Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến

PHÒNG GIÁO DỤC THỊ XÃ BÌNH LONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
®Ò tµi
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM HỆ SỐ 
CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 
Người thực hiện: Giáo viên Toán - Nguyễn Văn Đặng
Đơn vị : Trường THCS An Lộc - Thị Xã Bình Long
N¨m häc : 2011 - 2012
MỤC LỤC
1. Lyù do choïn ñeà taøi	02
2. Nội dung	02
3. Kết luận	06
4.Tài liệu tham khảo	07
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta biết rằng máy tính bỏ túi (MTBT) là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán, giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết được nhiều vấn đề được coi là khó đối với chương trình phổ thông đang học. Học sinh có thể dùng máy tính thực hiện các phép tính phức hợp nhanh chóng, chính xác và tiết kiệm được nhiều thời gian. 
Thực tế hiện nay trong việc thi cử đòi hỏi học sinh phải thực hiện việc tính toán nhanh chóng và chính xác (ví dụ như các môn thi trắc nghiệm :Vật lí,Hóa học.) nếu không có MTBT hỗ trợ thì thí sinh khó có thể hoàn thành bài thi một cách tốt nhất.
Trong thực tế thời gian giảng dạy ,cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn“Giải toán bằng máy tính bỏ túi” ở trường THCS tôi thấy có đã có rất nhiều tài liệu,bài viết.. về việc “giải toán bằng MTBT “ nói chung và “Tìm hệ số của đa thức một biến” nói riêng ,trong phạm vi hiểu biết của bản thân, tôi xin hệ thống lại “Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến” mà một số tài liệu đã trình bày và xin nêu ra một cách mới để thực hiện công việc này.
Đây là một vấn đề mới, một hướng mới trong quá trình dạy và học toán, nhưng tôi cũng mạnh dạn xin đưa ra dây để các bạn đồng nghiệp xem xét và góp ý.
B. NOÄI DUNG
I.Bài toán ví dụ :
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên. Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) 
Giải:
1.Các phương pháp thường dùng để giải bài toán trên:
Cách 1 : (Dùng phương pháp đồng nhất thức)
Đặt P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + a’(x-1) (x-2) (x-3) + b’(x-1) (x-2) + c’(x-1) + d’
Với	 x=1 => P(1)= d’=5
 x=2 => P(2)= c’+5=7 => c’=2
 x=3 => P(3)= 2b’+ 4+5=9 => b’=0
 x=4 => P(4)= 6a’+6+5=11 => a’=0
Do đó P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 2(x-1) + 5= x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39
Vậy a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39
Nhập biểu thức x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 vào máy và dùng chức năng CALC của máy ta tính được: 	P(10)=3089 ; P(11)=5121 ; P(12)=8019; P(13)=11999
Cách 2 : (Lập hệ phương trình)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên. Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) 
Giải:
Ta có 	x=1 => 1+a+b+c+d=5	(1)
x=2 => 16+8a+4b+2c+d=7	(2)
x=3 => 81+27a+9b+3c+d=9	(3)
x=4 => 256+64a+16b+4c+d=11	(4)
Giải hệ phương trình trên ta được a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39
Vậy P(x) = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39
Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1
Cách 3 : (Tìm quy luật số dư)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên .Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) 
Giải:
Ta có 5=2.1 + 3 ; 7 = 2.2 + 3 ; 9 = 2.3+3 ; 11 = 2.4+3
5,7,9,11 là giá trị của 2x+3 khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4
=> P(1)- 2.1 + 3=0 ; P(2)- 2.2 + 3=0 ; P(3)- 2.3 + 3=0 ; P(4)- 2.4 + 3=0
Đặt Q(x)= P(x) - (2x+3) => Q(1)= Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0
Điều này chứng tỏ 1 ; 2 ; 3 ; 4 là nghiệm của Q(x )
Suy ra : Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (hệ số bậc cao nhất bằng 1)
=> P(x) = Q(x)+(2x+3) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)+(2x+3) = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39
Vậy : a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39
Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1
2.Phương pháp giải đề xuất thêm :
Cách 4 :
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tìm các hệ số a;b;c;d của đa thức trên .Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) 
Giải:
Đặt P(x)= (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + g(x) 
=> P(1) = g(1); P(2) = g(2); P(3) = g(3) (*)
Ta thấy bậc của g(x) không lớn hơn 3 (vì bậc của P(x) là 4 ) , giả sử g(x) = Ax2 + Bx + C kết hợp với (*) ta có hệ sau :
	Với 	P(1) = g(1) óA+B+C = 5	(1)
	P(2) = g(2) ó 4A+2B+C = 7	(2)
	P(3) = g(3) ó 9A+3B+C = 9	(3)
Giải hệ ta được : A = 0 ; B = 2 ; C = 3
Vậy g(x)= 2x + 3
Suy ra P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + 2x + 3 = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39
Vậy : a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39
3.Bài tập dành cho bạn đọc 
Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.DÉn:
 Đặt Q(x) = P(x) + H(x) ,làm tương tự phương pháp đề xuất thêm ta được H(x) = -x2
VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2 
Þ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) 
Bµi 2: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. TÝnh 
H.DÉn:
- Gi¶i t­¬ng tù bµi 1, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Tõ ®ã tÝnh ®­îc: 
Bµi 3: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 víi hÖ sè cña x3 lµ k, k Î Z tho¶ m·n:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hîp sè.
H.DÉn:
* T×m ®a thøc phô: ®Æt g(x) = f(x) + (ax + b). T×m a, b ®Ó g(1999) = g(2000) = 0
 Þ g(x) = f(x) - x - 1
* TÝnh gi¸ trÞ cña f(x):
- Do bËc cña f(x) lµ 3 nªn bËc cña g(x) lµ 3 vµ g(x) chia hÕt cho:
 (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
 Þ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) lµ hîp sè.
Bµi 4: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hÖ sè cña bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.DÉn:
- §Æt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. T×m a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 
 ta gi¶i ®­îc: 
Þ g(x) = f(x) - x2 - 2
 - V× f(x) bËc 4 nªn g(x) còng cã bËc lµ 4 vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) Þ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tÝnh ®­îc: A = f(-2) + 7f(6) = 
Bµi 5: Cho ®a thøc f(x) bËc 3. BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
T×m f(10) = ? 
 H.DÉn:
- Gi¶ sö f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 
làm tương tự cho ta kÕt qu¶: 
Þ Þ ta tính được 
II.Kết quả thực hiện :
Trong năm học 2010-2011 vừa rồi,trong việc ôn học sinh giỏi môn MTBT ,tôi đã áp dụng phương pháp thứ tư nêu trên để tìm hệ số của đa thức một biến thấy nó rất hiệu quả : 100% học trò giải quyết tốt các bài toán tìm hệ số của đa thức một biến .
Và giờ đây,việc tìm hệ số của đa thức một biến không còn là vấn đề đối với chúng tôi nữa.
III.Baøi hoïc kinh nghieäm:
Qua ví dụ trên ta thấy, có rất nhiều cách khác nhau để tìm hệ số của đa thức một biến.
Mỗi cách giải đều có tính ưu việt cũng như hạn chế của nó.Việc chọn cách giải quyết nào thì tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể và còn tùy thuộc vào thế mạnh riêng của từng người.
Tuy nhiên qua thực tế ứng dụng cách giải thứ 4 trong tài liệu này thì có thể giải quyết tốt dạng toán trên,tiết kiệm thời gian hơn rất nhiều so với ba phương pháp còn lại,tuy nhiên nếu bài toán cho có số ẩn nhỏ hơn 3 thì ta nên dùng cách 2 (lập hệ phương trình) thì hiệu quả sẻ nhanh hơn
C. KẾT LUẬN
Treân ñaây laø một số phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến maø trong quaù trình giaûng daïy, boài döôõng HS, trao ñoåi cuøng ñoàng nghieäp maø baûn thaân toâi ñaõ toång hôïp ñöôïc. 
Hy vọng việc làm này của tôi sẽ giúp ích được các bạn học sinh,các đồng chí,đồng nghiệp có thêm tài liệu học tập và nghiên cứu về môn MTBT .Vì khả năng và thời gian hạn chế nên tôi xin dừng vấn đề tại đây .Rất mong được sự góp ý của các bạn để tài liệu này được hoàn thiện và mang tính áp dụng rộng rải hơn.
An Lộc,ngày 10 tháng 11 năm2011
Ngöôøi vieát 
	 Nguyễn Văn Đặng 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Hướng dẫn sử dụng và giải toán bằng MTBT của vụ THPT.
2.Giải toán trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS ,fx-570MS của TS Tạ Duy Phượng –NXB GD.
3.Một số đề thi các cấp về Giải toán bằng MTBT
NHAÄN XEÙT, ÑAÙNH GIAÙ VAØ XEÁP LOAÏI
1/ Hoäi ñoàng khoa hoïc tröôøng:
- Nhaän xeùt:
- Xeáp loaïi:
2/ Hoäi ñoàng khoa hoïc Phoøng Giaùo duïc:
- Nhaän xeùt:
- Xeáp loaïi: