Sử dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để giải phương trình

Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình . Đặc biệt có một số phương trình nếu dùng các phương pháp giải thông thường thì rất giải rất khó khăn, nhất là các bài tập dành cho học sinh khá giỏi . Việc sử dụng các dạng toán khác có liên quan đến các dạng toán khác nhiều khi cũng có nhiều tác dụng tích cực . Sau đây là một phương pháp giải phương trình bằng cách “Sử dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để giải phương trình” 
I – Cơ sở lý thuyết : 
Xét phương trình f(x) =a với x ẻ miền giá trị D . Giả sử tồn tại M = Max f(x) ; m = Min f(x) . Phương trình có nghiệm Û m Ê a Ê M đ M = m . Khi đó giá trị của x để xảy ra dấu bằng chính là nghiệm của phương trình 
II – Một số bài toán minh hoạ :
Bài toán 1 : Giải phương trình :
Giải : Điều kiện : 2Ê x Ê 4
Đặt ; đặt g(x) = 
Theo Bu nhi a cốp xki ta có: 
Mặt khác : 
đ Min g(x) = Max f(x) =2 . Do đó phương trình xảy ra khi 
 Vậy nghiệm phương trình là x = 3
Bài toán 2 : Giải phương trình :
Giải : 
Đặt ; đặt g(x) = 
Ta có : 
Mặt khác : g(x) = = 
Phương trình xảy ra khi hai vế bằng nhau bằng 5 . Do đó = 5
Vậy nghiệm phương trình là x = -1 
Bài toán 3 : Tìm m để phương trìnhsau có nghiệm :
= 
Đặt f(x) = Đặt g(x) = 
Ta có : f(x) = = 
 = đ Max f(x) =7 Û x= - 2 
Mặt khác : g(x) = 
 =
 = 
đ Min g(x) = 7 ô m=2 
+ Nếu m= 2 đđ Min g(x) =Max f(x) = 7. khi đó f(x) = 7 ô x =2. 
Còn g(x) = 7ô x = - 1
+ Nếu m ạ2thì g(x) > 7 đ Phương trình vô nghiệm . Vậy với mọi m thì phương trình luôn vô nghiệm . Hay không tìm được m để phương trình có nghiệm 
Bài toán 4 : Giải phương trình :
Giải : Điều kiện : 4Ê x Ê 6
Đặt ; đặt g(x) = 
Theo Bu nhi a cốp xki ta có: 
đ đ Max f(x) = 2 ô x = 5
Mặt khác : 
đ Min g(x) = Maxf(x) =2 . Do đó phương trình xảy ra khi 
 Vậy nghiệm phương trình là x = 5
Bài toán 5 : Giải phương trình : 
Giải : 
Đặt ; đặt g(x) = 
Ta có : 
 đ Min f(x) = 4 ô x = 3
Mặt khác : g(x) = = 
đ Max gx) = 4 ô x = 3
Phương trình xảy ra khi hai vế bằng nhau bằng 4 . Do đó = 4
Vậy nghiệm phương trình là x = 3
Bài tập tự giải : Giải các phương trình sau 
a) 
b) 
Trên đây là một số bài toán áp dụng phương pháp “Sử dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất để giải phương trình”. Mong các đồng nghiệp cùng trao đổi