Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 1
Một số phương pháp 
giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng 
không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số 
phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải 
phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một 
biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng 
biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. 
II.NỘI DUNG 
A. Xét phương trình 2 21 2 3 4 5 6 0a x a xy a x a y a y a+ + + + + = .Trong đó 1 0a ¹ hoặc 
2 0a ¹ , 5 0a ¹ 
B. Các phương pháp giải. 
a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương 
Dạng 1. 2 2 2 0A B C+ + =
0
0
0
A
B
C
=ì
ïÛ =í
ï =î
Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 
2 25 2 4 9 8 14 0(1)x y xy y x+ + + - + = 
Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của 
một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ 
sổ là số chính phương, do đó 
2 2 2
2 2 2
5 4
2
x x x
y y y
= +
= +
Phương trình (1) 
2 2 2 24x x y yÛ + + + + 4 4 4 9 14 0xy x x y- - + + = 
Ta coi bình phương của một tam thức 2 2( ) (( ) )a b c a b c+ + = + + là bình phương 
của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. 
Vậy (1) 2 2 2 24x x y yÛ + + + + 4 4 4 9 14 0xy x x y- - + + = 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 2
Û 2 2 2 2((2 ) 2.2 ( 1) ( 1) ) ( 2) ( 3) 0x x y y x y+ - + - + - + - = 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 3 0x y x y+ - + - + - = 
2 2 2(2 1) ( 3) ( 2) 0
2 1 0
3 0
2 0
2
3
x y y x
x y
y
x
x
y
Û + - + + + - =
+ - =ì
ïÛ + =í
ï - =î
=ì
Û í = -î
Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 
1, 2 22 5 14 4 8 4 0x y xy y x+ + - - - = 
2, 2 25 2 14 4 4 8 0x y xy y x+ + + - + = 
3, 2 25 10 3 12 8 2 0x y xy y x+ + - + - = 
4, 2 210 5 38 12 16 36 0x y xy y x+ + - + - = 
5, 2 210 4 34 12 20 36 0x y xy y x+ + - + - = 
Giải: 
1, 2 22 5 14 4 8 4 0x y xy y x+ + - - - = 
2 2 2 24 4 8 4 14 0x x y y xy y xÛ + + + - - - + = 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 2 0x y x yÛ - + + - + - = 
2 1 0
3 0
2 0
x y
x
y
- + =ì
ïÛ - =í
ï - =î
3
2
x
y
=ì
Û í =î
2, 2 25 2 14 4 4 8 0x y xy y x+ + + - + = 
2 2 2 24 4 8 4 14 0x x y y xy x yÛ + + + + + - + = 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 3 0x y x yÛ + + + + + - = 
2 1 0
2 0
3 0
x y
x
y
+ + =ì
ïÛ + =í
ï - =î
2
3
x
y
= -ì
Û í =î
3, 2 25 10 3 12 8 2 0x y xy y x+ + - + - = 
2 2 2 24 9 12 2 8 3 0x x y y xy x yÛ + + + - - + + = 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 3
( ) ( ) ( )2 2 22 3 1 1 1 0x y x yÛ - - + + + + = 
2 3 1 0
1 0
1 0
x y
x
y
- - =ì
ïÛ + =í
ï + =î
1
1
x
y
= -ì
Û í = -î
4, 2 210 5 38 12 16 36 0x y xy y x+ + - + - = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
9 4 38 12 16 36 0
( 3 2.3 . 2 5 2 5 ) 6 9 4 4 0
x x y y xy y x
x x y y x x y y
Û + + + + - + - =
Û - + + + + - + + - + =
( ) ( ) ( )2 2 23 2 5 3 2 0x y x yÛ - - + - + - = 
3 2 5 0
3 0
2 0
x y
x
y
- - =ì
ïÛ - =í
ï - =î
3
2
x
y
=ì
Û í =î
5, 2 2 29 4 34 12 20 36 0x x y xy y x+ + + - + - = 
( ) ( )2 23 2 5 3 0x y xÛ + - + - = 
3 2 5 0
3 0
x y
x
+ - =ì
Û í - =î
3
2
x
y
=ì
Û í = -î
Dạng 2. 2 2 2 2 2 2... ...A B C m n p+ + + = + + +
A m
B n
C p
= ±ì
ïÛ = ±í
ï = ±î
và các hoán vị của chúng. 
 Ví dụ: Giải phương trình: 
2 26 0x x y- - + = 
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 24 4 0
(2 1) (2 ) 25 3 4 0 5
x x y
x y
Û - - + =
Û - + = = + = +
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 4
Do 2x-1 lẻ nên 
2 1 3
2 4
x
y
ì - =ï
í
=ïî
2; 1
2
x
y
= -ì
Û í = ±î
 Hoặc 
2 1 5 3; 2
02 0
x x
yy
ì - = = -ìï Ûí í == îïî 
Phương trình đã cho có nghiệm: 
 (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) 
Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 
1, 2 2100 6 13x xy y= + - 
2, 2 24 5 169x xy y- + = 
Giải: 
1, 2 2100 6 13x xy y= + - 
2 2 26 9 4 100x xy y yÛ - + + = 
2 2 2 2 2 23 2 100 6 8 0 10x yÛ - + = = + = + 
3 6
2 8
x
y
ì - =ïÛ í
=ïî
9
4
x
y
=ì
Û í =î
Hoặc 
3 8
2 6
x
y
ì - =ï
í
=ïî
11
3
x
y
=ì
Û í =î
Hoặc 
3 10
2 0
x
y
ì - =ï
í
=ïî
13
0
x
y
=ì
Û í =î
Hoặc 
3 0
2 10
x
y
ì - =ï
í
=ïî
3
5
x
y
=ì
Û í =î
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 
( ) ( ){ ( ) ( ) }, 9;4 11;3 3;5x y = 
2, 2 24 5 169x xy y- + = 
2 2 24 4 169x xy y yÛ - + + = 
2 2 2 2 2 22 169 12 5 0 13x y yÛ - + = = + = + 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 5
2 12
5
x y
y
ì - =ïÛ í
=ïî
22
5
x
y
=ì
Û í =î
hoặc
2 5
12
x y
y
ì - =ï
í
=ïî
19
12
x
y
=ì
Û í =î
hoặc
2 0
13
x y
y
ì - =ï
í
=ïî
26
13
x
y
=ì
Û í =î
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 
( ) ( ){ ( )( ) }, 22;5 19;12 26;13x y = 
b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử 
Dạng 1. A.B.C =0
0
0
0
A
B
C
=é
êÛ =ê
ê =ë
Dạng 2. A.B.C... = m.n.p... (Với m, n,p là các số nguyên) 
A m
B n
C p
=é
êÛ =ê
ê =ë
và các hoán vị của chúng. 
Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 
2 23 10 8 96x xy y+ + = 
2 23 6 4 8 96x xy xy yÛ + + + = 
( 2 )(3 4 ) 96 16.6 12.8 24.4x y x yÛ + + = = = = 
Do x,y là các số nguyên dương nên 
(3 4 ) ( 2 ) 3x y x y+ > + ³ 
2 4 16 4
2 6 1
x y x
x y y
+ = =ì ì
Þ Ûí í+ = =î î
Hoặc 2 4 12 4
2 8 6
x y x
x y y
+ = = -ì ì
Ûí í+ = =î î
 (loại) 
Hoặc 2 4 24 16
2 4 6
x y x
x y y
+ = =ì ì
Ûí í+ = = -î î
 (loại) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ) ( ), 4;1x y = 
Bài tập: 
Giải các phương trình nghiệm nguyên: 
1, 2 2 6y x x= + + 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 6
2, ( )2 25 6x y y- = + 
3, 2 26 5 121x xy y- + = 
4, ( )5 3 2x y xy+ = - 
5, 2 3 6 0x x xy y- - + - = 
Giải: 
1, 2 2 6y x x= + + 
2 24 4 4 24y x xÛ = + + 
2 2(2 ) (4 4 1) 23y x xÛ - + + = 
2 2(2 ) (2 1) 23y xÛ - + = 
( )( )2 2 1 2 2 1 23 1.23 ( 1).( 23) 23.1 ( 23).( 1)y x y xÛ - - + + = = = - - = = - - 
( )
( )
2 2 1 23
2 2 1 1
y x
y x
ì + + =ï*í
- - =ïî
6
5
y
x
=ì
Û í =î
( )
( )
2 2 1 1
2 2 1 23
y x
y x
ì + + =ï*í
- - =ïî
6
6
y
x
=ì
Û í = -î
( )
( )
2 2 1 23
2 2 1 1
y x
y x
ì + + = -ï*í
- - = -ïî
6
6
y
x
= -ì
Û í = -î
( )
( )
2 2 1 1
2 2 1 23
y x
y x
ì + + = -ï*í
- - = -ïî
6
5
y
x
= -ì
Û í =î
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
nguyên: ( ) ( ){ ( ) ( ) ( )}, 5;6 , 6;6 , 6; 6 , 5; 6x y = - - - - 
2, ( )2 25 6x y y- = + 
( )2 2 6 9 16x y yÛ - + + = 
( )2 2 6 9 16x y yÛ - + + = 
( ) ( )2 23 16x yÛ - + = 
( )( )3 3 16x y x yÛ - - + + = 
Do ( ) ( )3 3x y x y- - £ + + 
Và ( ) ( )3 ; 3x y x y- - + + cùng tính chẵn lẻ nên 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3 2.8 4.4 8 2 4 4x y x y- - + + = = = - - = - - 
3 2 5
3 8 0
x y x
x y y
- - = =ì ì
* Ûí í+ + = =î î
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 7
3 4 4
3 4 3
x y x
x y y
- - = =ì ì
* Ûí í+ + = = -î î
3 8 5
3 2 0
x y x
x y y
- - = - = -ì ì
* Ûí í+ + = - =î î
3 4 4
3 4 3
x y x
x y y
- - = - = -ì ì
* Ûí í+ + = - = -î î
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ){ ( )( ) ( )}, 5;0 5;0 4; 3 4; 3x y = - - - - 
3, 2 26 5 121x xy y- + = 
2 2 26 9 4 121x xy y yÛ - + - = 
( ) ( )2 23 2 121x y yÛ - - = 
( ) ( )3 2 3 2 121x y y x y yÛ - + - - = 
Do ( ) ( )3 2 3 2x y y x y y- + ³ - - 
Và ( ) ( )3 2 ; 3 2x y y x y y- + - - cùng tính chẵn lẻ nên 
( )
( )
3 2 121 3 61 3 61
2 60 303 2 1
x y y x y x y
y yx y y
ì - + = ì - = ì - =ï ï ï* Û Ûí í í
= = ±ï- - =ï ï îîî
Nếu 30y = Thì 90 61 151;29x x- = Þ = 
Nếu 30y = - Thì 90 61 151; 29x x+ = Þ = - - 
( )
( )
3 2 11 3 11 11
02 03 2 11
x y y x y x
yyx y y
ì - + = ì - = = ±ìï ï* Û Ûí í í == î- - =ï ïîî
Vậy phương trình đã cho cónghiệm 
nguyên: ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, 29;30 , 151;30 , 29; 30 , 151; 30 , 11;0 , 11;0x y = - - - - - 
4, ( )5 3 2x y xy+ = - 
( )5 3 2x y xyÛ + - = - 
( )15 9 6x y xyÛ + - = - 
( ) ( )
( )( )
15 9 6
3 5 3 5 5 3 25 6
3 5 3 5 31
x xy
x y y
x y
Û - = -
Û - - - + = -
Û - - =
Không mất tính tổng quát giả sử x y£ 3 5 3 5x yÞ - £ - 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 8
3 5 1 2
3 5 31 12
x x
y y
- = =ì ì
* Ûí í- = =î î
4
3 5 1 3
3 5 31 26
3
xx
y y
ì =ï- = -ì ï* Ûí í- = - -î ï =
ïî
 (loại) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ){ ( ) }, 2;12 12;2x y = 
5, 2 3 6 0x x xy y- - + - = 
2 3 3 2 6 0x x xy y xÛ - - + + - = 
( ) ( ) ( )3 3 2 3 0x x y x xÛ - - - + - = 
( )( )3 2 0x x yÛ - - + = 
3;
2;
x y Z
y x x Z
= Îé
Û ê = + Îë
c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai 
Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia 
là hằng số.Chẳng hạn ( , ) 0x yf = ta coi y hằng số. 
Dạng 1. nếu 2y ay by cD = + + có hệ số a < 0. 
hoặc y by cD = + có hệ số b < 0. 
Để phương trình ( , ) 0x yf = có nghiệm thì 0yD ³ từ đó tìm được một nghiệm là y 
và suy ra nghiệm còn lại x. 
Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: 
2 2(3 ) 8x xy y x y+ + = + 
2 23 (3 1) 3 8 0x y x y yÛ + - + - = 
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có 227 9 1y y yD = - + + . 
Để pt đã cho có nghiệm thì 
227 9 1 0
0,01 3,3;
y y y
y y Z
D = - + + ³
Û - £ £ Î
{ }0,1, 2,3y Î Thay vào ta được 
Nếu 20 3 0y x x= Þ - = 
2
1
3 0 3
0
x
x x
x
é =êÛ - = Þ
ê
=ë
Nếu 21 3 2 5 0y x x= Þ + - = 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 9
2
1
3 2 5 0 5
3
x
x x
x
=é
êÛ + - = Þ -ê =
ë
Nếu 22 3 5 4 0y x x= Þ + - = 
25 48 73D = + = (không phải là số chính phương) 
Nếu 23 3 8 3 0y x x= Þ + + = 
/ 16 9 7D = - = (không phải là số chính phương) 
 pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) 
Bài tập: 
Giải các phương trình nghiệm nguyên: 
1, 2 2 2 0x xy y x y+ + - - = 
2, 2 2x xy y x y- + = + 
Giải: 
1, 2 2 2 0x xy y x y+ + - - = ( )2 22 0x x y y yÛ + - + + = 
2 24 4 4 4y y y yD = - + - + 
24 3yD = - 
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 
2 24 3 0 1 1 1y y y- ³ Û £ Û - £ £ 
Nếu 21 1 2 1 0y x x x= - Þ - + - + = 
2 23 2 0
1
x
x x
x
=é
Û - + = Þ ê =ë
Nếu 20 2 0y x x= Þ - = 
2 22 0
0
x
x x
x
=é
Û - = Þ ê =ë
Nếu 21 1 2 1 0y x x x= Þ + + - - = 
2 00
1
x
x x
x
=é
Û - = Þ ê =ë
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: 
( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, 1; 1 , 2; 1 , 0;0 , 2;0 , 1;1 , 0;1x y = - - 
2, 2 2x xy y x y- + = + 
( )2 21 0x x y y yÛ - + + - = 
2 2 22 1 4 4 3 6 1y y y y y yD = + + - + = - + + 
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 0D ³ 
Û 23 6 1 0y y- + + ³ 
0,154 2,154yÛ - £ £ 
}{0;1;2y Î 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 10
Nếu 20 0y x x= Þ - = 
2 10
0
x
x x
x
=é
Û - = Þ ê =ë
Nếu 21 2 0y x x= Þ - = 
2 22 0
0
x
x x
x
=é
Û - = Þ ê =ë
Nếu 22 3 2 0y x x= Þ - + = 
2 23 2 0
1
x
x x
x
=é
Û - + = Þ ê =ë
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: 
( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, 0;0 , 1;0 , 0;1 , 2;1 , 1;2 , 2;2x y = 
Dạng 2. Nếu 2y ay by cD = + + có hệ số a là một số chính phương Để phương 
trình ( , ) 0x yf = có nghiệm thì 2y mD = từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra 
nghiệm còn lại x. 
Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 
1, 2 22 3 2 6x y xy x y+ + - - = 
2 2(3 2) 2 6 0x y x y yÛ + - + - - = 
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 
2 8 16 12y y yD = - + + 
Để pt đã cho có nghiệm thì 2y mD = 
2 2
2 2
8 16 12
( 4) 12
y y y m
m y
D = - + + =
Û - - = 
( 4)( 4) 12 2.6 2.( 6)m y m y- + + - = = = - - 
Vì(m+y-4) ³ (m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên 
4 2
4 6
m y
m y
- + =ì
í + - =î
4
6
m
y
=ì
Û í =î
 Thay y=6 vào pt đã cho ta có: 
2
2
72 18 2 12 0
16 60 0
x x x
x x
+ + - - =
Û + + =
Pt này vô nghiệm. 
4 6
4 2
m y
m y
- + = -ì
í + - = -î
4
6
m
y
= -ì
Û í =î
Pt đ ã cho vô nghiệm 
2, ( )2 22 3 6 3 2 6 0xy y x x x x y y- - + = Û - - - - = Coi phương trình này là 
phương trinh bậc hai ẩn x. 
2 6 9 24y y yD = - + + 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 11
Để pt đã cho có nghiệm thì 2y mD = 
2 2
2 2
2 1 32
( 1) 32
y y y m
m y
D = + + + =
Û - + = 
( )( )1 1 32m y m yÛ + + - + = 
Do ( ) ( )1 1m y m y+ + ³ - + 
Và ( ) ( )1 ; 1m y m y+ + - + có cùng tính chẵn lẻ, ( )1 0m y+ + ³ 
nên ( )1 0m y- + ³ .Ta có 
1 2 9 9
6; 81 71 16
m y m m
yym y
ì ì- + = = = ±ìï ï* Û Ûí í í = -+ = î+ + =ï ïîî
1 4 6 6
1; 31 21 8
m y m m
yym y
ì ì- + = = = ±ìï ï* Û Ûí í í = -+ = î+ + =ï ïîî
Nếu 26 3 12 6 6 0y x x x= Þ - - + - = 2 3 18 0x xÛ + - = 
9 4.18 81D = + = 1
3 9 3
2
x - +Þ = = ; 2
3 9 6
2
x - -= = - 
Nếu 28 3 16 8 6 0y x x x= - Þ - + - - = 2 11 10 0x xÛ - + = 
phương trinh có nghiệm: 1 21; 10x x= = 
Nếu 21 3 2 6 0y x x x= Þ - - + - = 2 2 8 0x xÛ - - = 
/ 1 8 9D = + = 1 1 3 4xÞ = + = ; 2 1 3 2x = - = - 
Nếu 23 3 6 3 6 0y x x x= - Þ - + - - = 2 6 0x xÛ - = 
1 0xÞ = ; 2 6x = 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: 
( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )}, 3;6 , 6;6 , 10; 8 , 1; 8 , 4;1 , 2;1 0; 3 6; 3x y = - - - - - - 
 3, 2 2 2 2 0x xy y x y+ + - = 
( )2 2 21 0x y xy yÛ - + + = 
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 
( ) ( )2 2 2 2 2 4 4 2 2 24 1 4 4 4 3 4 3y y y y y y y y y y yD = - - = - + = - = - 
Để pt đã cho có nghiệm thì yD là số chính phương 
( )( )2 22 24 3 2 3 2 2 3y m y m y m y mÞ - = Û - = Û - + = 
2 1 2 2 1
12 3 1
y m y y
my m m
ì ì- = = = ±ìï ï* Û Ûí í í = ±+ = = îï ïî î
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 12
Nếu y = 1 2 21 0 1 0 1x x x x xÞ + + - = Û + = Û = - 
Nếu y = -1 2 21 0 1 0 1x x x x xÞ - + - = Û - + = Û = 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ){ ( ) }, 1;1 , 1; 1x y = - - 
d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: 
 Nếu phương trình ( , ) 0x yf = có dạng 2( , ) ( )x y xA B= hoặc 2( , ) ( )x y yA B= Thì 
2
( )
( ) 0
x
x
B m
B
ì =ï
í
³ïî
 hoặc 
2
( )
( ) 0
y
y
B m
B
ì =ï
í
³ïî
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; 
2 2 2
2
( ) ( 9)
( 9) 9(9 2 )
x x y x
x y y
+ + = +
Û + - = -
Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương. 
2
2
18 2 0 9; 0
18 2 4 16 1; 20
18 2 2 4 7; 8
y y x
y y x
y y x
- = Û = =
- = = Þ = =
- = = Þ = =
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1) 
C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn: 
1. Giải phương trình nghiệm nguyên 
a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 -5 = 0 
Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 - ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0 
Û t2 – (y2 + 4)t –(2y4 + 7y2 + 5) = 0 
Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn 
b. Giải phương trình nghiệm nguyên 
x3 + 7y = y3 +7x (x¹y) Û x3 – y3 = 7(x-y) Ûx2 +xy + y2 =7 
 Ûx2 +xy +y2 – 7 =0 
2 2 24 28 28 3y y y yD = - + = - 
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 0yD ³ 
}{2 2 228 3 0 9 1;4;9y y yÞ - ³ Û £ Û Î 
Nếu y = -1 2 2 1 21 7 0 6 0 2; 3x x x x x xÞ - + - = Û - - = Û = - = 
Nếu y = 1 2 2 1 21 7 0 6 0 2; 3x x x x x xÞ + + - = Û + - = Û = = - 
Nếu y = -2 2 2 1 22 4 7 0 2 3 0 1; 3x x x x x xÞ - + - = Û - - = Û = - = 
Nếu y = 2 2 2 1 22 4 7 0 2 3 0 1; 3x x x x x xÞ + + - = Û + - = Û = = - 
Nếu y = 3 2 2 1 23 9 7 0 3 2 0 1; 2x x x x x xÞ + + - = Û + + = Û = - = - 
Nếu y = -3 2 2 1 23 9 7 0 3 2 0 1; 2x x x x x xÞ - + - = Û - + = Û = = 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: 
( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )}, 2; 1 , 3; 1 , 2;1 , 3;1 , 1; 2 , 3; 2 1;2 3;2 1;3 2;3 1; 3 2; 3x y = - - - - - - - - - - - -
III. KẾT LUẬN: 
Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho 
từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp 
giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết 
có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn. 
Ngày 30 tháng 5 năm 2008 
 Người viết: 
 Phan Thị Nguyệt. 
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version 
www.VNMATH.com