Tài liệu bồi dưỡng Đại số và giải tích lớp 11

Hàm số liên tục
a.Kiến thức cơ bản:
 1. Các định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và x0D
a) Hàm số liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0)
 xx0
b) Hàm số liên tục phải tại x0 nếu lim f(x) = f(x0)
 xx0+
c) Hàm số liên tục trái tại x0 nếu lim f(x) = f(x0)
 xx0-
d) Hàm số liên tục trên (a,b) nếu hàm số liên tục tại mọi x(a,b).
e) Hàm số liên tục trên [a,b] nếu hàm số liên tục trên (a,b) đồng thời liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
 2. Các định lý về hàm liên tục:
a) Định lí 1: Nếu f(x) , g(x) liên tục tại x0 thì các hàm số f+g ; f-g ;f.g ; f/g (g(x0)0) cũng liên tục tại x0.
b) Định lí 2: Các hàm số sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.
c) Định lí 3: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b].Nếu f(a) f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) , tồn tại ít nhất một điểm c(a,b) sao cho f(c) = M.
Hệ quả 1: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn[a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a,b) sao cho f(c) =0.
Hệ quả 2: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn[a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x(a,b).
b.bài tập áp dụng:
Bài1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số tại một điểm hoặc trên tập chỉ ra:
f(x) = tại x=0. 4. f(x) = tại x=1.
f(x) = tại x=0. 5. f(x) = tại x=2
f(x) = trên R. 6. f(x) = trên R.
Bài2: Tìm a để mỗi hàm số sau liên tục:
f(x) = tại x=0. 3. f(x) = trên R.
f(x) = tại x=1. 4. f(x) = trên R.
Bài3: Tìm a,b để mỗi hàm số sau liên tục trên R:
 1. f(x) = 2. f(x) = 
Bài4: Chứng tỏ rằng mỗi phương trình sau đều có nghiệm thực:
x3 -3x2 +5x -1 =0 3. cosx-x+1 = 0 
x5+3x4+2x3+x2+1=0 4. 2sinx – x +3 = 0 
Bài5: Chứng minh rằng phương trình:
x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng ( -1;3).
x3 – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
x3 +mx2 -1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương ( với mọi tham số m).
a cosx + b sin2x + c cos3x = x luôn có nghiệm ( với mọi a,b,c cho trước)
Bài6*: Cho f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn 3a+4b+6c =0.Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0;1).
Bài7*: Cho f(x) liên tục trên R. Chứng minh rằng : Nếu phương trình f(x) = x vô nghiệm thì phương trình f(f(x)) = x cũng vô nghiệm.
Bài8*: Cho f(x) liên tục trên đoạn [-1;1] . Chứng minh rằng phương trình :
 x2.f2(x) – 2f(x) + x = 0 có nghiệm trên đoạn [-1;1]
Bài9*: Cho f(x), g(x) đều là các hàm số liên tục trên R đồng thời thỏa mãn f(g(x)) =g(f(x)) với mọi x thuộc R. Chứng minh rằng nếu phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm thì phương trình f(f(x)) = g(g(x)) cũng vô nghiệm.