Tài liệu ôn tập học kỳ II môn Toán 11

CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN
BÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/TÓM TẮT GIÁO KHOA
Định nghĩa giới hạn hữu hạn. 
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.
 Kí hiệu:limun= 0 hay un khi 
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi nếu lim(un-a)=0
 Kí hiệu:limun=a hay un khi 
Định nghĩa giới hạn vô cực.
 *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + khi ,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi.
 Kí hiệu:lim un =+ hay un khi.
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi ,nếu lim(-un)=+ 
 Kí hiệu:limun=- hay un khi.
3.Các giới hạn đặc biệt.
 a/lim=0 ;lim=0;limnk=+ với k là số nguyên dương.
 b/limqn=0 nếu 1.
 c.limc = c (clà hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn.
 Định lí 1.
 a/nếu limun = a và limvn = b,thì:
 *lim(un+vn) = a + b lim(un - vn) = a - b
 *lim unvn = ab lim
 b/Nếu un với mọi n và limun=a thì avà lim
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
 Định lí 2.
 a/Nếu limun = a và limvn = thì lim 
 b/Nếu limun = + và limvn = a > 0 thì limunvn = + 
 c/Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim
6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
 *Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn <1
 *Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + u3 + ... = 
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I..Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NHỜ VÀO 
 CÁC ĐỊNH LÍ1, 2 VỀ GIỚI HẠN
 PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí 1,2.
*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho nk,trong đó k là số mũ cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)
*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:
 + Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
 + Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn.
 Ví dụ1.Tính lim.
 Ta có:lim=lim=lim
 Ví dụ 2.Tính lim
 Ta có :lim=lim=lim
 (vì lim(1+2.(>0,lim(( và )
Ví dụ 3. Tính lim
 Ta có : lim=lim=lim
Ví dụ 4. Tính  lim( n- )
 Ta có :
 lim(n-)=lim
 Ví dụ 5. Tính lim(2n3+3n-1)
 Ta có lim(2n3+3n-1)=limn3(2+)=+
Ví dụ 6. Tính lim(-2n2+n-n+4)
 Ta có : lim(-2n2+n-n+4)=limn2(-2+.
Ví dụ 7. Tính lim(
 Ta có : lim(= limn(
Ví dụ 8. Tính lim(
 Ta có : lim(=lim
 =lim =lim =lim
Chú ý : khi gặp các dạng sau(ta gọi là các dạng vô định)thì ta phải biến đổi để đưa về dạng thích hợp để vận dụng các định lí để giải.
  ; ; ; ;
II.Vấn đề 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
 Phương pháp : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn(nếu bài toán chưa cho giả thiết này).Sau đó tính tổng bằng công thức :
 S=
Ví dụ 1. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau :
 1,- 
Giải. Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u1=1,công bội q=
 Do đó, S=1-
 Ví dụ 2. Tính tổng S=
 Dãy số: là một cấp số nhân lùi vô hạng với công bội q=và u1=.Vì nên(un) là một cấp số nhân lùi vô hạng.Do đó ta có:
 S==
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
 Bài1.Tính các giới hạn sau:
 1. lim 2. lim 3.lim
 4. lim 5. lim 	 6. lim 
 7. lim 8. lim 9. lim
 Bài 2. Tính các giới hạn sau:
 1. lim(-n3+2n-1) 	 2. lim(3n2-5n-9) 
 3.lim(3n+2n+5)	 4. lim(3n3-7n+11) 
 5. lim 	 6.lim
 7.lim 	 8.lim( 
 9.lim( 
 Bài 3.Tìm các giới hạn sau.
 1. lim( 	2.lim 
 3.lim 4.lim 
 5.limn( 6.lim
 Bài 4.Tính các giới hạn sau.
 1.lim( 2.lim(
 3.lim( 4.lim
 Bài 5.Tính các tổng sau:
 1.A=+
 2.B = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx + ...
 3.C =
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 I.Vấn đề 1.Tính giới hạn của hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lí 1,2 hay quy tắc về giới hạn vô cực.
 Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau.
 a/ 
 Ta có: = 
 b/ 
 Ta có: = 
 c/ 
 Ta có: và (x+1)2>0 với mọi . 
 Do đó =- 
 d/
 Vì và (5 - x) 5
 Do đó =+
 e/ 
 Ta có: = = + 
 f/
 Ta có: == +
II.Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
 PHƯƠNG PHÁP:
 Tuỳ từng dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp.
 *Dạng (tính khi ).
 -Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.Cụ thể ta biến đổi:
 =
 -Tính 
 (Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rồi giản ước).
 *Dạng ( tính khi ).
 -Chia tử số và mẫu số cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân tích tử và mẫu chứa nhân tử xn rồi giản ước).
 -Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu căn thức thì đưa xk ra ngoài dấu căn(với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x.
 *Dạng -(Tính khi 
 hoặc 
 Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức)hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(nếu chứa nhiều phân thức).
 Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau:
 a/
 Ta có: 
 b/
 Ta có: 
 =
 c/ .
Ta có: 
 d/
 Ta có: 
 e/
 Ta có: 
 f/
 Ta có: 
 =
 =
 g/
 Ta có: =
 C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
 Bài 1.Tính các giới hạn sau:
 1. 2. 3. 
 4. 5. 6. 
 7. 8. 9. 
 Bài 2.Tính các giới hạn sau.
 1. 2. 
 3. 3.
 4. 5. 
 6. 7. 
 8. 9. 
 Bài 3.Tính giới hạn các hàm số sau khi 
 1.f(x)= 2.g(x)=
 3.h(x)= x() 4. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC
 A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
 I. Định nghĩa hàm số liên tục:
 *Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0.
 Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu .
 *Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và ,.
 Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền 
 trên khoảng đó.
 II.Các định lí.
Định lí 1.
 a/Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
 b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí 2.
 Giả sử y = f(x) và y = g(x)là hai hàm số liên tục tại x0.Khi đó :
 a/Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại x0
 b/Hàm số y= liên tục tại x0 nếu g(x0).
Định lí 3.Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c sao cho f(c)=0.
 Mệnh đề tương đương :
 Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) .f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x0 
4.Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).
 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) f(b)thì với số thực M nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c) = M.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I.Vấn đề1.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM X0 DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA.
 PHƯƠNG PHÁP :
 *Tính và so sánh với f(x0)
 *Trong trường hợp bên trái,bên phải x0 hàm số được xác định bằng hai biểu thức khác nhau, để tìm cần tìm,
và lưu ý rằng: 
 Ví dụ 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 1.tại x = - 1.
 2. tại x = 2.
 3. tại x = 4
 Giải
 1.Tập xác định của hàm số là D = R,chứa x = - 1
 Ta có:f(-1)=-2
 Do đó,hàm số liên tục tại x = - 1.
 2.Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2.
 Ta có:g(2)=-3.
 nên không tồn tại 
 Do đó,hàm số không liên tục tại x=2.
 3.Tập xác định của hàm số là D=[3; +)nên nó xác định trên 
 khoảng (3; +) có chứa x=4.
 =2
 Vì nên 
 Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=4.
II.Vấn đề 2.
XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
 Phương pháp:
 Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức,phân thức hữu tỉ,lượng giác.
Nếu hàm số được cho bằng nhiều biểu thức khác nhau,cần nghiên cứu tính lien tục tại một điểm.
 Ví dụ 2.Xét tính lien tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 Giải. Tập xác định của hàm số là D=R
 *Với x>3:f(x)=là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (3;+) 
thuộc tập xác định của nó.
 *Với x<3:f(x )= 2x+1 là hàm số đa thức nên liên tục trên(-;3) thuộc 
tập xác định của nó.
 *Với x = 3: 
 Vì nên hàm số đã cho không cố giới hạn hữu hạn 
 khi x3.Do đó nó không liên tục tại x = 3.
III.Vấn đề 3.
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
 Phương pháp:
 Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
 Ví dụ 3:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x=-1:
 Giải.
Ta có: 
 Hàm số trên liên tục tại x=-1
IV.Vấn đề 4.
CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH f(x)=0 CÓ NGHIỆM
 Phương pháp:
 *Để chứng minh phương trình có nghiệm,cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0.
 Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
 -Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
 -Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
 *Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm,cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau,f(ai).f(bi)<0 và hàm số y=f(x) lien tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].
 Ví dụ 4.
Chứng minh phương trình 2x5-5x3-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1):
 Giải:
 Xét hàm số f(x)= 2x5-5x3-1.
 Chọn hai số thực -1,0 cùng thuộc khoảng (-2;1),ta có f(-1)=2,f(0)=-1.
 Do đó f(-1).f(0)=-2<0 (1)
 Hàm số nêu trên liên tục trên R,do đó liên tục trên đoạn [-1;0] (2)
 Từ (1) và(2) suy ra phương trình f(x)=0 hay 2x5-5x3-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0),nghĩa là thuộc khoảng (-2;1).
 Ví dụ 5:CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
 Giải.
 Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3].(1)
 Ta có:f(0)=1;f(1)=-1;f(3)=13.Do đó f(0).f(1)<0 và f(1).f(3)<0(2)
 Từ (1) và(2) suy ra pt f(x)=0 có ít nhất hai nghiệm.
 Ví dụ 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
 (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1=0
 Giải.
 Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên [1;2].(1)
 Ta có f(1)=-1;f(2)=m2+3.
 Do đó f(1).f(2)<0 (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra pt f(x)=0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2),nghĩa là có nghiệm.
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
 Bài1.Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=0 và x=3.
 Bài 2.Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.
 Bài 3.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
 Bài 4.Chứng minh rằng phương trình:
 a/2x5+3x4+3x2-1=0 có ít nhất 3 nghiệm.
 b/2x3+3x2+10x+200=0 luôn có nghiệm.
 c/4x4+2x2-x-28=0 luôn có nghiệm
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
 1. Đạo hàm của tổng hiệu các hàm số.
(u+v)’=u’+v’;(u-v)’=u’-v’.
 2. Đạo hàm của tích các hàm số:
(u.v)’=u’.v+v’.u
 Đặc biệt :(au)’=a.u’(a là hằng số)
3.Đạo hàm của thương hai hàm số :
 Hệ quả :a/ b/
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
 I.Vấn đề 1.TÌM ĐẠO HÀM CỦA TỔNG HIỆU TÍCH THƯƠNG CÁC HÀM SỐ
 Phương pháp:
 Ta cần nhớ các kết quả sau để tính:
 1.Bảng đạo hàm các hàm số đơn giản:
 *(C)’=0 (C là hằng số)
 *(x)’=1
 *(
 *
 *
 2.Các quy tắc:
 *(u + v)’=u’ + v’;
 *(u-v)’=u’- v’.
 *(u.v)’=u’. v + v’.u
 *(au)’ = a.u’
 *
Ví dụ 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 1.y=x6 - 4x4 + 3x2 - 4+1.
 2.y=3x4-+5x-20
 Giải.
 1.Ta có y’=( x6-4x4+3x2-4+1)’= (x6)’-(4x4)’+(3x2)’-(4)’+1’
 =6x5-16x3+6x-
 2.y’=(3x4-+5x-20)’=(3x4)’-()’+(5x)’-20’ =12x3++5
 Ví dụ 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 1.y=(2x-1)(3-x) 2.y=(x2+x+1)(x-2) 3.y=(2+1)(4-3)
 Giải.
 1.y’= [(2x-1)(3-x)]’=(2x-1)’(3-x)+ (2x-1)(3-x )’
 =2(3-x) +(2x-1)(-1)
 =6-2x-2x+1=-4x+7.
 2.y’=[(x2+x+1)(x-2)]’=(x2+x+1)’(x-2)+ (x2+x+1)(x-2)’
 =(2x+1)(x-2)+( x2+x+1)1
 =2x2-4x+x-2+ x2+x+1 
 =3x2-2x-1.
 3.y’= [(2+1)(4-3)]’=(2+1)’(4-3)+(2+1)(4-3)’
 = 
 =4-
Ví dụ 3.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 1.y= 2.y=
 Giải.
 1.y’=()’=
 =
 2.y’=
 =
 II.Vấn đề 2.TÌM ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
 Phương pháp:
 Ta áp dụng các quy tắc sau để tính:
 * *(un)’=nun-1.u’
 * *
 Ví dụ 4.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 1.y=(2x2+3x-5)2007 2.y= 3.y= 
 Giải.
 1.y’= [(2x2+3x-5)2007]’=2007(2x2+3x-5)2006.( 2x2+3x-5)’
 =2007(2x2+3x-5)2006.(4x+3)
 2.y’=()’=
 3.y’=()=
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
 Bài1.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 được cho kèm theo:
 1.y=7+x-x2,x0=1 2.y=x3-2x+1,x0=2 3.y=2x5-2x+3,x0=-1
 Bài 2.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau(a,b là hằng số):
 1.y=x5-4x3+2x-3 2.y=
3.y= 4.y=
Bài 3.Tìn đạo hàm của mỗi hàm số sau:
1.y=(x7+x)2 2.y=(x2+1)(5-3x2)
3.y= 4.y=
5.y= 6.y=x(2x-1)(3x+2)
Bài 4.Chứng minh rằng:(
Bài 5.Tìm đạo hàm mỗi hàm số sau:
1.y=(x-x2)32 2.y=
3.y= 4.y=(a là hằng số)
Bài 6.Cho hàm số y=f(x)= .Hãy giải bất phương trình:
 f’(x) 
Bài 7.Cho hàm số y=x3-3x2+2.Tìm x sao cho:
 1.f’(x)>0 2.f’(x)<3.
 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
 A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Đạo hàm của hàm số sin.
 *(sinx)’=cosx
 *(sinu)’=u’.cosu
 *(sinnu)’=n.sinn-1u.cosu.u’
2. Đạo hàm của hàm số cosin
 *(cosx)’=-sinx
 *(cosu)’=-u’.sinu
 *(cosnu)’=-n.cosn-1u.sinu.u’
3. Đạo hàm hàm số tang
 *(tanx)’=
 *(tanu)’=
 * (tannu)’=
4. Đạo hàm của hàm số cotang
 *(cotx)’=-
 *(cotu)’=-
 *(cotnu)’=-
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
 Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác,ngoài các công thức tính đạo hàm đã học,cần chú ý đến các công thức thu gọn sau:
 *sin2x = 2sinx.cosx
 *cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x
Ví dụ .Tính đạo hàm các hàm số sau:
 1.y = sin2x 2.y = 2sinx+sin2x-sin2x
 3.y = sin2(2x2 - 3x + 1) 4.y = 
Giải.
 1.y’= (sin2x)=2sinx.cosx=sin2x
 2.y’=(2sinx+sin2x-sin2x)=2cosx+2cos2x-2sinx.cosx
 =2cosx+2cos2x-sin2x
 3.y’= [sin2(2x2-3x+1)]’=2sin(2x2-3x+1).cos(2x2-3x+1).(2x2-3x+1)’
 =(4x-3)sin(4x2-6x+2).
 4.y’= ()’= 
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
 Bài 1.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
 1.y=3sinx-4cosx 2.y=4sin2x-3cos4x
 3.y= 4.y=
 5.y= 6.y=
 7.y=xsinx+cosx 8.y=xcotx
9.y= 10.y=3tanx+tan3x+tan3x
Bài 2.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.y=sin3x.cos2x 2.y=cos+sin2x-cosx2
3.y=sin2x.cos3x 4.y=cot3(2x+)
5.y=sin2(cosx) 6.y=tan2
Bài 3.Chứng minh rằng hàm số y=sin6x+cos6x+3sin2x.cos2x có đạo hàm không phụ thuộc vào x.
Bài 4.Cho hàm số y=sin2x-2cosx.Hãy giải phương trình:y’=0.
Bài 5.Cho hàm số y=3sin2x+4cos2x+12x.Giải phương trình y’=2.
ĐẠO HÀM CẤP CAO.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
 *Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x).Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x).Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x).Kí hiệu là:f’’(x) hay y’’.
 *Đạo hàm của đạo hàm cấp hai gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x).Kí hiệu là:f’’’(x) hay y’’’.
 * Đạo hàm của đạo hàm cấp ba gọi là đạo hàm cấp 4 của hàm số f(x).
 Kí hiệu là: f’’’’(x) hay y’’’’hay y(4).
*Tương tự,ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x),kí hiệu là y(n) hay y(n).Tức là ta có:
 y(n)=(y(n-1))’(n,n>1)
2. ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
 Đạo hàm cấp hai của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số.
 Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số:y=xcosx-sinx
Giải.
 Ta có:*y’=x’.cosx+x.(cosx)’-(sinx)’
 =cosx-xsinx-cosx=-xsinx.
 *y’’=(-xsinx)’=(-x)’.sinx+(-x).(sinx)’
 =-sinx-xcosx
 *y’’’=(-sinx)’-(x’.cosx+x.(cosx)’)
 =-cosx-(cosx-xsinx)=xsinx-2cosx.
 Ví dụ 2.Cho hàm số y=.Tìm x sao cho y’’=20
 Giải.
 Ta có:
 *y’=
 *y’’=
 Do đó:y’’=20(x+2)3 = - 1x + 2 = - 1x = - 3
II.Vấn đề 2.Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm.
 Phương pháp:
 *Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có mặt trong đẳng thức cần chứng minh.
 *Thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia.Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
 Ví dụ 3.CMR:nếu y=xsinx thì xy-2y’+xy’’=-2sinx(1).
 Giải.
 Ta có:*y’=sinx+xcosx
 *y’’=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx.
Do đó:
 Vế trái(1)=x(xsinx)-2(sinx+xcosx)+x(2cosx-xsinx)
 =x2sinx-2sinx-2xcosx+2xcosx-x2sinx
 =-2sinx=Vế phải(1)( đpcm)
 Ví dụ 4.Cho hàm số y=.CMR:2
 Giải.
 Ta có:y’=
 =
 Suy ra:y’=(đpcm)
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
 Bài 1.Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau.
 1.y=ax3+bx2+cx+d 2.y=
 3.y= 4.y=x.sinx
 5.y= 6.y=cos2x
 Bài 2.Chứng minh:Nếu y=cotx thì y+y’sinx+tan=0
 Bài 3.Chứng minh:Nếu y= thì y3y’’+1=0
 Bài 4.Chứng minh:Nếu y= thì 2y’2=(y-1)y’’
 LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.
Phương pháp:
 a/Cần nhớ:
*Hệ số góc của đường thẳng AB là k=
*f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đương f cong (C) tại điểm M0(x0;f(x0)).
b/Các loại tiếp tuyến:
 Loại 1:Tiếp tuyến tại điểmM(x0;y0) (C).
 Phương trình tiếp tuyến có dạng:y = f’(x0)(x - x0) + y0
 Loại 2:Tiếp tuyến song song với đường thẳng d’
 *Tiếp tuyến d//d’ kd=kd’
 *Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x0)=kd (1)
 *Giải (1) ta được x0.Từ đó suy ra y0.
 *Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f’(x0)(x-x0)+y0
 Loại 3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’.
 *Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’kd=
 *Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x0)=kd (2)
 *Giải (2) ta được x0.Từ đó suy ra y0.
 *Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = f’(x0)(x - x0) + y0
 Loại 4.Tiếp tuyến qua điểm A cho trước.
 *Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm và (x0;y0) là tiếp điểm.
 Ta có (d): y = f’(x0)(x - x0) + y0
 *Cho (d) qua A ta được yA = f’(x0)(xA - x0) + y0 (3)
 Giải (3) ta được x0.Suy ra phương trình của tiếp tuyến
Ví dụ 4.Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị là (C).
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
 a/Tiếp điểm có hoành độ bằng -2.
 b/ Tiếp điểm có tung độ bằng 3.
 c/Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4
 d/Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’):y=
e/Tiếp tuyến qua điểm A(-8;0).
 Giải.
a/Ta có:x0=-2y0=
 y’(x0)= 
 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:y=.
b/Ta có:y0=3x0=; y’(x0)= 
 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:.
c/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4kd=-4
 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
 ta có:f’(x0)=kd=4=-4
 Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y = - 4(x) + 2 = - 4x + 4
 hoặc(d):y = -4(x) - 2 = - 4x - 4
d/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’):y=
 kd = kd ’ =.
 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm,ta có:
 f’(x0) = =
 Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y = 
 hoặc(d):y =
e/Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) tại M(x0 ;y0) .
 Ta có (T) : y = f’(x0)(x-x0) + y0
 Tiếp tuyến (T) qua A(-8;0) 
 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: .
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 
 Bài 3.Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số sau tại điểm có hoành độ x0:
 1.y = x3,x0 = - 1 2.y =,x0 = 2
 3.y = ,x0 = 9 4.y = x4,x0 = - 2
Bài 4.Cho hàm số y=x2-2x+3 có đồ thị (P)
 1.Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm x0
 2.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
 3.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 10.
 4. Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y - 20 = 0.
Bài 5.Cho parapol (P):y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết:
 a/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x +10.
 b/ Tiếp tuyến qua điểm A(0; -1).
 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Tóm tắt lí thuyết:
I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 - Đường thẳng d được gọi là vuông góc cới mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) 
 - Khi đó ta nói (α) vuông góc với d và kí hiệu d ^ (α) hay (α) ^ d
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong(α) thì d vuông góc với (α)
III. Tính chất:
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua mọt điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước 
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
 IV. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song
 1. 
 a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia
 b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
 2. 
 a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia
 b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
 3. 
 a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a
 b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau
 V. Phép chiếu vuông góc
 1.Định nghĩa: Cho đường thẳng d vuông góc với (α). Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (α)
 2. Định lí 3 đường vuông góc:
Cho đường thẳng a nằm trong (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b lên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
Bài tập :
* Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt đáy ABC và BCD là hai tam giác chung đáy BC. Gọi I là trung điểm cạnh BC.
Chúng minh BC vuông góc với (ADI)
 Gọi AH là đường cao cuả tam giác ADI,chứng ming rằng AH vuông góc với (BCD) 
A
A
 B
D
C
I
H
Giải: 
Chúng minh BC ┴ (DIA)
 Tam giác ABC cân tại A nên AI ┴ BC. 
Tam giác CBD cân tại D nên DI ┴ BC
 Ta có AI ┴ BC và DI ┴ BC → BC ┴ (DIA)
Chứng minh AH ^ (BCD)
Ta có BC ^ (DIA)
 và AH ^ BC
 mặt khác AH ^ BC và AH ^ DI → AH ^ BCD)
Bài tập 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SC, 
SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: 
Chứng minh SO ^ (ABCD)
 Chứng minh: AC ^ (SBD); DB ^ ( SAC)
 Giải:
S
 O
D
C
B
A
Chứng minh : SO ^ (ABCD)
Ta có SA = SC nên tam giác SAC cân tại đỉnh S, SO là trung tuyến cũng là đường cao của tam giác SAC
 SO ^ AC (1)
 Ta có SB = SD nên tam giác SDB cân tại đỉnh S , SO là trung tuyến cũng là đường cao của tam giác SDB
 SO ^ (SBD) (2)
 Từ (1) và (2) → SO ^ (ABCD)
 b) Chứng minh: AC ^ (SBD) 
 Ta có ABCD là hình thoi nên AC ^ BD (3)
 Ta có : AC ^ SO (4)
 Từ (3) và (4) suy ra: AC ^ (SBD)
 Chứng minh tương tự, ta có : DB ^ ( SAC)
* Vấn đề 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Bài tập 3: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của AB. 
A
I
D
C
B
 Chứng minh : AB ^ CD và BC ^ AD 
 Giải: 
* Chứng minh : AB ^ CD 
 Vì I là trung điểm của AB nên CI là đường cao của tam giác cân BCA
 → CI ^ AB (1)
 Tương tự DI là đường cao của tam giác ADB → DI ^ AB (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: AB ^ (CDI)
 * Chứng minh BC ^ AD : Lập luận tương tự ta có điều phải chứng minh.
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Tóm tắt lí thuyết :
I. Góc giữa hai mặt phẳng :
 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó 
 Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng O0 
Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
 Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng đường thẳng a trong (α)vuông góc với c và dựng đường thẳng b trong (β) vuông góc với c. Khi đó góc giứa (β) và (α)là góc giữa hai đường thẳng a và b. 
 Diện tích hìn chiếu của đa giác S’ = S.cosδ, với S là diện tích đa giác nằm trong (α), S’ là diện tich hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (β) , δ là góc giữa (α) và (β) 
 II. Hai mặt phẳng vuông góc :.
 1 - Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Khi đó ta kí hiệu (α) ^ (β) 
 2. Tính chất: 
 a). Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
 b). Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia
 c). Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dụng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β)
thì đường thẳng này nẳm trong mặt phẳng (α) 
 d). Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phắng đó 
 III. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương
 Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy 
 Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật 
 Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên là các hình vuông
 IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy 
 Phần của hình chóp đều nằm giứa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cá các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều
Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng với nhau.
Bài tập :
* Vấn đề 1: Tìm góc giữa hai mặt phẳng
Bài tập 1: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Kẻ đoạn thẳng AD vuông góc với (α) ở A
Chứng minh rằng
Góc là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
(ABD) vuông góc với (BCD)
 Bài tập 2: 
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a Chứng minh rằng 
 a). ( ABDC) vuông góc với (SBD)
 b) Tam giác SBD là tam giác vuông 
Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có SH là đường cao. Chứng minh rằng SA ^ AB và SB ^ AC.
KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách một điểm đến một đường thẳng
Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và đường thẳng a. Qua O, dựng mặt phẳng vuông góc với a, mặt phẳng này cắt a tại H. Độ dài đoạn thẳng OH chính là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
Kí hiệu d(O,a) 
II. Khoảng cách một điểm đến một đường thẳng:
 Định nghĩa: