Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi hình học Lớp 8

Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối BA lấy 1 điểm E, trên tia đối của CB lấy 1 điểm F sao cho EA = FC.
Chứng minh rằng tam giác FED vuông cân.
b. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD, gọi I là Trung điểm FE. Chứng minh rằng O,C,I thẳng hàng
 
HD GIẢI:
C/m : DADE = DCDF 
Þ DE = DF ; = 
C/m : OB = OD; CB = CD; IB = ID 
Cho tam giác ABC vuông tại A. (AC>AB),Đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ có chứa AH vẽ hình vuông AHKE.
 Chứng minh rằng > 450.
Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân.
Gọi Q là đỉnh thứ tư của Cho hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh rằng H,I,E thẳng hàng.
Chứng minh rằng HE//QK

HD GIẢI:
b.C/m : DAHB = DAEP
c.C/m : ABQP là hình vuông
H; I ;K cách đều AK
d. C/m DAQK vuông ( Tính chất t/tuyến = ½ cạnh)
Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy 1 điểm tùy ý. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tại F. Chứng minh rằng MA = FE


HD GIẢI:
Kẻ EG // BC.C/m : DAME= DEGF.

Cho hình vuông ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC. Biết = 450 .Chứng minh rằng chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD 


HD GIẢI:
Lấy ID = BE.C/m EF = IF 
Cho hình vuông ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC sao cho chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD . Chứng minh rằng = 450 . 


HD GIẢI:
C/m : DAID = DAEB;DAIF = DAEF
 Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm,AB = 4 cm,cạnh xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
Chứng minh rằng : điểm N nằm trên tia phân giác góc ABM.
Chứng minh rằng : BC2 = BN2 + ND2 + DC2
Tính diện tích hình thang ABCD 
 

 b.C/m N nằm trên tia p/g Þ DBNC vuông
c.Tính BH = 12cm
Cho các điểm E và F nằm trên các cạnh AB và BC của Cho hình bình hành ABCD sao cho FA = EC. Gọi I là giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC 
 
 
HD: SDAFD = SDCED = SABCD Þ DH = DK
Cho hình thoi ABCD có góc B tù . Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng . Tính các góc hình thoi

 HD: DIMN đều Þ = 300 Þ = 750 Þ = 1500 
Cho hình thang ABCD có độ dài 2 đáy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, độ dài 2 đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Chứng minh rằng ACE là tam giác vuông tại A.
Tính diện tích hình thang ABCD.

HD:
 a.Tính AE ; CE ,sử dụng định lí PItago đảo
 b. 3 tam giác AED; ADB;ACB có cùng diện tích Þ SABCD = SDCAE
Ở bên ngoài hình bình hành ABCD vẽ 2 hình vuông ABEF và ADGH .Chứng minh :
AC = FH; AC ^ FH.
CEG là tam giác vuông cân. 

HD: a.DACB = DFHA (c-g-c) 
 b.DGDC = DCBE (c-g-c) .Dựa vào t/c 2 góc có cạnh tương ứng vuông góc (đảo)
Cho tam giác ABC có BC = a và đường cao AH = h.Từ một điểm trên AH vẽ đườnh thẳng song song với BC cắt AB và AC tại P và Q.Vẽ và QR vuông góc với BC.
a.Tính diện tích PQRS theo a, h, x (AM = x).
b.Xác định vị trí M trên AH để diện tích này lớn nhất?


HD:
a.SABC = SDAPQ + SBPQC (Đặt PQ = y)
 Þ y = Þ SPQRS = x.(h - x)
b.x + (h - x) = h (không đổi) Þ x.(h - x) lớn nhất khi x = h - x Þ x = 
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.Kí hiệu S là diện tích. Cho SAOB = a2 ;   SCOD = b2 với a , b là 2 số cho trước.
 Hãy tìm GTNN của SABCD?

 
HD:
 = = Þ SAOD .SBOC =a2b2
Áp dụng ( x + y)2 ³ 4xy
 ÞSAOD + SBOC ³ 4SAOD .SBOC = 2. 
 Þ SABCD ³ ( + )2 .
Dấu bằng xảy ra khi SAOD = SBOC Þ AB//CD
Cho tam giác ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với CD; đường nay cắt đường thẳng CB tại E , Chứng minh rằng BD = EC 


HD: = = 2 
Cho hình vuông ABCD cạnh a. điểm M di động trên cạnh AB; N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a.Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó 


HD: SCMN = (a2 - SAMN) £ a2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứngvới C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính 

HD:I là trực tâm DMBD Þ MI ^BD
CD ^ BD
Þ = 450.
Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối của CB và DC, lấy các điểm M,N sao cho DN =BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F . Chứng minh rằng :
Tứ giác ANFM là hình vuông.
Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc FCA = 900 
Ba điểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm FA) 

HD:
b.Kẻ FK ^ BC; FH ^ CD ; CKFH là hình vuông
c. OA = OC; = DC; BA = BC.
Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh CD, lấy M bất kì. Các tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F . 
 Chứng minh rằng MA FE

HD: DK = BE; DADE = DAIF ( Ilà giao điểm AM và EF)
 Cho tam giác ABC có góc A = 300.Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh rằng AD2 = AB2 + AC2



HD:Dựng D đều ADE Þ + = 2700
Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng AO BI 

HD:M là trung điểm CI ;MH // BI Þ O là trực tâm DAMH
Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng EK > BC.

HD: BC = MN ; OE > OM

 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AC = 6cm; 
 = 450. .O là giao điểm của 2 đường chéo.Tính diện tích hình thang ABCD 

HD: = 450
 Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với đường chéo. AC , đường thẳng này cắt đoạn thẳng AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau 

HD:
SCAE = SCAO ;
Þ SABCE = SABC + SCAO = SABO + SBCO
= (SBCD + SABD) = SABCD
*E Ï Đoạn AD .Không đúng
Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua Trung điểm các cạnh AB và AD kẻ những đường vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng 2 đường thẳng vuông góc này và đường thẳng AC đồng quy

HD: E là trung điểm AC Þ H là trực tâm D MPE
Cho tam giác ABC có BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 .
Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC .
Gọi CD là dường phân giác của tam giác ACH Chứng minh rằng tam giác BCD cân.
Chứng minh rằng BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2 

HD: D ABC vuông tại C;
( + ) = ( + ) = 1V
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và M là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xác định vị trí của điểm M trên BC để tống BE + CF lớn nhất

HD:BE + CF £ BC Þ Max(BE + CF) = BC khi
E º Fº M Û AM ^ BC
 Cho tam giác ABC . Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3 DA. Trên CB lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD .Chứng minh rằng FD = FC. 

HD: SACE = SADE ( = SABE)
Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi d,hãy tìm hình có diện tích lớn nhất?

HD: Vận dụng pi ta go và BĐT Cosi
Trên cạnh AB của hình vuông ABCD ,ngưòi ta lấy điểm E tùy ý . Tia phân giác của góc CDE cắt BC tại K. 
 Chứng minh rằng AE + KC = DE

Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ BH ^ AC tại H.Gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh BM ^ MK

HD:N là trung điểm BH Þ N là trực tâm D BCM