Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 1 
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG 
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải 
Pn Số các hoán vị của n phần tử Permutation 
k
n
A Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 
k
n
C Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory 
P(A) Xác suất của biến cố A Probability 
n
ulim Giới hạn của dãy số (un) Limit 
)(lim
0
xf
xx
 Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x0 
)(lim xf
x 
 Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực 
)(lim xf
x 
 Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực 
)(lim
0
xf
xx

 Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 
)(lim
0
xf
xx

 Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x0 
y' hoặc f'(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x) 
y'' hoặc f''(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) 
y
(n)
 hoặc f
(n)
(x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) 
dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Differenttial 
n(A) hoặc A Số phần tử hữu hạn của tập A 
----- Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 2 
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
----- oOo ----- 
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 
 1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) : 
  sin luôn xác định  R và sin( + k2) = sin
 cos luôn xác định  R và cos( + k2) = cos 
  - 1  sin  1 (sin 1). 
 - 1  cos  1 (cos  1). 
  tan xác định khi   

k
2
 và tan(k) = tan; 
 cot xác định khi   k và cot( + k) = cot. 
  Dấu của các giá trị lượng giác của góc  
 2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt: 
 0 (00) 
6

 (30
0
) 
4

 (45
0
) 
3

 (60
0
) 
2

 (90
0
) 
sin 0 
2
1
2
2
2
3
 1 
cos 1 
2
3
2
2
2
1
 0 
tan 0 
3
1
 1 3 kxđ 
cot kxđ 3 1 
3
1
 0 
 3. Công thức lượng giác cơ bản: 
  sin2 + cos2 = 1  


2
2
cos
1
tan1  (  

k
2
, k  Z). 
  


2
2
sin
1
cot1  (  k, k  Z).  tan.cot = 1 (
2

 k , k  Z). 
 4. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: 
Cung đối:(-) và  
 sin(-) = -sin 
 cos(-) = cos 
 tan(-) = -tan 
 cot(-) = -cot 
Cung bù:( - ) và  
 sin( - ) = sin 
 cos( - ) = -cos 
 tan( - ) = -tan 
 cot( - ) = -cot 
Cung phụ:(
2

- ) và  
 sin(
2

 - ) = cos 
 cos(
2

 - ) = sin 
 tan(
2

 - ) = cot 
 cot(
2

 - ) = tan 
Cung hơn kém : ( + ) và  
 sin( + ) = -sin 
 cos( + ) = -cos 
 tan( + ) = tan 
 cot( + ) = cot 
Phần tư 
Giá trị lượng giác 
I II III IV 
sin + + - - 
cos + - - + 
tan + - + - 
cot + - + - 
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 3 
 5. Các công thức lượn giác thường sử dụng: 
Công thức cộng: 
 cos(a - b) = cosacosb + sinasinb 
 cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 
 sin(a - b) = sinacosb - cosasinb 
 sin(a + b) = sinacosb + cosasinb 
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(


 
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(


 
Công thức nhân đôi: 
 sin2a = 2sinacosa 
 cos2a = cos
2
a - sin
2
a 
 = 2 cos
2
a - 1 
 = 1 - 2sin
2
a 
atan1
2tana
2tan
2
a 
Công thức hạ bậc: 
2
2cos1
cos
2
a
a

 
2
2cos1
sin
2
a
a

 
a
a
a
2cos1
2cos1
tan
2


 
Công thức biến tích thành tổng: 
 cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)] 
 sinasinb =-
2
1
[cos(a + b) - cos(a - b)] 
 sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)] 
Công thức biến đổi tổng thành tích: 
 cosu + cosv = 2cos
2
vu 
cos
2
vu 
 cosu - cosv = -2sin
2
vu 
sin
2
vu 
 sinu + sinv = 2sin
2
vu 
cos
2
vu 
 sinu - sinu = 2cos
2
vu 
sin
2
vu 
  Công thức nhân ba: 
 sin3a = 3sina - 4sin
3
a cos3a = 4cos
3
a - 3cosa 
  Công thức sina + cosa: 
 sina + cosa = 2 sin(a +
4

) sina - cosa = 2 sin(a - 
4

) 
 sina + cosa = 2 cos(a -
4

) sina - cosa = - 2 cos(a +
4

) 
 Ghi chú: 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
...................................................................................................................................................................................................................................................................
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 4 
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
I- ĐỊNH NGHĨA: 
 1. Hàm số sin và hàm số côsin: 
 a) Hàm số sin: 
x
y
x
sinx
B'
A'
B
O A
M
x
y
x
sinx
M'
O
  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx 
sin: R  R 
 x  y = sinx 
 được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx 
  Tập xác định của hàm số sin là: D = R. 
 b) Hàm số côsin: 
x
y
xcosx
B'
A'
B
O
A
M
x
y
cosx
xO
M''
  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx 
cos: R  R 
 x  y = cosx 
 được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx 
  Tập xác định của hàm số côsin là: D = R. 
 2. Hàm số tang và hàm số côtang: 
 a) Hàm số tang: 
  Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = 
x
x
cos
sin
 (cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx. 
  Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{
2

 + k, k  Z}. 
 b) Hàm số côtang: 
  Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y = 
x
x
sin
cos
 (sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx. 
  Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}. 
 Nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x). 
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 5 
 * Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số 
y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ. 
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 
 Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống. 
 Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx. 
  Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2. 
  Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2. 
  Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì . 
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 
 1. Hàm số y = sinx: 
  Hàm số y = sinx xác định với mọi x  R và -1  sinx  1; 
  Là hàm số lẻ; 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2. 
 a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]: 
sinx2
sinx1
1
x1
x2
x3
x4
sinx2
sinx1

y
xx
y

2
x4x3x2x1A'
B'
A
B
OO
 Hàm số y = sinx đồng biến trên [0; 
2

] và nghịch biến trên [
2

; ]. 
 Bảng biến thiên: 
x 0 
2

  
y = sinx 
 1 
0 0 
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối 
xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, 
ta được đồ thị hàm số trên đoạn [-; 0]. 

2
-

2

-
-1
1
O x
y
 b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R: 
2
2 5
2
3
2
-
3
2
-
5
2 -2

2
-

2 -
-1
1
O x
y
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 6 
 c) Tập giá trị của hàm số y = sinx: 
 Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1]. 
 2. Hàm số y = cosx: 
  Hàm số y = cosx xác định với mọi x  R và -1  cosx  1; 
  Là hàm số chẵn; 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2; 
  Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghịch biến trên [0; ]. 
  Bảng biến thiên: 
x - 0  
y = cosx 
 1 
-1 -1 
  Đồ thị hàm số y = cosx: 
2 5
2
3
2
-
3
2
-
5
2 -2

2
-

2
-
-1
1
O x
y
  Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1]. 
 Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin. 
 3. Hàm số y = tanx: 
  Tập xác định: D = R\{ 

k
2
, k  Z}; 
  Là hàm số lẻ; 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; 
 a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0; 
2

): 
tanx1
tanx2
x2x1

2
A
B
B'
A'
M2
M1
T2
T1
y
xOO
 Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; 
2

). 
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 7 
 Bảng biến thiên: 
x - 
4

2

y = tanx 
 + 
 1 
0 
 * Nhận xét: Khi x càng gần 
2

 thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = 
2

. 
 b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D: 
  Đồ thị hàm số y = tanx trên )
2
;
2
(

 : 

2
-

2
O x
y
  Đồ thị hàm số y = tanx trên D: 
-3
2
3
2-

2
-

2
O x
y
  Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-; +). 
 4. Hàm số y = cotx: 
  Tập xác định: D = R\{k, k  Z}; 
  Là hàm số chẵn; 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; 
 a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; ): 
 Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; ). 
x 0 
2

  
y = tanx 
+ 
 0 
 - 
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 8 

2

O x
y
 b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D: 
2
-2 -3
2
3
2
-


2
-

2
O x
y
  Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-; +). 
 Ghi chú: 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 9 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
1. Bài tập cơ bản: 
 Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-; 
2
3
] để hàm số y = tanx: 
 a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1; 
 c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm. 
 Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số: 
 a) y = 
x
x
sin
cos1
; b) y = 
x
x
cos1
cos1


; c) y = )
3
tan(

x ; d) y = )
6
cot(

x . 
 Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = 
2
1
. 
 Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương. 
 Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. 
 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: 
 a) y = 2 xcos + 1; b) y = 3 - 2sinx. 
 Bài 7: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = sinx. 
 Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x. 
2. Bài tập nâng cao: 
 Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau: 
 a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos
2
x + tanx. 
 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: 
 a) y = 2cos(x + 
3

) + 3; b) y = )sin(1
2
x - 1; c) y = 4sin x . 
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 
............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................................................................................................................. 
..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 10 
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
1. Phương trình sinx = a: 
 Xét phương trình sinx = a (a  R) (1) 
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm 
Trường hợp a  1: 
 sinx = sin  )(
2
2
Zk
kx
kx







 sinx = a 
 sinx = a  





)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax


côsin
sin
a
-1
-1
1
1
K
M'
B'
A'
B
O
A
M
 * Chú ý: 
]sin)([sin
sin)(sin
0



xu
xu
  )(
]360180[2)(
]360[2)(
000
00
Zk
kkxu
kkxu







  sinu(x) = a 
 (-1  a  1) 
))((sin
)(sin
axu
axu


  )(
]360arcsin180[2arcsin)(
]360[arcsin2arcsin)(
00
0
Zk
kakaxu
kakaxu







  Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]  )(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf







  Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) = 
2

 + k2, k  Z 
 sin[f(x)] = -1  f(x) = -
2

+ k2, k  Z 
 sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z. 
 Ví dụ: Giải các phương trình sau: 
 a) sinx = 
2
1
; b) sinx = 
5
1
; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45
0
) = -
2
2
. 
 Giải: 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
..................................................................................................................... 
....................................................................................................................