Tài liệu ôn tập lớp 9 – Môn Toán

ChØ cã sù nç lùc cña chÝnh b¹n míi ®em l¹i thµnh c«ng
Bµi 1: Cho biÓu thøc : M = 
Rót gän M.
TÝnh gi¸ trÞ cña M khi x = 7 + 4
T×m x sao cho M = 2
Bµi 2: Cho biÓu thøc : P = 
Rót gän P.
TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 
T×m c¸c gi¸ trÞ cña n ®Ó cã x tho¶ m·n ().P > + n
Bµi 3: Cho biÓu thøc : B = 
Rót gän B.
T×m x ®Ó : 2.B < 1
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× B. = 4/5
Bµi 4: Cho biÓu thøc : M = 
Rót gän M.
T×m c¸c sè nguyªn cña x ®Ó M lµ sè nguyªn.
c) T×m x sao cho : M > 1
Bµi 5: Cho biÓu thøc : A = 1 : 
Rót gän A.
TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu x = 7 - 4
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A .
Bµi 6: Cho biÓu thøc : P = 
Rót gän P.
TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 
c) T×m x sao cho P = 1/2
Bµi 7: Cho biÓu thøc : A = 
Rót gän A.
TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu x = 
c) XÐt dÊu cña tÝch A.
Bµi 8: Cho biÓu thøc : A = 
Rót gän A.
T×m x ®Ó A < 0
Bµi 9: Cho biÓu thøc : B = 
Rót gän B.
TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x = 6 + 2
c) T×m x nguyªn ®Ó B nguyªn.
Bµi 10: Cho biÓu thøc : A = 
Rót gän A.
TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu x = 
c) T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn
Bµi 11: Cho biÓu thøc : M = 
Rót gän M.
T×m x ®Ó M < 1
c) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó M nguyªn.
Bµi 12: Cho biÓu thøc : A = 
Rót gän A.
T×m x ®Ó A > 1
c) T×m m ®Ó cã sè x sao cho: (+ 1).A = m.(x+1) -2
Bµi 13: Cho biÓu thøc : P = 
Rót gän P.
T×m c¸c sè nguyªn cña x ®Ó P chia hÕt cho 4.
c) T×m x sao cho P = -1
Bµi 14: Cho biÓu thøc : M = 
Rót gän M.
T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó M lµ sè nguyªn
c) T×m x tho¶ m·n M < 0
Bµi 15: Cho biÓu thøc : P = 
Rót gän P.
TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 
T×m x nguyªn ®Ó P lµ sè tù nhiªn
T×m x ®Ó P < -1
Bµi 16: Cho biÓu thøc : B = 
Rót gän B.
TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x = 9 - 4
c) T×m x sao cho B.( x – 1 ) = 3
Bµi 17: Cho biÓu thøc : M = 
Rót gän M
TÝnh gi¸ trÞ cña M khi x = 2 - vµ y = 
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu : 
Bµi 18: Cho biÓu thøc : B = 
Rót gän B.
Cho B= Chøng minh : 
 Bài 19 : Cho biểu thức : 
Rót gän P.
T×m x ®Ó 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu V¨n An, Amterdam, HN. Khóa thi : 2001-2002 ) 
Bài 20 : Cho biểu thức : 
 với x ≥ 0 ; x ≠ 1. 
1) Rút gọn P. 
2) T×m x sao cho P < 0. 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY.Môn : Toán (chung)Khóa thi : 2003 – 2004) 
Bài 21 : Cho biểu thức : 
Rót gän P.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
T×m x ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu V¨n An, Amterdam, HN. Khóa thi : 20-6-2003 ) 
Bài 22 : Cho biểu thức : 
Rót gän P
T×m x ®Ó 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu V¨n An, Amterdam, HN. Khóa thi : 18-6-2004 ) 
Bài 23 : Cho biểu thức : 
Rót gän P
T×m m ®Ó cã x tho¶ m·n : 
 ( ĐỀ THI Tèt nghiÖp trung häc c¬ së, HN. Khóa thi : 26-5-2005 ) 
¦íc m¬ chÝnh lµ b¸nh l¸i cña con tÇu, ®Ó ­íc m¬ thµnh c«ng b¹n cÇn cã nghÞ lùc
Bµi 1: Mét xe t¶i ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 214,5 km . Cïng lóc ®ã mét xe kh¸ch ®i tõ B trë vÒ A. T×m vËn tèc cña mçi xe, biÕt r»ng xe kh¸ch ®i nhanh h¬n xe t¶i 4km mçi giê nªn ®· ®Õn A tr­íc khi xe t¶i ®Õn B 1 giê 30 phót.
Bµi 2: Mét xe t¶i ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 120 km .Nöa giê sau mét xe m¸y ch¹y tõ A ®Ó ®Õn B ch¹y chËm h¬n xe t¶i 6 km/h nªn ®Õn B chËm h¬n 70 phót so víi xe t¶i.TÝnh vËn tèc mçi xe ? 
Bµi 3: Hai bÕn s«ng AB c¸ch nhau 80km. Hai ca n« khëi hµnh cïng mét lóc ch¹y tõ A ®Õn B , ca n« thø nhÊt ch¹y chËm h¬n « t« thø hai 4km/h . Trªn ®­êng ®i ca n« thø hai dõng l¹i nghØ 1giê råi ch¹y tiÕp ®Õn B. TÝnh vËn tèc cña mçi ca n« , biÕt r»ng ca n« thø nhÊt ®Õn B tr­íc ca n« thø hai 20 phót.
Bµi 4: Mét ca n« xu«i dßng 90km , råi ng­îc dßng 36 km. BiÕt thêi gian xu«i dßng nhiÒu h¬n ng­îc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc xu«i dßng lín h¬n ng­îc dßng lµ 6km/h. TÝnh thêi gian mçi ca n« ®i hÕt qu·ng ®­êng AB.
Bµi 5: Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 54km. C¶ ®i lÉn vÒ mÊt 5 giê 15 phót .TÝnh vËn tèc cña dßng n­íc , biÕt vËn tèc riªng cña tµu khi n­íc yªn lÆng lµ 21km/h.
Bµi 6: Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 60km ®i ng­îc chiÒu nhau. Sau 1giê 20 phót gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ng­îc lµ 9km/h vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h.
Bµi 7:Mét ca n« xu«i dßng tõ A ®Õn B c¸ch nhau 24km, cïng lóc ®ã cã mét chiÕc bÌ tr«i theo dßng n­íc tõ A vÒ h­íng B. Sau khi ca n« ®Õn B quay trë l¹i th× gÆp chiÕc bÌ ®· tr«i ®­îc 8km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt r»ng vËn tèc cña bÌ b»ng vËn tèc dßng n­íc b»ng 4km/h.
Bµi 8: Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 120 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh.Khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng xe bÞ ch¾n bëi xe ho¶ 3 phót .V× vËy ®Ó ®Õn B ®óng h¹n xe ph¶i t¨ng tèc 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh.
Bµi 9:Mét xe t¶i vµ mét xe con cïng khëi hµnh tõ C ®Õn D. Xe t¶i ®i víi vËn tèc 30km/h, xe con ®i víi vËn tèc 45km/h .Sau khi ®· ®i ®­îc 3/4 qu·ng ®­êng CD, xe con t¨ng vËn tèc thªm 5km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i v× vËy ®· ®Õn D sím h¬n xe t¶i 2giê 20 phót.TÝnh qu·ng ®­êng CD.
Bµi 10: Mét ng­êi ®i xe ®¹p dù ®Þnh ®i hÕt qu·ng ®­êng AB dµi 20km trong thêi gian ®· ®Þnh. Nh­ng thùc tÕ , sau khi ®i ®­îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, ng­êi ®ã ®· gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. V× vËy ®· ®Õn B chËm h¬n dù kiÕn 15 phót.TÝnh vËn tèc dù ®Þnh vµ thêi gian l¨n b¸nh trªn ®­êng.
Bµi 11:Mét « t« dù ®Þnh ®i hÕt qu·ng ®­êng AB dµi 150 km trong thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc 2 giê , ng­êi l¸i xe quyÕt ®Þnh t¨ng tèc thªm 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i .Do ®ã ®· ®Õn B sím h¬n dù kiÕn 30 phót. TÝnh vËn tèc « t« ®i ë ®o¹n ®­êng ®Çu ?
Bµi 12: Mét ng­êi dù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 36 km trong thêi gian ®· ®Þnh.Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng , ng­êi ®ã dõng l¹i nghØ 30 phót . V× vËy mÆc dï trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i ®· t¨ng tèc thªm 2km/h song vÉn ®Õn ®Õn B chËm h¬n dù kiÕn 12phót. TÝnh vËn tèc cña ng­êi ®i xe ®¹p trªn ®o¹n ®­êng cuèi cña ®o¹n AB.
Bµi 13: Mét « t« ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 120 km. Cïng lóc ®ã cã mét xe m¸y ch¹y tõ B trë vÒ A vµ gÆp xe « t« t¹i mét tØnh C c¸ch mét trong hai ®iÓm khëi hµnh 75km. TÝnh vËn tèc cña mçi xe ,biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña hai xe kh«ng ®æi vµ xe m¸y khëi hµnh tr­íc « t« 48 phót th× sÏ gÆp nhau ë gi÷a qu·ng ®­êng.
Bµi 14: Mét « t« ®i tõ ®Þa ®iÓm A ®Õn ®iÓm B víi vËn tèc x¸c ®Þnh . NÕu vËn tèc t¨ng 20km/h so víi dù ®Þnh th× thêi gian ®Õn B sÏ gi¶m 1giê, nh­ng nÕu vËn tèc gi¶m 10km/h th× thêi gian ®Õn B sÏ t¨ng thªm 1 giê. TÝnh vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh cña « t«.
Bài 15 : Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. 
( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY.Môn : Toán (chung)Khóa thi : 2003 – 2004) 
Bµi 16: Theo dù kiÕn , mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 70 s¶n phÈm trong thêi gian ®· ®Þnh. Nh­ng thùc tÕ , do ¸p dông khoa häc kü thuËt nªn ®· t¨ng n¨ng suÊt 5 s¶n phÈm mçi giê .Do ®ã kh«ng nh÷ng hoµn thµnh tr­íc thêi h¹n 40 phót mµ cßn v­ît møc 10 s¶n phÈm. TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn.
Bµi 17: Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 33 s¶n phÈm trong thêi gian ®· ®Þnh . Tr­íc khi lµm viÖc xÝ nghiÖp giao thªm cho 29 s¶n phÈm n÷a . Do vËy mÆc dï ng­êi ®ã ®· lµm t¨ng mçi giê 3 s¶n phÈm song vÉn hoµn thµnh chËm h¬n dù kiÕn 1 giê 30 phót. TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn.
Bµi 18: Mét m¸y b¬m muèn b¬m ®Çy n­íc vµo mét bÓ chøa trong thêi gian ®· ®Þnh th× mçi giê ph¶i b¬m ®­îc 10 m3 . Sau khi b¬m ®­îc 1/3 thÓ tÝch bÓ chøa , ng­êi c«ng nh©n vËn hµnh cho m¸y ho¹t ®éng víi c«ng suÊt lín h¬n 5m3 mçi giê so víi ban ®Çu. Do vËy , so víi qui ®Þnh bÓ chøa ®­îc b¬m ®Çy tr­íc 48 phót . TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa .
Bµi 19: Mét xÝ nghiÖp giao cho mét c«ng nh©n lµm 120 s¶n phÈm trong thêi gian qui ®Þnh. Sau khi lµm ®­îc 2 giê , ng­êi ®ã c¶i tiÕn kü thuËt nªn ®· t¨ng ®­îc 4s¶n phÈm/ giê so víi dù kiÕn . V× vËy trong thêi gian qui ®Þnh kh«ng nh÷ng hoµn thµnh kÕ ho¹ch mµ cßn v­ît møc 16 s¶n phÈm. TÝnh n¨ng suÊt lµm lóc ®Çu.
Bµi 20: Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 36 s¶n phÈm trong thêi gian ®· ®Þnh.Sau khi ®i ®­îc nöa sè l­îng ®­îc giao , ng­êi ®ã dõng l¹i nghØ 30 phót . V× vËy mÆc dï lµm thªm 2 s¶n phÈm mçi giê víi nöa sè s¶n phÈm cßn l¹i song vÉn hoµn thµnh c«ng viÖc chËm h¬n dù kiÕn 12phót. TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn .
Bµi 21:Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã n­íc th× sau 1 giê 30 phót ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y 15 phót råi kho¸ l¹i, råi më tiÕp vßi thø hai ch¶y 20 phót th× ®­îc 20% bÓ. Hái nÕu ®Ó tõng vßi ch¶y mét th× sau bao l©u bÓ ®Çy.
Bµi 22:Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã n­íc th× sau 2 giê 40 phót ®Çy bÓ. TÝnh xem nÕu ®Ó tõng vßi ch¶y th× mçi vßi cÇn bao l©u, biÕt r»ng ®Ó ch¶y ®Çy bÓ th× vßi thø nhÊt cÇn nhiÒu h¬n vßi thø hai lµ 4 giê.
Bµi 23:Hai c«ng nh©n cïng lµm mét c«ng viÖc sau 4 ngµy hoµn thµnh . BiÕt r»ng nÕu lµm mét m×nh xong viÖc th× ng­êi thø nhÊt lµm nhanh h¬n ng­êi thø hai lµ 6 ngµy .TÝnh thêi gian mçi ng­êi lµm mét m×nh xong c«ng viÖc trªn.
Bµi 24: Trong mét buæi liªn hoan, mét líp häc sinh mêi 15 kh¸ch tíi dù . V× líp ®· cã 40 häc sinh nªn ph¶i kª thªm 1 d·y ghÕ n÷a vµ mçi d·y ghÕ ph¶i xÕp thªm 1 ng­êi n÷a míi ®ñ chç ngåi.Hái ban ®Çu líp häc cã bao nhiªu d·y ghÕ, biÕt mçi d·y cã sè ng­êi ngåi nh­ nhau vµ kh«ng qu¸ 5 ng­êi.
Bµi 25:Trong mét trang s¸ch nÕu thªm 2 dßng vµ mçi dßng bít ®i 1ch÷ th× sè ch÷ trong trang t¨ng thªm 4 ch÷. Nh­ng nÕu bít ®i 3 dßng vµ mçi dßng thªm 2 ch÷ th× sè ch÷ trong trang vÉn kh«ng thay ®æi. TÝnh sè ch÷ , sè dßng trong trang s¸ch lóc ®Çu.
Bµi 26: Theo dù kiÕn, mét ®éi xe ®ù ®Þnh ®iÒu ®éng mét sè l­îng xe ®Ó chuyªn chë 420 tÊn hµng . Nh­ng thùc tÕ ®éi ®· ®iªï ®éng thªm 5 xe n÷a . Do vËy mçi xe chuyªn chë Ýt h¬n ban ®Çu 7 tÊn so víi dù kiÕn. TÝnh sè l­îng xe mµ ®éi ®· ®iÒu ®éng chuyªn chë.
Bµi 27:Tæng cña ch÷ sè hµng ®¬n vÞ vµ hai lÇn ch÷ sè hµng chôc cña mét sè cã hai ch÷ sè lµ 10. NÕu ®æi chç ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cho nhau th× sÏ ®­îc sè míi nhá h¬n sè ban ®Çu 18 ®¬n vÞ. T×m sè cã hai ch÷ sè.
Bµi 28:Mét khu v­ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 280m . Ng­êi ta lµm mét lèi ®i xung quanh v­ên thuéc ®Êt cña v­ên réng 2m , diÖn tÝch ®Êt cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256m2. TÝnh kÝch th­íc cña v­ên
Bµi 29:Trªn mét miÕng ®Êt h×nh thang c©n chiÒu cao 35m, hai ®¸y lÇn l­ît b»ng 30m, 50m ng­êi ta lµm hai ®o¹n ®­êng cã cïng chiÒu réng. C¸c tim ®­êng lÇn l­ît lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang vµ c¸c ®o¹n th¼ng nèi hai trung ®iÓm cña hai ®¸y.TÝnh chiÒu réng c¸c ®o¹n ®­êng ®ã biÕt r»ng diÖn tÝch lµm ®­êng chiÕm 0,25 diÖn tÝch h×nh thang.
Häc vÊn lu«n ®em ®Õn cho b¹n niÒm vui thùc sù
Bµi 1: Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh OA=R. VÏ d©y BC vu«ng gãc víi OA t¹i trung ®iÓm H cña OA.
a) Tø gi¸c ABOC lµ h×nh g× ?
b) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua A. Chøng minh r»ng:KBOC tø gi¸c néi tiÕp vµ KB,KC lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
c) Tam gi¸c KBC lµ tam gi¸c g×?
d) Trùc t©m tam gi¸c ABC lµ ®iÓm nµo trªn h×nh vÏ ?
e) TÝnh ®é dµi BC.
f) TÝnh diÖn tÝch phÇn trung cña h×nh trßn(O;R) vµ h×nh trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c KBOC.
Bµi 2: Cho (O;R) vµ d©y ABAB.Tõ C kÎ hai tiÕp tuyÕn víi (o)t¹i P,K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB
a) Chøng minh r»ng Tø gi¸c CPOK néi tiÕp
b) Chøng minh r»ng: C,P, I, O, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
c) Chøng minh r»ng tam gi¸c ACP ®ång d¹ng víi tam gi¸c PCB suy ra CP2=CB.CA
d) gäi H trùc t©m tam gi¸c CPK.TÝnh PH theo R
e) Gi¶ sö PA//CK. Chøng minh r»ng tia ®èi cña tia BK lµ ph©n gi¸c cña gãc CBP
Bµi 3 : Cho DABC nhän, néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. Tõ B, C kÎ tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn, chóng c¾t nhau t¹i D. Tõ D kÎ c¸t tuyÕn song song víi AB c¾t ®­êng trßn t¹i E, F vµ c¾t AC t¹i I.
Chøng minh gãc DOC b»ng gãc BAC
Chøng minh bèn ®iÓm O, I, D, C n»m trªn mét ®­êng trßn 
Chøng minh IE=IF 
Chøng minh ID lµ ph©n gi¸c gãc BIC
Cho B,C cè ®Þnh , khi A chuyÓn ®éng trªn cung BC lín th× I di chuyÓn trªn ®­êng nµo ?
Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O;R) ®­êng kÝnh AB, kÎ tia tiÕp tuyÕn Ax vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm P sao cho AP>R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi ®­êng trßn t¹i M.
Chøng minh APMO néi tiÕp
Chøng minh r»ng BM//OP
§­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh .
Chøng minh r»ng PNMO lµ h×nh thang c©n
BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I, PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minhI, J, K th¼ng hµng.
Bài 5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. 
2) Chứng minh ΔMNK cân. 
3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định. 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY.Môn : Toán (chung)Khóa thi : 2003 –2004) 
Bµi 6: Cho ®o¹n AB vµ M n»m gi÷a A.B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB dùng h×nh vu«ng AMCD, MBEF. AF c¾t BC t¹i N
a)Chøng minh r»ng:AF vu«ng gãc víi BC,suy ra N n»m trªn hai ®­êng trßn ngo¹i tiÕp AMCD, MBEF.
b) Chøng minh: D, N,E th¼ng hµng vµ MN vu«ng gãc víi DE
c)Cho AB cè ®Þnh M di ®éng. Chøng minh:MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh,
Bµi7:Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn(O). D,E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, AC. DE c¾t AB vµ AC t¹i H,K.
a) Chøng minh r»ng: tam gi¸cAHK c©n
b) BE c¾t CD t¹i I, Chøng minh r»ng AI vu«ng gãc víi DE
c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiÕp
d) Chøng minh r»ng IK//AB
e) tam gi¸c ABC cã thªm ®iÒu kiÖn g× ? th× AI//EC
Bµi 8:Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB=2R vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn mét nöa ®­êng trßn. Ng­êi ta vÏ mét ®­êng trßn t©m E tiÕp xóc víi nöa ®­êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®­êng kÝnh AB t¹i N. §­êng nµy c¾t MA, MB lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D.
Chøng minh CD//AB
Chøng minh MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMB vµ ®­êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm K cè ®Þnh.
Chøng minh:tÝch KM.KN kh«ng ®æi
Gäi giao ®iÓm cña c¸c tia CN,DN víi KB,KA lÇn l­ît lµ C,,D,.T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c NC,D, ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 9:Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. §­êng cao AH. §­êng trßn ®­êng kÝnh AH c¾t c¸c c¹nh AB,AC, lÇn l­ît t¹i E,F.
Chøng minhtø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. 
Chøng minhAE.AB=AF.AC
Chøng minh r»ng BEFC néi tiÕp
§­êng th¼ng qua Avu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I, Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BC.
Chøng minh r»ng nÕu diÖn tÝch cña ABC gÊp ®«i diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n.
Bµi 10: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong mét ®­êng trßn. P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB( phÇn kh«ng chøa C,D). Hai ®©y PC, PD lÇn l­ît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD, PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. C¸c d©y BC,PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minhr»ng:
Gãc CID b»ng gãc CKD.
Tø gi¸c CDEF néi tiÕp ®­îc.
PC.PE = PD.F
IKCD néi tiÕp
IK//AB.
PA lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFD.
Bµi 11: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD néi tiÕp trong ®­êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i C víi ®­êng trßn c¾t AB,AD kÐo dµi lÇn l­ît t¹i E vµ F.
Chøng minh AB.AE=AD.AF b»ng hai ph­¬ng ph¸p.
Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh AM vu«ng gãc víi BD.
TiÕp tuyÕn t¹i B vµ D víi ®­êng trßn (O) c¾t EF lÇn l­ît t¹i I, J. Chøng minh I vµ J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña CE vµ CF.
TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn giíi h¹n bëi d©y AD vµ cung nhá AD, biÕt AB=6 vµ AD=6.
Bµi 12: Cho nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB=2R vµ mét ®iÓm M bÊt k× n»m trªn nöa ®­êng trßn (M kh¸c A vµ B). §­êng th¼ng d tiÕp xóc víi nöa ®­êng trßn t¹i M vµ c¾t ®­êng trung trùc cña ®o¹n AB t¹i I.D­êng trßn t©m I tiÕp xóc víi AB c¾t ®­êng th¼ng d t¹i C vµ D (D n»m trong gãc BOM).
Chøng minh c¸c tia OC,OD lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc ACM vµ BOM.
Chøng minh CA vµ DB vu«ng gãc víi AB.
Chøng minh AC.BD=R2
T×m mét vÞ trÝ cña M trªn nöa ®­êng trßn (O) ®Ó tæng AC+BD ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt? T×m gi¸ trÞ ®ã theo R.
Bµi 13:Cho ®­êng trßn t©m (O;R), hai ®­êng kÝnh AB,CD vu«ng gãc víi nhau. Trong ®o¹n AB lÊy mét ®iÓm M( kh¸c O). §­êng th¼ng CM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N víi ®­êng trßn ë ®iÓm P. Chøng minh r»ng:
tø gi¸c OMNP néi tiÕp ®­îc.
Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
Tø gi¸c OMNP néi tiÕp
TÝch CM.CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.
Khi M di ®éng trªn ®o¹n AB th× P ch¹y trªn mét ®o¹n th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 14:Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD(AC c¾t BO). KÐo dµi AB vµ DC c¾t nhau ë E;CB vµ DA c¾t nhau t¹i F.
Chøng minh DB vu«ng gãc víi EF( gäi ch©n ®­êng vu«ng gãc lµ G)
Chøng minh BCGF , ABGF néi tiÕp
Chøng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG 
Chøng minh B lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACG.
Cho gãc ABC b»ng 1350, h·y tÝnh ®é dµi AC theo BD.
Bµi 15 : Cho ba ®iÓm A, B, C trªn mét ®­êng th¼ng theo thø tù Êy vµ mét ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A. VÌ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy mét ®iÓm M bÊt k×. Tia CM c¾t ®­êng th¼ng d t¹i D; Tia AM c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm thø hai t¹i N; tia DB c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm thø hai P.
Chøng minh ABMD néi tiÕp
Chøng minh tÝch CM.CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M
Tø gi¸c APND lµ h×nh g× ?t¹i sao ?
Chøng minh träng t©m G cña tam gi¸c MAC ch¹y trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh khi M di ®éng
Bµi 16: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (gãc C=90),E lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh BC . Qua B kÎ mét tia v­¬ng gãc víi tia AE t¹i H vµ c¾t tia AC t¹i K. Chøng minh r»ng:
 Tø gi¸c BHCA néi tiÕp 
KC. KA=KH.KB .
§é lín cña gãc CHK kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm E
Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× BE.BC+ AE. AH kh«ng ®æi
Bµi 17 : cho ®­êng trßn t©m O vµ d©y AB. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a c¶u cung nhá AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a ®o¹n AB. Tia MC c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm th­ hai D. Chøng minh :
MA2 = MC.MD
MB.BD = BC.MD
§­êng trßn ngo¹i tiÕp DBCD tiÕp xóc víi MB t¹i B.
Tæng b¸n kÝnh cña hai ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DBCD vµ DACD kh«ng ®æi khi C di ®éng trªn ®o¹n AB.
 Bµi 18: Cho DABC cã gãc A > 90o. §­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB c¾t ®­êng trßn (O/) ®­êng kÝnh AC t¹i giao ®iÓm thø hai lµ H. Mét ®­êng th¼ng (d) quay quanh A c¾t §­êng trßn (O), ®­êng trßn (O/) lÇn l­ît t¹i M, N sao cho A n»m gi÷a M vµ N.
Chøng minh H thuéc c¹nh BC vµ tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang vu«ng.
Chøng minh tû sè kh«ng ®æi.
Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN, K lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh bèn ®iÓm A, H, K, I thuéc mét ®­êng trßn vµ I di chuyÓn trªn mét cung trßn cè ®Þnh.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®­êng th¼ng (d) ®Ó diÖn tÝch DHMN lín nhÊt.
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu V¨n An, Amterdam, HN. Khóa thi : 1999- 2000 ) 
Bµi 19:Cho ®o¹n th¼ng AB vµ mét ®iÓm P n»m gi÷a A vµ B.Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB vµ lÇn l­ît trªn hai tia dã lÊy hai ®iÓm C vµ D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
Chøng minh tam gi¸c ACP ®ång d¹ng víi tam gi¸c BPD.
Chøng minh gãc CPD b»ng 900. Tõ ®ã suy ta c¸ch dùng hai ®iÓm C;D tho¶ m·n (1)
Gäi M lµ h×nh chiÕu cña P trªn CD, chøng minh gãc AMB b»ng 900
Gäi AM c¾t CP t¹i I, BM c¾t PD t¹i K. Chøng minh IK // AB
Chøng minh ®iÓm M ch¹y trªn nöa ®­êng trßn cè ®Þnh khi C;D lÇn l­ît di ®éng trªn Ax, By nh­ng vÉn tho¶ m·n (1).
Bµi 20:Cho tam gi¸cABC c©n t¹i A( gãc A<900) néi tiÕp ®­êng trßn (O). Mét ®iÓm M tuú ý trªn cung nhá AC. Tia Bx vu«ng gãc víi AM c¾t tia CM t¹i D. Chøng minh r»ng:
Gãc AMD b»ng gãc ABC.
Tam gi¸c BMD c©n
Khi M di ®éng trªn cung nhá AC th× D ch¹y trªn mét cung trßn cè ®Þnh vµ ®é lín cña gãc BDC kh«ng ®æi .
Bµi 21: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E.C¸c ®­êng th¼ngCD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai F, G. Chøng minh:
tam gi¸cABC ®ång d¹ng víi tam gi¸cEBD.
Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®­îc.
Chøng minh AD.AB = AG.AE
AC//FG.
C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, BF ®ång quy.
Bµi 22: Cho hai ®­êng trßn (O1),(O2) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. Mét ®­êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (O1),(O2) lÇn l­ît t¹i B, C.
Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng.
Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tia tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn.
Chøng minh gãc O1MO2 b»ng 900
 C¸c tia BA, CA lÇn l­ît c¾t (O1),(O2) t¹i c¸c giao ®iÓm thø hai D, E. Chøng minh diÖn tÝch tam gi¸cADE b»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC .
Bài 23 : Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh SO vuông góc với AB.
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R. 
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TP. HỒ CHÍ MINH Khóa thi : 2002 - 2003
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ THÀNH PHỐ HÀ NỘI
* Môn : Toán   * Thời gian : 120 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
A. Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : 
Đề 1. Phát biểu và viết dạng tổng quát của quy tắc khai phương một tích.áp dụng tính :
Đề 2. Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. 
B. Bài tập bắt buộc (8 điểm) 
Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức : 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị của x để P = -1. 
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có : 
Bài 2 : (2 điểm): Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ? 
Bài 3 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn. 
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC. 
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. 
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. 
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS TỈNH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán    * Thời gian : 120 phút    * Khóa thi : 2002 - 2003
A. Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : 
Đề 1 : Nêu quy tắc nhân các căn thức bậc hai. áp dụng tính : 
Đề 2 : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến”. 
B. Bài tập : (8 điểm) Bắt buộc 
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Thực hiện phép tính : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2 : (2 điểm) Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô ? 
Bài 3 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng : 
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. 
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. 
c) Tứ giác BCFE nội tiếp. 
Bài 4 : (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán    * Thời gian : 150 phút    * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Tính : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. 
Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 
Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
c) Chứng minh : OK.OS = R2. 
Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 
Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. 
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS HÀ NỘI NĂM HỌC 2003 - 2004
A- Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : 
Đề 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm nghiệm chung của hai phương trình : x + 4y = 3 và x - 3y = -4. 
Đề 2. Phát biểu định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Chứng minh định lí trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn. 
B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm) 
Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức 
a) Rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P, biết 
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : 
Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán sau