Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS “ . “Tài liệu bồi dưỡng môn Đại số 9
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS “ . “Tài liệu bồi dưỡng môn Đại số 9, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong huyện ! Nhằm giúp quý Thầy giáo , cô giáo có được một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh năng khiếu bộ môn Toán của cấp Trung học cơ sở , bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo các ý kiến của các thầy giáo , cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy bộ môn , biên soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS “ . “Tài liệu bồi dưỡng môn Đại số 9 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trên. Chương trình bồi dưỡng là những bài tập định hướng cho các mục nội dung đã nêu ở chương trình. Mỗi nội dung có thể có một số dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng bài tập được nêu bằng một đến hai bài tập đại diện cho dạng. Giáo viên cần chọn những kiến thức cơ bản và cụ thể nhất (theo từng đề mục đã nêu ở chương trình) để cung cấp kiến thức cho các em. Đi nhanh đối với kiến thức đã được học ở chương trình chính khóa, các kiến thức mới (nâng cao ) được trình bày ngắn gọn. Cho học sinh làm các bài tập để qua đó trình bày phương pháp giải là phương pháp nên được dùng. Các bài tập trong tài liệu giúp giáo viên chọn bài tập tương tự tạo thành lớp bài toán cho dạng toán cần giảng. Một số định hướng về kỳ thi chọn học sinh giỏi được vụ THPT giới thiệu trên tạp chí trung học phổ thông số 25 (Tháng 1 năm 1999), các trường tham khảo để biết định hướng cấu trúc đề cũng như tham khảo các đề đề nghị .Phòng cũng gởi đến các trường toàn bộ đề thi cấp huyện, tỉnh, quốc gia của các năm gần đây để các trường tham khảo. Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí Thầy giáo , cô giáo . Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế sơn rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa và bổ sung những gì còn thiếu sót . Hy vọng tập tài liệu sẽ có ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy , cô. Bộ phận chuyên môn - THCS PHẦN I : BÀI TẬP ĐỊNH HƯỚNG NỘI DUNG I. Số thực - Căn bậc hai : Định nghĩa số vô tỷ : Chứng minh một biểu thức là vô tỷ hoặc hữu tỷ (Chủ yếu sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ): Dựa vào định nghĩa số hữu tỷ (là phân số a/b trong đó (a,b)=1 ), để chứng minh một biểu thức số nào đó là một số vô tỷ bằng phương pháp chứng minh phản chứng. Căn bậc hai của số không chính phương là số vô tỷ, tổng hiệu, tích thương của số vôtỷ với số hữu tỷ , số vô tỷ với nhau ..... cũng cần được trình bày như là một bài tập hoàn thiện lý thuyết. Bài toán1: Chứng minh \/5 là số vô tỷ . Bài toán2: a. Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là số vô tỷ. b. Chứng minh tích một số hữu tỷ với một số vô tỷ là số vô tỷ. c. Chứng minh phương trình x3 +3x2+8x+ 10\/2 = 0 có nghiệm là số vô tỷ. ( Dựa vào bài tập này giáo viên cho học sinh một số bài tập chứng minh một biểu thức là hữu tỷ hoặc vô tỷ dựa vào thành phần đã cho là hữu tỷ hoặc vô tỷ ) Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu a,b là số hữu tỷ và \/a + \/ b là số hữu tỷ thì \/a , \/b là số hữu tỷ.(Bài tập này có thể cho học sinh làm bài tập luyện tập sau phần các phép biến đổi về căn thức ) . Bài toán dựng đoạn thẳng có giá trị độ dài là một biểu thức chứa căn khi cho độ dài đoạn thẳng đơn vị (bằng 1). Bài tập dạng này chủ yếu dựa vào các đoạn thẳng đặc biệt (\/2 : đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh băng 1; \/3 /2 : độ dài đường cao tam giác đều ... ) cùng với việc vận dụng định lý Pitago; định lý talet .... để dựng đoạn thẳng có giá là biểu thức chứa căn. Khái quát việc dựng một đoạn thẳng có giá trị độ dài bằng căn bậc hai của giá trị độ dài đọan thẳng đã biết để dựng bất kỳ đoạn thẳng có giá trị độ dài là một biểu thức chứa căn bậc hai. Bài toán4: Trên mặt phẳng cho trước đoạn thẳng có độ dài bằng đơn vị .Bằng thước và compa có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài \/1 + \/2 không ? Nếu được, nêu cách dựng . 2. Căn bậc hai - Điều kiện tồn tại - Hằng đẳng thức a2 = | a|: Tìm giá trị của biến để căn bậc hai có nghĩa. Bài tập cần chú ý để tập giá trị các biến có thể là : Tập rỗng; Tập có một phần tử ; Tập là một khoảng; Tập là một đoạn; Tập là toàn trục số. Thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai dựa vào hằng đẳng thức, chú ý bài tập rèn luyện kỷ năng biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai về dạng bình phương và hằng đẳng thức a2 = |a|. Bài toán 5: Rút gọn các biểu thức : a. 7 + 4\/3 b. 13-4\/ 3 c. P(a) = a + \/ a + 1/2 + \/ a + 1/4 Giới thiệu căn bậc cao và chọn giải một số bài tập về biến đổi căn bậc ba, đưa thừa số vào,ra đấu căn. Bài toán 6 : Rút gọn biểu thức : A = ( \/ 2 + 1 )3(\/ 2 -1) B = \/m\/m\/m 3. các dạng toán biến đổi căn bậc hai : Thực hiện biến đổi các căn bậc hai có vận dụng kiến thức khai phương một tích , khai phương một thương và nhân chia các căn bậc hai. Bài toán 7: Rút gọn biểu thức : \/11+\/3 . \/4+\/5+\/3 . \/3+\/5+\/5+\/3. \/3-\/5+\/5+\/3 \/59 (Đề thi HSG cấp tỉnh 96-97) Dạng toán so sánh hai căn bậc hai. Bài toán 8: Thực hiện so sánh a. \/ 6+\/ 20 và \/ 1 + \/ 5 b. Dạng tính biểu thức A bằng cách đi tính A2 hoặc A3. Bài toán 9: Rút gọn biểu thức : a. A = \/7 -2\/6 - \/7 + 2\/6 b. B = \/2x + \/4x-1 - \/2x-\/4x-1 c C = \/5\/2 + 7 - \/5\/2 -7 Bài toán 10: Cho X = \/a + \/a2+b3 - \/ \/a2+b3 -a . Chứng minh rằng : X3 + 3bX -2a = 0 Dạng toán trục căn ở mẫu (Chú ý việc áp dụng hằng đẳng thức an-bn để trục căn biểu thức có chứa căn bậc ba). Bài toán 11 : Trục căn các biểu thức sau : a. 1 b. 1 \/1 + \/2 + \/3 \/9 + \/6 +\/4 c . A= 20 3+\/5 + \/2 + 2\/5 Dạng toán tính từ cuối : Bài toán 12: Thực hiện tính : a. \/6 + \/6 + \/6 ....... \/ 9 b. \/6 + \/6 + \/6 ..... \/8 . Bài toán 13 : Thực hiện rút gọn : A = x 2 + x 2 + x .................... ( có 1999 lần 2 + ....) 2 + x 1 +\/ 1 + x Dạng tóan sai phân. Bài toán 14: Thực hiện tính giá trị của biểu thức 1 1 1 a. A = + + .... + . \/1 + \/2 \/2 + \/3 \/24 + \/25 b. Đặt Sn= a1+a2+.....+an. Với an = 1 . Tính S99 (n+1) \/n +n\/n+1 5. Các dạng bài tập chung về căn bậc hai : Chứng minh một số đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản có liên quan đến căn bậc hai. Bài toán 15: Chứng minh các bất đẳng thức sau : Cho a,b là hai số không âm .Chứng minh rằng : a+b > 2\/ab. (*) Cho a,b,c không âm .Chứng minh : (a+b)(b+c)(c+d) > 8abc a + b + c > \/ab + \/bc +\/ca \/(a+c)(b+d) > \/ab + \/cd Cho n số không âm : a1, a2.......an có a1a2... ..an=1.Chứng minh : (a1+a2)(a2+a3).....(an-1+an) > 2n. Bài toán 16: Cho bố số thực a,b,c,d. Chứng minh rằng : |ac+bd|< \/(a2+b2)(c2+d2). (**) Aïp dụng : Cho x,y là nghiệm của phương trình 3x+4y = 7. Chứng minh : x2+ y2 = 49/25 ( Khi dạy chú ý việc khắc sâu hai bất đẳng thưc công cụ (*) và (**) ) Bài toán 17: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dương thỏa mãn b=(a+c)/2 thì ta có : 1/( \/a+\/b) +1/(\/b+\/c) =2/(\/c+\/a) Dạng toán cực trị Bài toán 18: Cho M=a+b+c. Tìm giá trị nhỏ nhất của a2+b2+c2 theo M . ( Đề thi HSG tỉnh năm 97-98 ) Chứng minh rằng với Vx ta luôn có : \/3x2 + 6x +12 + \/5x4-10x2+9 > 5 Aïp dụng : Giải phương trình sau : \/3x2 + 6x +12 + \/5x4-10x2+9 = 3-4x-2x2 ( Vô địch toán Liên xô ) Cho B = \/(a + 4/a2)2 - 8(a+ 2/a)2 +48 Rút gọn B. Tìm giá trị nhỏ nhất của B. Giải một số phương trình vô tỷ bằng cách biến đỗi căn bậc hai . Bài toán 19: Giải phương trình : 1 + 1 + 1 = 1 \/x+3 + \/x+2 \/x+2 + \/x+1 \/x+1 + \/x Giải phương trình bằng cách biến đổi thành tổng các bình phương. Bài toán 20 : Giải các phương trình sau : \/x-2 + \/y-3 + \/z-5 = 1/2(x+y+z-7) x\/y-1 + 2y\/x-1 = 3xy/2 c. \/x +\/y-1+\/z-2 = 1/2(x+y+z) (Thi học sinh giỏi lớp 10 Rumani -1977 ) II. Hàm số bậc nhất - Phương trình bậc nhất - Hệ phương trình bậc nhất 1. Hàm số bậc nhất : Các bài toán liên quan đến định nghĩa ,nhất là định nghĩa giá trị của hàm số tại một giá trị của biến. Bài toán 21 : Xác định hàm số y = f(x) biết rằng : f( x+2) = 2x-1 f(x-1) = x2 - 3x + 3 Bài toán 22: Hàm số y = f(x) xác định với mọi x thuộc R và biết rằng f(a+b) = f(ab) với mọi a,b và f(-1) = -1. Tính f(1999). Đồ thị hàm số bậc nhất , đồ thị của hàm bậc nhất chứa gía trị tuyệt đối. Bài toán 23: Cho hàm số y = |x| + |1-x| . Vẽ đồ thị hàmh số. Tìm giá trị nhỏ nhất. Biện luận theo m số nghiệm cúa phương trình. Bài toán 24: Tìm các điểm M (x,y) thỏa : |x| + |y| = 2 Bài tập về tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số thỏa một số điều kiện nào đó - Bài toán biện luận số nghiệmdựa vào sự tương giáo của đồ thị hàm số (Giáo viên tự chọn ) 2. Phương trình bậc nhất : Giải phương trình bậc nhất (chứa tham số bằng chữ ) Bài toán 25: Giải phương trình bậc nhất ẩn số x : (Đề đề nghị -Tạp chí THPT số 25) (x-ab)/(a+b) + (x-ac)/(a+c)+(x-bc)/(b+c) = (a+b+c) 3. Hệ phương trình bậc nhất : Bài tập rèn luyện kỷ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng các phương pháp công đại số và phương pháp thế, đổi biến (giáo viên chọn giải các bài tập nâng cao ở SGK ). Bài toán 26: Giải hệ phương trình sau : 10/\/12x-3 + 5/\/4y+1 = 1 7/\/12x-3 + 8/\/4y+1 = 1 Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số (dạng đặc biệt) bằng cách phối hợp phương pháp cộng và phương pháp thế. Bài toán 27: Giải hệ sau : a. x1 + x2 = 1 b. x1 + x2 + x3 = 0 x2 + x3 = 1 x2 + x3 + x4 = 0 ............. ................. x6 + x7 = 1 x6 + x7 + x1 = 0 x7 + x1 = 1 x7 + x1 + x2 = 0 (TCT 1969) c. x - 1/y = 1 y -1/z = 1 z -1/x = 1 (Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 - Nguyễn Đức Tấn ..) Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số (dạng đặc biệt ) bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. Bài toán 28: Giải hệ sau : x1 -1 = x2 - 2 = ........ x9 -9 9 8 1 x1 + x2 + x3 + . . ....+ x9 = 90 Một số bài tập giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số không mẫu mực. Thật ra cách giải hệ phương trình loại này trong chương trình toán cấp hai chủ yếu cũng là vận dụng phối hợp phương pháp cộng và phương pháp thê ú cùng với việc đổi biến thích hợp. Tuy nhiên, trong các bước giải có khá nhiều thao tác biến đổi Bài toán 29: Giải hệ sau : a. ax + y + z = 1 b. xy/(x+y) = m x + ay + z = a xz/(x+z) = n (m,n,p = 0) x + y + az = a2 yz/(y+z) = p (Tuyển các bài toán cấp hai - Lê Hải Châu ) III. Phương trình bậc hai : Dạng toán liên quan đến định nghiã nghiệm của phương trình bậc nói chung và nghiệm của phương trình bậc hai nói riêng. Bài toán30: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : ax2 + bx +c =0 Đặt Sn = x1 n + x2 n với n thuộc Z. Chứng minh rằng : aSn + bSn-1 + cSn-2 = 0 Aïp dụng : Không khai triễn, tính các biểu thức sau : A = (1+\/2 )6 + (1-\/2 )6 B = 1 + 1 (1+\/3 )4 (1-\/3 )4 (Tuyển 124 bài toán phương trình - Sở GD-ĐT T.P HCM) Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm, nghiệm thỏa một điều kiện nào đó . Bài toán31: Với giá trị nào của m thì phương trình (m-1)x2 - (2m-1) + m+5 = 0 Có hai nghiệm trái dấu. Hai nghiệm cùng dương. Có đúng một nghiệm. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm với các (với mọi ) giá trị của tham số. Bài toán 32: Chứng minh rằng phương trình : (x-a)(x-b) +(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = 0 có nghiệm với mọi giá trị của a,b,c. (Đề thi học sinh giỏi toán Aïo 1974) Bài toán 33: Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình sau vô nghiệm : a2x2 +(a2+b2-c2)+b2 = 0. (Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 - Nguyễn Đức Tấn ) Bài tập liên quan đến định lý Vi-et thuận và đảo. Dạng tìm f(x1,x2) mà không giải phương trình. Bài toán34: Cho phương trình : x2 -2x-15=0. Không giải phương trình, tính : Tổng và tích các nghiệm. Tổng nghịch đảo các nghiệm. Tổng bình phương các nghiệm. Bình phương của hiệu các nghiệm. Hiệu các nghiệm. Xác định tham số để f(x1,x2) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài toán 35: Cho phương trình bậc hai : x2 -2(m - 3)x - 2(m-1) =0 (1). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các bình phương hai nghiệm phương trình (1) Lập phương trình có nghiệm liên hệ với nghiệm của một phương trình cho trước mà không giải phương trình. Bài toán36: Cho phương trình x2 -2x-35 =0. (1) Tìm tổng các bình phương và hiệu các bình phương hai nghiệm của phương trình (1). Lập phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm của (1). Lập phương trình có các nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của (1). IV.Phương trình quy về phương trình bậc hai : Phương trình có ẩn trong giá trị tuyệt đối. Bài toán 37: Giải các phương trình sau : 3x2-14|x| + 5 = 0 | x2 - 3x +2 | = x-2 Phương trình dạng phân thức. Bài toán 38: Giải các phương trình sau : x2 + 1/x2 + x + 1/x = 4 1 + 1 = x 1 + 1 1 + 1 x Phương trình dạng căn thức (phương trình vô tỷ) Ngoài dạng chuẩn giáo viên cần chú ý đến các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số, một số bài toán đễ dàng suy ra nghiệm sau khi đặt điều kiện cho ẩn Bài toán 39: Giải các phương trình sau : a. \/2x+14 - \/x-7 = \/x +5 b. \/x-1 + \/3-x = x2 -4x+6 4. Phương trình bậc cao: Phương trình trùng phương (Giáo viên tự chọn bài tập). Phương trình tích (Giáo viên tự chọn bài tập ). 5. Một số dạng phương trình bậc cao khác. Phương trình đối xứng bậc chẵn. Bài toán 40: Giải phương trình : 6x4 + 5x3 -38x2 +5x+6 = 0 Phương trình đối xứng bậc lẻ. Bài toán 41: Giải phương trình : 3x3+ 13x2+13x+3 = 0. Hai dạng toán này được trình bày khá kỹ ở sách đại số 10, giáo viên có thể tham khảo và chọn bài tập tương tự . Phương trình bậc lẻ có bậc lớn hơn 3 là quá khó đối với học sinh cấp 2 nên phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 3) có thể giải theo hường : nhận xét -1 là nghiệm ; chia hai vế cho x+1; Giải phương trình bậc hai để xác định các nghiệm còn lại. Phương trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e (Với a+d=b+c) Bài toán 42: Giải phương trình : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 9 Phương trình dạng : (x+a)4 + (x +b)4 = c (Với a-b = 2) Bài toán 43: Giải phương trình : (x+2)4 + x4 = 2 V. Hệ phương trình bậc hai : Giải hệ phương trình bậc hai bằng phương pháp cộng và phương pháp thế. Bài toán 44: Giải hệ phương trình sau : a. x2 + y2 + z2 = 27 xy + xz + yz = 27 b. x+ y + z = 6 x2 + y2 + z2 = 12 Tách hệ khi có một phương trình trong hệ là phương trình tích hoặc các phương trình trong hệ có chứa giá trị tuyệt đối. Bài toán 45: Giải hệ phương trình sau : a. | x | + 3y = 7 b. x2 -6y2-xy-2x+11y = 3 2x + 2 |y-1| = 3 x2+ y2 = 5 Giải hệ phương trình bậc 2 dạng mẫu mực: Hệ phương trình đối xứng loại 1(bậc hai). Bài toán 46: Giải hệ phương trình sau : a. x2 + y2 = 17 x+y+xy = 9 b x3 + y3 = 2 xy(x+y) = 2 (Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 - Nguyễn Đức Tấn ) Hệ phương trình đối xứng loại 2 (bậc hai). Bài toán 47: Giải hệ phương trình sau : x2 -3x +6 = 2y y2 -3y +6 =2x (Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 - Nguyễn Đức Tấn ) Hệ phương trình đẳng cấp (bậc hai). Bài toán 48 : Giải hệ phương trình sau : 2x2 -xy +3y2 = 13 x2 +4xy -2y = -6 (Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 - Nguyễn Đức Tấn ) Một số hệ phương trình bậc hai không mẫu mực khác. Bài toán 49: Giải hệ phương trình sau để tìm các nghiệm dương : 2x2/(1+y2) = y 2y2/(1+y2) = z 2z2/(1+z2) = x Bài toán 50 : Giải hệ phương trình sau : x1 = 1/2(x2+1/x2) x2 = 1/2(x3+1/x3) ......................... x1999 = 1/2(x1+1/x1) PHẦN II : ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC CẤP ĐỊNH HƯỚNG VIỆC DẠY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Đề thi học sinh giỏi của Phòng GD&ĐT Quế Sơn từ năm 1997 đến nay. Đề thi học sinh giỏi của sở GD&ĐT QN-ĐN từ năm 1993 đến nay. Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1998 (Năm 1999 không thi ) Định hướng công tác dạy - thi bồi dưỡng học sinh giỏi(Trích tạp chí THPT). Đề thi đề nghị (Trích tạp chí THPT) PHẦN III : SƠ LƯỢC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài toán 1 : Chứng minh \/ 5 là số vô tỷ : Tương tự bài toán chứng minh \/ 2 là số vô tỉ (SGK Đại số 9) Bài toán 2 : Trước khi giảng bài này cần giảng bài tập phục vụ : Chứng minh tổng, hiệu, tích, thương các số hữu tỉ là số hữu tỉ. Gọi A = p/q ; B = m/n là các số hữu tỉ ( p,q,m,n thuộc Z; q,n,m khác không). Có A + B = (mq + np )/nq A.B = pm/qn Là các số hữu tỉ A/B = pn/qm Gọi : A là số hữu tỉ ; B là số vô tỉ . Đặt : S = A + B P = A.B Giả sử S là số hữu tỉ . Ta có B = S-A là số hữu tỉ . Vô lí ! Vậy S phải là số vô tỉ. Tương tự giả sử P là số hữu tỉ . Ta có B = P/A là số hữu tỉ . Vô lí . Vậy P là số vô tỉ. Giả sử x là số hữu tỉ . Dễ dàng chứng minh được X3; 3x2; 8x là các số hữu tỉ. 10\/2 là số vô tỉ (theo b) nên x3 + 3x2+8x+10\/2 là số vô tỉ . Dẫn đến 0 là số vô tỉ. Vô lí !. Vậy nghiệm x của phương trình là số vô tỉ (Phương trình bậc ba luôn có nghiệm thực ). Bài toán 3 : Có a,b là các số hữu tỉ nên a - b = (\/a - \/b)( \/a + \/b ) là số hữu tỉ. Do \/a + \/b (1) là số hữu tỉ nên (a-b)/( \/a+\/b) = \/a-\/b (2) là số hữu tỉ. Cộng (1) và (2) được 2\/a là số hữu tỉ nên \/a là số hữu tỉ. Tương tự chúng minh \/b là số hữu tỉ . Bài toán 4 : Ngoài cách dựng đã nêu ở tạp chí THPT có thể dựa vào định lý mở đầu của định lý Pitago để có cách dựng sau : K KA2 = AB.AC KA = \/AB.AC = \/1(1+\/2 A 1 B 1+ 2 C Qua bài tập này giáo viên khái quát cách dựng đoạn thẳng \/x khi dựng được đoạn thẳng x. K A B C x Qua bài tập này, hoàn toàn dựng được đoạn thẳng \/ 2 ; \/3; \/x mà không cần dựa vào tính chất đường chéo hình vuông hay đường cao tam giác đều. Bài toán ngược : cho đoạn thẳng có độ dài bằng x. Dựng đoạn thẳng có độ dài x2 . Bài toán 5 : Câu a,b : Biến đổi biểu thức trong dấu căn thành bình phương một biểu thức. Câu c : Chú ý việc phân tích a+1/2 = a+1/4 + (1/2)2 để đưa biểu thức trong dấu căn về dạng bình phương của tổng . Phối hợp với việc sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 để ra các bài tập là công việc mà giáo viên cần làm . Bài toán 6 : Rút gọn biểu thức : A = (\/2 +1 )2( \/2 +1)( \/2 -1) = (\/22 +2\/2+1 )( \/22 -1) = \/16 + 2\/8 + \/4 -\/4 -2\/2 - 1 = 3 B = \/m \/m \/m = \/ \/m\/m = \/ \/ \/m = \/ m = \/ m Bài toán 7 : Thực hiện áp dụng hằng đẳng thức a2 - b2 tính từ cuối. Kết qủa : \/2 Bài toán 8 : Có : \/ 1+ 2\/5 + 5 = \/ \/5 + 1 Vậy \/ 6 + \/20 = \/ \/5 +1 Một số bài toán so sánh A với B bằng cách so sánh A2 với B2 hoặc tính A-B.... Giáo viên cần sưu tầm thêm các dạng bài tập này. Bài toán 9 : Thực hiện tính A2 rút gọn được A2 = 4 nên A = 2. Thực hiện tính B2 tương tự. Thực hiện tính C3 , chú ý việc thay biểu thức bằng C để đưa về phương trình : C3 + 3C -14 = 0 C3 - 8 + 3C - 6 = 0 (C-2)(C2 +3C+7) = 0 Giải phương trình được nghiệm C = 2. Bài toán 10 : Tương tự , tính X3 = ... thay biểu thức bằng X rút gọn để được : X3 +3bX - 2a= 0. Bài toán 11 : Thực hiện việc nhóm nhân lượng liên hợp để trục căn bậc hai . Thực hiện biến đổi được 1 nhân với lượng liên hợp \/3 + \/2. \/3 + \/2 \/3-\/2 để trục căn ở mẫu. Bài toán 12: Tính từ cuối có 6+\/9 = 9. Thực hiện 1999 lần được kết quả là 3. Tương tự tính từ cuối được kết quả là : 2. Bài toán 13 : x Có 2 + = 1 + \/ 1+ x 1 + \/ 1+ x Thực hiện tính từ cuối được A = \/ 1+ x - 1 Bài toán 14 : a. Có : 1/ (\/ n +\/ n+1) = \/n +1 - \/ n. Thay vào ta được A = \/ 2 -\/ 1 +\/ 3 -\/ 2 ...... \/ 25 - \/24 = \/25 - \/ 1 = 4 b. Trục căn ở mẫu, rút gọn được an = 1/\/ n -1/\/ n+1 S99 = 1/\/ 1 -1/\/ 2 +1/\/ 2-1/\/ 3 ...........1/\/ 99 -1/\/ 100 = 1-1/10 = 9/10 Bài toán 15 : a. Do a,b không âm nên \/ a, \/ b có nghĩa Có : ï( \/ a - \/ b )2 > 0 a + b -2\/ a. \/ b >0 a + b > 2\/ a.b b . Aïp dụng : a + b > 2\/ ab (1) b +c > 2\/ bc (2) c + a > 2 \/ ac (3) Nhân (1),(2),(3) vế theo vế (do cả hai vế đều không âm ) ta được (a+b)(b+c)(c+a) > 8abc. Bình phương hai vế (không âm )ta được : (a+c)(b+d) > ab + cd + 2\/ ab. \/ cd ab +cd +ab+cd > 2 \/ abcd ( Đúng theo a.) Aïp dụng : Có : a1 + a2 > 2\/ a1a2 ........ an-1 +an >2\/ an-1an Nhân vế theo vế ( không âm ) n bất đẳng thức ta được : (a1+a2)(a2+a3).....(an-1 an) > 2n\/ (a1.a2......an)2 (a1+a2)(a2+a3).....(an-1 an)> 2n Bài toán 16 : Thực hiện bình phương hai vế không âm , rút gọn để được : a2d2 + b2c2 > 2\/ a2b2c2d2 đúng theo 15a. Suy ra điều phải chứng minh. Aïp dụng : Có : \/ (x2+y2)(32+44) > |3x +4y| (x2+y2)25 > 49 x2 +y2 > 49/25 Bài toán 17 : Thực hiện quy đồng, biến đổi tương đương để được điều cần chứng minh. Bài toán 18 : Có : M2 = a + b + c +2\/ ab + 2\/ ac + 2\/ bc Nên : M2 < 3(a+b+c) Vậy giá trị nhỏ nhất của a+b+c là M2/3 Có : \/ 3x2 +6x+12 = \/ 3(x2+2x+1)+9 > 3 (1) \/ 5x4 -10x2 +9 = \/ 5(x4-2x2+1)+4 > 2 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được điều phải chứng minh. c. Aïp dụng : Có : 3-4x-2x2 = 5 - 2(x+1)2 >5 Kết hợp với b. dấu “=” xảy ra khi ..... để giải Bài toán 19 : Thực hiện trục căn ở mẫu, rút gọn đưa về phương trình vô tỉ đơn giản : \/ x+3 - \/ x = 1 để giải được nghiệm x = 1. ( Chú ý : Đối với bài này thực hiện thử lại để kết luận nghiệm đơn giản hơn đặt điều kiện ) Baì toán 20 : Giải các phương trình : x+ y + z -2\/ x-2 -2\/ y-3 - 2\/ z-5 -7 =0 (x-2) -2\/ x-2 + 1 + (y-3 ) -2\/ y-3 +1 + (z-5) -2\/ z-5 +1 -3+10-7 =0 (\/ x-2 -1)2 + (\/ y-3 -1) + (\/ z-5 -1)2 = 0 Dễ dàng suy ra nghiệm từ phương trình dạng tổng các bình phương bằng không này. x+ y+ z -2\/ x -1 - 2\/ y -2 -\/ z -3 =0 . Giải như bài a. Điều kiện : x > 1; y >1. 3xy -2x\/ y-1 -4y\/ x-1 = 0 xy - 2x\/ y-1 + 2xy - 4\/ x-1 = 0 x(y-1 -2\/ y-1 +1 ) + 2y(x-1 -2\/ x-1 + 1) = 0 x (\/ y-1 - 1)2 + 2y(\/ x-1 -1)2 = 0 Cùng với điều kiện , đây cũng là dạng phương trình tổng các bình phương bằng không. Bài toán 21: Xác định hàm số f(x) biết : f(x+2)+ = 2x -1 Đặt t = x + 2 => x = t-2 ta có f(t) = 2(t-2) -1 = 2t -5 Vậy f(x) = 2x-5 là hàm cần xác định . Giải hoàn toàn tương tự được hàm cần xác định là : f(x) = x2 - x +1. Bài toán 22 : Tại a = 0 có f(b) = f(0) Tại b= 0 có f(a) = f(0) Vậy f(a) = f(b) với mọi a,b nên f(1999) = f(-1) = -1 Bài toán 23 : Vẽ đồ thị hàm số : cần xét các đoạn để được các hàm bậc nhất tương ứng.Vẽ đồ thị hàm này trên các đoạn Dựa vào đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất. Ngoài ra có thể nhắc lại phương pháp tính giá trị nhỏ nhất dựa vào bất đẳng thức |a| +|b| > | a+b| Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số với đường y = m để biện luận số nghiệm. Bài toán 24: Thực hiện vẽ đồ thị hàm số |y| = 2 -|x| như đã xét ở trên. Chú ý do |y|< 2 nên chỉ xét y ở các đoạn [-2,0] và [0,2]. Tương tự đối với x. Bài toán 25 : Xem đáp án trang 33 Bài toán 26 : Thực hiện đặt ẩn phụ X= 1/\/ 12x- 3 ; Y = 1/\/ 4y +1 ; ĐK : ... Hệ phương trình trên được đưa về hệ phương trình bậc nhất thông thường. Thực hiện giải sau đó giải các phương trình vô tỷ đơn giản để tìm nghiệm x,y. Bài toán 27 : a. - Thực hiện cộng bảy phương trình của hệ vế theo vế để được (x1 +x2..........+x7) . - Tính được (x1+x2) +(x3+x4)+ (x5+x6) . Từ đó tính được x7. Lần lược tính các ẩn còn lại. Cách giải tương tự câu a. Chú ý việc tính x1 + .....x6 để tính x7 và x2+.....x7 để tính x1 . dựa vào hai ẩn đã biết này tìm các ẩn còn lại. Thực hiện giải băng phương pháp thế. Bài toán 28 : Aïp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, từ phương trình (1) ta được : (x1-1)/9 =
File đính kèm:
dai so 9.doc
