẽ tiếp sơ đồ biểu thị tuổi em lớn hơn hiệu giữa tuổi em và tuổi chị là 5 tuổi.
Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ đồ: 	tuổi chị tuổi em
Tổng tuổi chị và tuổi em:	 3 tuổi
Hai lần tuổi chị: 
 tuổi chị 	 tuổi chị 
Nhìn lên sơ đồ ta thấy hiệu giữa tuổi chị và tuổi em là 3.
Vậy ta có sơ đồ: 
Tuổi em:
Hiệu tuổi chị và em: 	 5tuổi
 3tuổi
Vậy tuổi em là: 
3 + 5 = 8 (tuổi)
Tuổi chị là:
8 + 3 = 11 (tuổi)
ĐS: Chị: 11 tuổi
Em: 8 tuổi
Nhận xét: Nhóm bài tập này yêu cầu học sinh suy luận trên từ cái đã cho ở trong bài hoặc có thể biểu thị bằng sơ đồ để tìm ra để tìm ra tổng (hiệu) và tỉ số. Nhóm bài tập này khó đối với các em, do đó, GV cần kiên trì hướng dẫn các em khai thác các điều kiện của bài toán, giúp các em từng bước nắm chắc dạng toán này.
	III. Kết quả đạt được:
Sau khi áp dụng các biện pháp trên đây vào giảng dạy, tôi thấy lớp tôi phụ trách đạt một số kết quả như sau:
ớ Các em đã phân nhóm được các bài toán liên quan đến tỉ số, biết cách khai thác các điều kiện trong bài toán, nắm được phương pháp giải cho mỗi nhóm. Từ đó, các em dần dần chủ động và sáng tạo trong khi giải toán. 
ớ Các em đã biết vận dụng nhiều phương pháp giải để làm các bài tập một cách linh hoạt; biết cách trình bày một bài giải ngắn gọn, lôgic và chặt chẽ.
C. phần kết luận
Để học sinh giải được các bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số nói riêng và các bài toán có lời văn nói chung, giáo viên cần giúp các em biết khai thác các điều kiện trong bài toán. Đây là bước giúp các em xác định được hướng đúng để giải bài tập. Cụ thể là:
à - GV phải hướng dẫn học sinh hệ thống và phân nhóm từng bài toán theo một số nhóm điển hình như trên. 
à - GV giúp học sinh biết cách khai thác từng dạng bài cụ thể. Trên cơ sở đó, các em tự rút ra nhận xét phương pháp giải cho từng dạng bài và ghi nhớ nó.
Ngoài ra, muốn giải được một bài toán nào đó, người học phải nắm vững quy trình giải bài toán: tìm hiểu bài toán, lập kế hoạch giải toán, thực hhiện kế hoạch giải toán và nhìn lại bài toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán trong những năm qua và bước đầu cũng có được những kết quả tốt. Tuy nhiên do kiến thức của phân môn rất rộng mà kiến thức của tôi còn hạn chế nên đề tài chưa thực sự đạt như mong muốn của bản thân tôi. Kính mong các đồng chí góp ý thêm để đề tài trên hoàn thiện và tôi có thể áp dụng tốt hơn trong công việc giảng dạy của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Gio Linh, ngày 2 tháng 4 năm 2007
	Người viết
Ngô Thị Tuyển