Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình – bất phương trình

Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
1
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đối với các phương trình, bất phương trình ngoài các dạng quen thuộc, đôi khi 
còn gặp dạng phức tạp mà để giải nó đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Dựa 
trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình, bất 
phương trình.
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên 
D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) 
khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương 
đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta 
chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có 
duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số 
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên 
D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) = g(a).Ta giả sử f(x)
đồng biến còn g(x) nghịch biến.
*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô 
nghiệm khi x > a.
*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô 
nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong
đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và 
chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên 
D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )
Áp dụng các kết quả trên ta có thể giải các phương trình, bất phương trình 
Sau đây là một số ví dụ:
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
2
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
1. 3 7 2 4x x x     .
2. 3 35 1 2 1 4x x x    
3. 3 2 3 23 32 1 2 1 2x x x x      .
4.
2
2
3 2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
        
.
Lời giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ 
sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay VT là một hàm 
đồng biến và x =1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 
là nghiệm duy nhất. 
Vậy ta có cách giải như sau.
TXĐ: 7 57|
2
D x R x
    
 
Xét hàm số ( ) 3 7 2f x x x x     , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
7
1
1 2 7 2'( ) 0,
2 3 2 7 2
xf x x D
x x x

    
  
 nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1) = 4
*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm
*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:* Vì các hàm số y = ax + b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm 
đồng biến thì hàm ( )n f x ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến 
nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức 
dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ 
gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình là 
một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x=1. Do đó phương trình này có 
nghiệm duy nhất x=1 (Cách giải tương tự như bài 1).
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy 
nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối 
liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt 3 23 1, 2u x v x   thì 
phương trình đã cho trở thành: 3 3 3 31 1 ( ) ( )u u v v f u f v      
trong đó 3 3( ) 1f t t t   là một hàm liên tục và có
2
3 23
'( ) 1 0
( 1)
t
f t
t
  

 nên f(t) luôn 
đồng biến. Do đó 2 1( ) ( ) 2 1 1,
2
f u f v u v x x x x         
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
3
Vậy, phương trình có nghiệm x = 1, x = 1
2
 .
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy
 ( 2x2+4x +5) – (x2 + x +3 ) = x2 +3x +2
Do vậy, nếu đặt u = x2 + x +3 , v = 2x2 + 4x + 5 (u,v > 0) thì v- u = x2 + 3x + 2,
khi đó phương trình trở thành:
3 3 3log log log ( ) ( )
u
v u u u v v f u f v
v
           
trong đó 3( ) logf t t t  ,với t > 0.
Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
2( ) ( ) 3 2 0 1, 2f u f v u v x x x x            .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
1.3x + 4x = 5x (1)
2. ( 3 2) ( 3 2) ( 5)x x x    (2)
3. 9x + 2(x-2)3x + 2x – 5 = 0. (3)
Lời giải:
1) Với phương trình trên rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ 
để giải. Tuy nhiên với phương trình (1) ta dễ dàng đoán được một nghiệm của phương 
trình là x =2. Ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất cúa phương trình.
Thật vậy, phương trình (1)  4 3 1
5 5
x x          
Vì hàm số mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến nên 
4 3
( )
5 5
x x
f x           
là hàm số nghịch biến, còn vế phải là hàm hằng.
Do đó nghiệm x = 2 là nghiệm duy nhất.
2) Tuy nhiên, với pt (2) thì không dễ để ta đoán được nghiệm của pt (2) vì nó vô 
nghiệm.
Ở đây ta để ý rằng 3 2 5  và 0 3 2 1  
Do vậy, khi x > 0 ta có    
 
3 2 5
3 2 0
x x
x
  
  
 do đó pt không có nghiệm khi x>0
 Khi x < 0 ta có 
   
 
3 2 5
3 2 0
x x
x
  
  
 do đó pt không có nghiệm khi x < 0
 Với x = 0, rõ ràng không thỏa mãn.
Vậy pt (2) vô nghiệm.
Từ hai phương trình trên ta có thể tổng quát:
Cho phương trình ax + bx = cx (*), với a,b,c đều dương
Khi đó: Nếu a b > c thì pt (*) có nghiệm duy nhất
 Nếu a < c < b thì pt (*) vô nghiệm
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
4
3) Đặt 3x = t > 0, phương trình trở thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x – 5 = 0
 5 2
1
t x
t
 
   , lo¹i
Với t = 5 – 2x ta có 3x = 5 – 2x 
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Vế trái là hàm số đồng biến còn vế phải là hàm nghịch biến.
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: x5 – x2 -2x -1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành 
theo cách sau: 
* Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này
ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số f(x) = x5 – x2 -2x -1
Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = 0 luôn có nghiệm
Giả sử 0x là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó 5 2 20 0 0 02 1 ( 1)x x x x    
Từ đây ta suy ra được 5 20 0 00 ( 1) 1x x x     .
Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x  1
Ta có f’(x) = 5x4 - 2x - 2 = 2x(x3-1)+ 2(x2 – 1) + x4 > 0 nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:
* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là 
hàm đồng biến,do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ 
vào bản thân của phương trình.
* Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có 
cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta 
suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng 
toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó 
hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những 
dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến.
Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
1) 
5
3 3 2 2 6
2 1
x x
x
   

2) 2 22 3 6 11 3 1x x x x x x        
3) 3 22 3 6 16 2 3 4x x x x     
4) 7 3log log (2 )x x 
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
5
Lời giải:
1) ĐK:. 1 3
2 2
x 
Xét hàm số 5( ) 3 3 2 2
2 1
f x x x
x
   

Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6. 
Do đó ( ) 6 (1) 1f x f x    .
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bpt là: T = [1; 3
2
].
2) ĐK : 1 3x 
Bất phương trình tương đương: 2 22 3 1 6 11 3x x x x x x        
2 2( 1) 2 1 (3 ) 2 3x x x x         
Xét hàm số ( ) 2f x x x  
Dễ dàng chứng tỏ được hàm số đồng biến trên [1;3].
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x)  x – 1 > 3 – x
 x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 3x  .
3) ĐK: 2 4x   .
Xét hàm số 3 2( ) 2 3 6 16 4f x x x x x     
Ta có
2
3 2
3( 1) 1
'( ) 0
2 42 3 6 16
x x
f x
xx x x
   
  
, do đó f(x) là hàm đồng biến.
Mặt khác: f(1) =2 3
Do vậy bpt f(x) < 2 3 = f(1)  x < 1.
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là 2 1x   .
4) ĐK: x > 0
Đặt 7log 7tx t x  
Bất phương trình đã cho trở thành t 3log (2 7 )t 
 3 2 7t t  
 1 71 2 ( )
3 3
tt
f t
            
Do f(t) là hàm nghịch biến trên R , f(2) = 1.
Nên bất phương trình f(t) 2 hay 7log 2x   x > 49.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 5 7 16 14x x x x      
2) 32 3 1 3 2
2
x x
x
   

3) 24 1 4 1 1x x   
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
6
4) 2 23 2 1x x x x     
5) 2 21 1 1 1x x x x x x        
6) 8x + 18x = 2.27x
7)
2 1 22 2 ( 1)x x x x    
8) 25 2(3 )5 2 7 0x xx x    
9)lg (x2 – x – 6) +x = lg (x +2) + 4 
10) 32 7log (1 ) logx x 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau 
1) 9 2 4 5x x   
2) 27 2 7 35 2x x x x x     
3) 4 2 43 2 13x x  
4)
23 3 2
0
4 2
x
x
x   

5) 2 3log 1 log 9 1x x   