Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhân dân ta có truyền thống hiếu học, có ý chí học tập vươn lên. Tinh thần tất cả vì tương lai con em, sẵn sàng chịu khó, chịu khổ nuôi con học tập nên người, đã trở thành truyền thống, tập quán của dân tộc. Tinh thần đó đã tạo nên những nguồn lực nhất định mà toàn xã hội đã và đang giải quyết những mâu thuẫn giữa quy mô và điều kiện phát triển giáo dục.
Đặc biệt trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con người từng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt. Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần tạo cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc độ khác nhau,tìm tòi những cái cũ trong cái mới, cái mới trong cái cũ để từng bước hình thành kiến thức mới. Để phát huy tính tực của học sinh, người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới.
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian.Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; để góp phần cùng cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình. 
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. 
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
 2. Khó khăn
 Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, dôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò.
 3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; ;năm học 2007 - 2008, lớp; , năm học 2008 - 2009, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2007 - 2008 ), trong 92 bài kiểm tra có : 
5 bài diểm 8	tỷ lệ 5,4 %
14 bài điểm 6, 7 	tỷ lệ 15,2 %
27 bài điểm 5 	tỷ lệ 29,4 %
46 bài điểm dưới 5	tỷ lệ 50,0 %
+ Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có :
7 bài diểm 8	tỷ lệ 7,8 %
19 bài điểm 6, 7 	tỷ lệ 21,1 %
26 bài điểm 5 	tỷ lệ 28,9 %
38 bài điểm dưới 5	tỷ lệ 42,2 %
Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả môn toán cuối năm học 2006 - 2007 xếp loại trung bình yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn qúa hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán 
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
	Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ thích hợp, chú ý đến vị trí 
 của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên. 
Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình 
 học tương ứng.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
Các dạng toán thường gặp :
Độ dài đoạn thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
Thể tích khối đa diện
Diện tích thiết diện
Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài 
Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâmg cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau : 
Trong không gian với hệ tọa độ cho :
Với : và , ta có :
Tích có hướng của hai vectơ
[]
 ; 
 cùng phương với []
 đồng phẳng 
M1
M
O
Tọa độ của cá vectơ đơn vị :
Năm 2008, tôi thực hiện chuyên đề : “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình” và đã nhận được nhiều góp ý của quý Thầy trong Hội đồng chuyên môn của Sở. Lần này, tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn về một nội dung :” Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”làm sơ sở ôn tập cho học sinh lớp 12, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi vào cuối năm học
a. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian
Ta có : vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
D’
A’
B’
C’
D
A
B
C
 Với hình hộp đáy là hình thoi 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : 
S
O
A
D
C
B
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng . Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
I
H
C
B
A
S
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
D
A
C
O
B
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) 
S
C
D
A
O
B
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
 Khi đó : 
C
B
A
S
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) 
 Khi đó : 
B
A
C
S
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
 ABC vuông tại C 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) 
Khi đó : 
S
H
C
B
A
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
 ABC vuông tại A 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
C
B
A
H
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
 Tam giác ABC vuông cân tại C có 
 đường cao bằng . 
 H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) 
 Khi đó : 
A
H
C
B
S
b. Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : 
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 
 Hướng dẫn
 Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; 
O
C’
C
B
A
Tìm vectơ pháp tuyến của : 
Mặt phẳng (ABC) 
Mặt phẳng (OBC) 
Mặt phẳng (OCA) 
Mặt phẳng (OAB)
 vì : vì : vì : 
Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: 
Kết luận
Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo vuông góc với mặt phẳng 
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của 
 tam giác .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng và 
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và 
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; 
 ; 
 ; 
 ; 
C
G
–
C’
A’
B’
D’
D
B
A
a. Chứng minh : Nếu 
Ta có : 
Vì Nên 
b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác Phương trình tham số của đường thẳng 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Gọi Toạ độ giao điểm G của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ : (1) 
 Mặt khác : (2) 
So sánh (1) và (2), kết luận 
Vậy giao điểm G của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của tam giác 
c. Tính 
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Ta có : 
 // 
d. Tính 
Vec tơ pháp tuyến của là 
Vectơ pháp tuyến của : 
Vec tơ pháp tuyến củalà Vectơ pháp tuyến của : 
Bài toán 3. Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo và của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 ; ; ; 
 ; 
 ; 
D
B
C’
B’
A’
D’
C
A
Chứng minh và chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ không đồng phẳng.
 Cần chứng minh 
tích hỗn hợp của ba vectơ khác 0
 Ta có : 
 ; 
 ba vectơ không đồng phẳng. 
hay và chéo nhau. 
Tính 
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ; ; . Gọi M là trung điểm của SC .
	1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
	2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. 
 	 Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; 
Ta có : 
; ; ; 
B
 A
C
D
S
N
M
O
1a.Tính góc giữa SA và BM 
 Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Ta có : 
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 ; 
 2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
 Dễ dàng nhận thấy : 
Trong đó : 
 N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N ; ; 
Kết luận
Vậy (đvtt)
Bài toán 5 . Trong không gian với hệ toạ độ cho hình lăng trụ đứng với ; ; ; .
Tìm toạ độ các đỉnh ;. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng . Gọi M là trung điểm của . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với . ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; 
Với : 
 ; ; ; 
 Toạ độ trung điểm M của 
A1	
 A	
B	
C	
C1	
O	
B1	
–	
M	
Toạ độ hai đỉnh ;.
Ta có : 
Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng 
 Viết phương trình mp 
 Tìm bán kính của mặt cầu (S) 
Vectơ pháp tuyến của mp 
 Phương trình tổng quát của mp :
 Bán kính của mặt cầu (S) : 
Phương trình mặt cầu (S) :
(S) 
 Phương trình mặt phẳng (P) : 
Tìm vectơ pháp tuyến của (P) ; 
Vectơ pháp tuyến của (P) : 
Phương trình mặt phẳng (P) : 
Bài toán 6 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); ; ; . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
 có : nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau ; ; ; 
Tính : 
I
H
D
C
B
A
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) 
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Bài toán 7 . Cho hai nửa đường thẳng và vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên và điểm N trên sao cho . Xác định tâm I và tính theo bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Dựng 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; 
Toạ độ trung điểm I của MN 
1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 
Chú ý : 
B
N
A
I
M
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 
 1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : 
 Bán kính mặt cầu : 
 2. Tính 
Chứng minh AM và BI chéo nhau 
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có : ; ; 
Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
; S ; 
A ; C D ; B
N
A
P
M
E
O
C
S
D
B
Toạ độ trung điểm P của SA P; E
M N 
 Vì : 
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
Chứng minh MN và AC chéo nhau 
 Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Ta có : 
 Vì : 
 MN và AC chéo nhau 
Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; . 
Tính diện tích S của tam giác BCD theo 
Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
 Khi đó : 
Ta có : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
C
A
D
B
Tính diện tích S của tam giác BCD b. Chứng minh : 
Ta có : 
Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
 Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
N
M
I
H
A
C
B
S
+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
+ Pháp vectơ của mp (SBC) : 
Diện tích tam giác AMN :
 đvdt
Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; ; và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB SH (ABCD) 
Ta có : 
vuông tại S 
Do đó : đều
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; S ; A ; B ; D ; M ; N
K
D
H
N
M
C
B
A
S
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
 ; 
+ Công thức tính góc giữa SM, DN 
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN 
Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
A ; C; B’ 
M 
 ; 
Chứng minh AM và B’C chéo nhau
A
C
C’
A’
B’
M
B
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
 đvtt
+ Khoảng cách giữa AM và B’C
Vì : 
 AM và B’C chéo nhau
Bài toán 13 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , , , SA vuông góc với đáy và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
M ; N 
 ; 
 ; 
 ; 
S
N
M
D
A
B
C
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
 BCNM là hình chữ nhật
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo 
 đvtt
Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh , . Mặt phẳng qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
Đặt 
 M 
Xác định vị trí điểm M
S
N
M
D
A
B
C
 ; 
Ta có : 
vuông cân tại A 
Pháp vectơ của mặt phẳng :
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :
mặt phẳng hợp với AC một góc 300
 M là trung điểm của SA
+ BCNM là hình thang vuông
+ Diện tích thiết diện BCNM :
Bài toán 15 . Cho hình chóp O.ABC có đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3. Tính để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 A ; B; C 
 M 
A
B
C
C
M
O
H
B
E
A
+Thể tích khối chóp O.ABC
Giải hệ : 
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
(ABC) : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
Bài toán 16 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng . 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
; S ; 
A ; C D ; B
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
C
A
O
S
D
B
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , , , SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
SB : ()
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ làm pháp vectơ
(SCD) : 
S
H
A
I
D
B
C
+ Chứng minh tam giác SCD vuông
 ; 
Tam giác SCD vuông tại C
+ Tính ( theo ) khoảng cách từ H đến (SCD)
Tọa độ điểm H :
+ Khoảng cách từ H đến (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) : 
IV. KẾT QỦA 
Song song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường và mặt, qua việc sử dụng công cụ là dùng phương pháp tọa độ trong trong không gian các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán hình học không gian .
Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp năm và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12, các em đã được hướng dẫn giải một số bài tập liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian.
Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định được tọa độ các điểm liên quan trên hệ trục tọa độ. Kết quả khảo sát qua 2 bài tập như sau :
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BB’. Chứng minh : 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB,AC.AD đôi một vuông góc với nhau tại A. Gọi M là một 
điểm bất kỳ trong tam giác BCD và lần lượt là góc giữa AM và các mặt 
phẳng (ABC), (CAD) ,(DAB). Chứng minh rằng : 
Kết qủa :
 Bài
 Số HS làm bài
 Số HS đạt yêu cầu
 Đạt tỷ lệ %
 1
91
77
84,6
 2
89
69
77,5
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình đã bớt ngán ngại khi gặp một bài toán hình và từng bước đã biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán hình .
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
Để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung ,qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải bài toàn hình, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm sau :
1. Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về những vương mắc có liên quan đến bài học.
2. Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập. Mỗi khi dựng hình, tôi yêu cầu học sinh chú ý từng thao tác và mối quan hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức trước một vấn đề nào đó dù đơn giản hay phức tạp .
3. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và qúa trình tâm lí tái hiện. Sự việc đã trải qua nói ở đây là những sự việc người ta cảm biết được, đã suy nghĩ hoặc đã qua thể nghiệm.Việc làm lại các bài tập đã được 
hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải bài toán hình học.
4. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác. Thể hiện qua những nội dung như : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định toạ độ các điểm hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích .
VI. KẾT LUẬN
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích cao cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi mong ước được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau :
	Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ rằng mình bị bỏ rơi; hãy tìm ra những điều tốt của chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho chúng ngày càng tiến bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. 
	Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em.
	Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mê khi học môn toán ? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tư này cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh. Giải quyết những ưu tư này đòi hỏi nơi giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề, với bộ môn mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt và trên hết là sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh. Đây cũng chính là động lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơn trên bục giảng . 
Rất