Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác kết quả từ một bài toán hình học năm học 2013 - 2014

PHẦN 1:
 MỞ ĐẦU
TÊN DỀ TÀI: KHAI THÁC KẾT QUẢ TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Môn Toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác, môn Toán là công cụ của nhiều ngành khoa học .
 Môn Toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán, phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới .
 Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con người, ngoài việc cung cấp những kiến thức, kỹ năng toán học, môn Toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá. 
 Ta thấy được môn Toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật . Vì vậy người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi . 
 Theo như yêu cầu của bộ môn Toán nói chung , môn toán 8 nói riêng mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , người thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngược lại vấn đề . Nếu làm được việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán, dạng toán. Từ đó sẽ kích thích được tính tò mò, khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác được tiềm năng về môn toán của học sinh .
 Với lý do đó tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm “Khai thác kết quả từ một bài toán hình học 8’’ 
Nội dung đề tài được trình bày trên cơ sở:
 - Thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa hình thành các bài tập có nội dung phong phú và đa dạng hơn.
 - Bằng các thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá hình thành các bài tập có nội dung tương tự, tổng quát, từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập.
 - Thông qua việc phát triển các bài toán, hình thành chuỗi các bài tập có nội dung liên quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phát triển các bài kế tiếp.
 - Ngoµi ra b»ng c¸ch thay ®æi, thªm, bít mét sè yÕu tè trong ®Ò bµi cña c¸c bµi to¸n, hoÆc thay ®æi c¸ch hái ta còng cã c¸c bµi to¸n thó vÞ vµ kh¸ ®éc ®¸o.
 Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp .
 Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên.
PHẦN 2;
NỘI DUNG
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN.
 Trong mục tiêu môn Toán THCS đã nêu lên rằng: “Rèn luyện khả năng suy luận lôgic; khả năng quan sát và dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo”. 
 Chúng ta đã biết hệ thống kiến thức trong chương trình đã được biên soạn lôgíc. Hệ thống bài tập trong SGK và SBT đã được biên soạn công phu, chọn lọc, sắp xếp một cách khoa học, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh. 
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho HS không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các em lòng say mê , tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề của riêng ai! Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ chút nào. 
2.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN.
 2.2.1 Đối với học sinh :
 Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng. 
Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bài toán rất hay, kích thích được sự tìm tòi khám phá kiến thức của học sinh.
 2.2.2. Đối với người thầy:
 Năm học 2013 – 2014, tôi được phân công dạy Toán khối 8. Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng thụ động tiếp thu kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính sáng tạo, chưa phát huy được năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân.
 Bên cạnh đó yêu cầu đặt ra cho mỗi con người trong thời đại mới phải thực sự tích cực, năng động và thích ứng với những thay đổi của điều kiện ngoại cảnh. Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và nhà nước ta đang đặt ra cho ngành giáo dục chúng ta.
 Có một thực tế mà ai đã từng cắp sách tới trường, đã từng tham dự các kỳ thi như KĐCL, thi chọn HSG (trường, huyện, tỉnh...), đều nhận thấy: “Nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được”. Đặc biệt là các kỳ thi chọn HSG, thi vào trường chuyên, lớp chọn. Sở dĩ như vậy là vì trong các kỳ thi đó; các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài tập tương tự....
2.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 Đề tài dùng cho tất cả các em học sinh và thầy cô giáo bộ môn toán lớp 8 
 Qua quá trình dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy rằng: “Có nhiều em học thuộc lòng lý thuyết (định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc, ... nhưng vẫn không giải được bài tập; đặc biệt là phần hình học”
 Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau. Các dạng toán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với nhau. Song học sinh rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán hình học
2.4 ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG:
 Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau: 
Đối với học sinh : 
+ Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác .
+ Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ, được đầu tư thời gian, thường xuyên đọc các tài liệu tham khảo .
Đối với giáo viên :
 + Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tham khảo để nghiên cứu và áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể. 
 + Phải có trình độ chuyên môn vững vàng để không những có những lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn, đa dạng hơn .
 PHẠM VI SỬ DỤNG: 
 Đề tài này được áp dụng cho tất cả học sinh và thầy cô tham khảo,tuy nhiên dắc dụng nhất vẫn là học sinh lớp 8 
 Vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: “Khai thác kết quả từ một bài toán hình học 8’’
 CÁC BÀI TOÁN VÀ KHAI THÁC KẾT QUẢ CÁC BÀI TOÁN 
 Khi dạy bài " Đối xứng trục" - Toán 8 tập 1. Tiết luyện tập tôi đã đưa ra bài toán cơ bản sau:
 Bài toán 1: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng a. Hãy tìm trên a một điểm M sao cho AM + MB là ngắn nhất.
	A
 M a
	B
	Hình 1 
Giải: Nối A với B cắt a tại điểm M. 
Dễ dàng chứng minh điểm đó thỏa mãn bài toán. 
Thật vậy, trên a lấy một điểm M' khác điểm M
Ta thấy rằng AM' +M'B AB =AM+MB
Dấu "=" xảy ra khi M'M
Khai thác bài toán 1 tôi đưa ra câu hỏi: 
Nếu hai điểm A,B nằm trong một nữa mặt phẳng bờ a thì cách tìm điểm M như thế nào? 
 Bài toán 2: (Đó là bài toán 39 b. (trang 88 SGK)) Bạn Tú đang ở vị trí A cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí B (Hình 2).
 Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là 
	 B
 A
	 M	 a
 A'	 
Hình 2
con đường nào? 
	Hướng dẫn giải: (Hình 2)
* Lấy A' đối xứng với A qua a.
* Nối A'B cắt a tại M là điểm cần tìm
CM: Theo tính chất đỗi xứng trục ta có MA = MA'
è AM + MB bé nhất khi AM' + MB bé nhất khi và
chỉ khi A', M, B thẳng hàng.
 Tiếp tục khai thác bài toán 2 ta có bài toán 2.1
 Bài toán 2.1:
 Trên một nữa mắt phẳng bờ là đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên a hẵy tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) sao cho AM + MN + NB bé nhất.
	 B
 A
	 a	
	 M N
 A'	
 	 Hình 5
Hướng dẫn giải:
Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a tại M
Trên a lấy MN = d (sao cho BN bé nhất) các điểm
 M,N là các điểm cần tìm.
 Bài toán 3: (Bài toán gốc – Bài 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)
Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. 
Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng? 
a) Phân tích bài toán: 
b) Lời giải: 
 Ta có +) (g.g) (1)
 Vì : (gt)
 (đối đỉnh)
 +) (g.g) (2)
 Vì : chung 	
 và (gt)
 - (g.g) (3)	
 Vì := (suy ra từ (1))
 và ==
 - (4) 
 (bắc cầu từ (1) và (2)) 
 - (5) 
 	 (bắc cầu từ (1) và (3))
 - (6)
 (bắc cầu từ (2) và (3))
c) Khai thác bài toán: 
+) Từ kết quả (1) (của bài toán 3): 
 Cho ta các bài toán:
Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD,CE là hai đường cao cắt nhau tại H
Chứng minh rằng: HB.HD = HC.HE. 
( Từ bài này trở đi tôi xin miễn phân tích bài toán mà chỉ trình bày bài giải và hướng khai thác)
 Giải: 
 Ta có (g.g) (theo (1) bài toán 1)
 (đpcm)
Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE
(Giải tương tự như bài toán 1.1- HS về nhà tự giải)
Khai thác bài toán: 
Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông, tam giác tù.
(Xem như bài tập , HS về nhà tự làm)
Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
	Giải: 
 Ta có (g.g) (theo (1) của bài toán ( 1))
 Xét và có 
 	 (chứng minh trên)	
 =(đối đỉnh)	
 Suy ra (c.g.c)
+) Từ kết quả (2) (của bài toán 3): ta có các bài tập sau:
Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA 
	Giải: 
Ta có (g.g) (theo (2) của bài toán ( 1))	
 	(đpcm	) 
Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
 Giải: 
 Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC tại F ta được đường cao AF	
Ta có: (g.g) (chứng minh tương tự (2) của bài toán ( 1))
 	 (1)
Tương tự ta có: (g.g)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
(Vì nhọn nên F nằm giữa B và C)
 hay (đpcm) 	
Bài toán 2.2.1: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
	Giải: 
 Từ kết quả bài toán 2.2 ta được 
 (1) 
 (2)
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
 (đpcm)
Bài toán 3: Cho hình bình hành ABCO . Kẻ CEAB tại E, CFAO tại F, Kẻ OHAC tại H, kẻ BK AC tại K
a) Tứ giác OHBK là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
b) Chứng minh rằng : CE.CO = CB.CF
c) Chứng minh rằng : AB.AE + AO.AF = AC2.
( Bài 258 sách Nâng cao và Phát triển Toán 8 tập 2)
	Giải : 
a) Dễ thấy tứ giác OHBK là hình bình hành 
b) Ta có nên suy ra 
(g.g)
c) Ta có (g.g) 
 (theo (2) của bài toán 1) 
 (1) 
Tương tự ta có: 
 ABKACE (g.g) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
 (3)
Xét AOH và CBK có:
 = (= 900)
 AO = BC (tính chất hình bình hành)
 (so le trong) 
Suy ra: AOH =CBK (cạnh huyền-góc nhọn) 
 (cạnh tương ứng) thay vào (3) ta có 
+) Từ kết quả (6) của bài tập 1 : cho phép ta giải các bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC
 Giải: 
 Ta có (g.g) (theo (6) bài toán 1)	
 (đpcm) 
 Bài toán 3.2: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
AD.AC = AH.AF = AE.AB
CD.CA = CH.CE = CF.CB
BF.BC = BH.BD = BE.BA 	Giải: 
Từ kết quả bài toán 2.1 ta có 
 AH.AF = AE.AB 	(1)
Từ kết quả bài toán 3.1 ta có 
 AE.AB = AD.AC (2) 
Từ (1) và (2) suy ra AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm) Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức 2) và 3)
Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA = BC2 và viết hai hệ thức tương tự
Giải: 
Theo kết quả bài 2.2: 
 BH.BD + CH.CE = BC2 (1)
Mà theo kết quả bài toán 3.2: 
	BH.BD = BE.BA 
	CH.CE = CD.CA 
Thay vào (1) ta được: BE.BA + CD.CA = BC2 (đpcm)
Hai hệ thức tương tự: 
	1. AE.AB + CF.CB = AC2 
	2. AD.AC + BF.BC = AB2 	
Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao. 
Chứng minh rằng: 
 Giải: 
Ta có (g.g) (theo (6) bài toán 1)
Xét ADE và ABC có : 
 (chứng minh trên) 
 chung
Suy ra (c.g.c) (đpcm)
2.7. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
 2.7.1 Kết quả đạt được: 
Sau khi được học xong bài toán này học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý , các em nhìn nhận mỗi bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Từ đó kích thích được sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung . Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khai thác bài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra được nhiều bài toán hay ,bài toán khó và có những lời giải độc đáo .
Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì có sự chuyển biến rõ rệt; đặc biệt là các em có học lực từ Tb trở lên; các em đó chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, lời giải cũng mạch lạc hơn. 
Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổi đáng kể. Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt
 2.7.2 Những hạn chế:
 Ngoài những kết quả đã đạt như nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện áp dụng kinh nghiệm này vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấy những hạn chế sau :
 - Số lượng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên đề còn hạn chế .
 - Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài .
 - Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinh khá ,giỏi.
 2.7.3 Bài học kinh nghiệm:
 Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh .Muốn có có được phương pháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi , tự bồi dưỡng những kiến thức cho mình . Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tưởng giải toán, sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải .
 Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đến khó . Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tòi lời giải, tự phân tích và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hướng khác nhau .
2.8 KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT: 
	Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục những tồn tại khi áp dụng đề tài , tôi tiếp tục đề ra cho mình hướng giải quyết tiếp theo :
Tiếp tục nghiên cứu đề tài “khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản “và áp dụng trên lớp,đồng thời theo dõi kết quả của học sinh để tìm ra biện pháp khắc phục nhược điểm và hạn chế của đề tài .
 Đưa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để tìm ra biện pháp tối ưu nhất .
 Về phía nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để phân loại học sinh khá giỏi và yếu kém.
 Có kế hoạch phụ đạo kip thời, và tăng tiết phụ đạo lên.
 PHẦN 3 
KẾT LUẬN
 Đây chỉ là một bài tập rất nhỏ trong vô vàn các bài tập mà chúng ta có thể khai thác. Song ở đề tài này của tôi nó khá phù hợp với đối tượng HS khá giỏi và được giảng dạy vào các tiết tăng buổi, bồi dưỡng HSG do đó khi áp dụng đề tài này thì nên phân luồng HS cho phù hợp. 
 Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ được rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy. Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu chưa sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn chế . Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm được hoàn thiện và áp dụng có kết quả tốt .
 Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong quý thầy cô góp ý, chỉnh sửa để các lần áp dụng sau đạt hiệu quả tốt hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 Nghĩa Lâm, ngày 5/10/2013
 Người viết
 Hồ Văn Thái
TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Tập huấn nâng cao chất lượng học sinh-hè 2008
- Tập huấn chuyên đề “ Đổi mới phương pháp dạy học môn toán”-hè 2009
- Tài liệu bồi dưỡng giáo viên dạy học theo phương pháp mới( Bộ GD-ĐT) năm 2004
- Tài liệu BDTX chu kỳ I , II, III ( Sở GD-ĐT Quãng Ngãi- 2006-2007-2008)
- Tài liệu tập huấn chuyên đề “ Khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau” –Phòng GD-ĐT Tư Nghĩa – Hè 2007
- SGK -SBT môn Toán 8
- Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 2- Nhà xuất bản GD –năm 2005
Duyệt của tổ chuyên môn
Xác nhận của Ban Giám Hiệu
Kết quả cụ thể như sau: 
Năm học
Áp dụng đề tài
Tổng số HS
Số HS giải được theo các mức độ
Từ 0 -20% BT
Từ 20-50% BT
Từ 50-80% BT
Trên 80% BT
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2008 – 2009
Chưa áp dụng
32
8
25
11
34,4
11
34,4
0
2009 – 2010
Đã áp dụng
32
6
18,8
12
37
11
34,4
4
9,8
2010 - 2011
Đã áp dụng
30
4
13
9
30
12
40
5
17
2011 - 2012
Đã áp dụng
30
4
14
7
23
13
43
6
20