Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CƠNG THỨC CỘNG 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC cos2a = sin2a = 4.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -p - - - - - - - 0 p độ -180o -150o -135o -120o -90o -60o -45o -30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1£ a £ 1) sinx = a Û; k Ỵ Z +sinx = sina Û; k Ỵ Z ( a = sina) sinx = 0 Û x = kp; k Ỵ Z sinx = 1 Û x = + k2p; k Ỵ Z sinx = -1 Û x = -+ k2p; k Ỵ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1£ a £ 1) cosx = a Û; k Ỵ Z +cosx = cosa Û; k Ỵ Z ( a = cosa) cosx = 0 Û x = + kp; k Ỵ Z cosx = 1 Û x = k2p; k Ỵ Z cosx = -1 Û x = p+ k2p; k Ỵ Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: + + 4.Phương trình cotx=a. TXĐ: + + III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c () đặt: phương trình trở thành: *Chú ý +Phương trình cĩ nghiệm khi +Nếu thì: 2.Phương trình : (1) +Nếu a = 0: +Nếu c = 0: +Nếu : BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) b) c) d) Giải. a) b) c) sin = 1 d) sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 Bài 2.Giải các phương trình: a) b) c) sin = - 1 d) e. f. g. h. i. Bài 3.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Bài 4.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. Bài 5. Giải các phương trình sau : a) b) c) d) Bài giải : a) b) c) Sin = 1 d) sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 Bài 6. giải phương trìnhlượng giác : a) b) c) Sin = - 1 d) Bài 7. Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) d) Bài 8. Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) d) Bài 9. Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) d) Bài 10. Giải Phương trình a. b. c. cos2x + sinx +1=0 a/ b c. Bài 11. Giải các pt. a. b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 c.2 cos2x -3cosx +1 =0 Đáp án a b=> => => c. Bài 12. a. Giải các Phương trình sau: b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 a/ b/ => Bài 13. Giải các phương trình sau a. b. c. Đs a. b. x=k3600 c. Bài 13. Giải Phương trình a. tan(x +200) = b. sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 ĐS.a. x=100 +k1800 b. c. Bài 14. Giải Phương trình a. b. 1a) ĩ 1b) Bài 15. Giải pt: a. b.sin(2x + ) = - Đáp án : a. b. Bài 16. Giải pt: a. b.cos(2x + ) = - c. 2 Đáp án : a. b. c. h. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 1. Bài 2. , Bài 3. Bài 4. (1) Điều kiện: Bài 5. (*) Điều kiện: C2 Bài 6. Bài 7. Bài 8. Bài 9. Bài 10. Ta cĩ: Đặt: Phương trình trở thành: loại Bài 11. Bài 12. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: Bài 13. Bài 14. Bài 15. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình cĩ nghiệm là: Bài 16. Vậy,phương trình cĩ nghiệm là: Bài 17. Bài 18. Bài 19.Cho phương trình: (*) a.Tìm m sao cho phương trình cĩ nghiệm. b.Giải phương trình khi m = -1. Giải. a. (*)cĩ nghiệm khi: b.Khi m = -1 phương trình trở thành: Bài 20. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm Giải. Ta cĩ: (**) a. khi phương trình trở thành: b.Phương trình cĩ nghiệm khi: Bài 21.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. p. q. Bài 22. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm Bài 23. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm Bài 24. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) cĩ nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. (1) Điều kiện: Ta cĩ: Bài 2. (*) Cách 1: Cách 2: Cách 3: Cách 4: Bài 3. Bài 4. (1) Điều kiện: Bài 5. (*) Điều kiện: Bài 6. (*) Điều kiện: Đối chiếu điều kiện phương trình cĩ nghiệm: Bài 7. Bài 8. Bài 9. Bài 10. (1) Điều kiện: Đặt: phương trình trở thành: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: Bài 11. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: Bài 12. Bài 13. (*) Bài 14. (*) Ta thấy: Thay vào phương trình (*) ta được: khơng thỏa mãn với mọi k Do đĩ khơng là nghiệm của phương trình nên: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: , Bài 15. (1) Điều kiện: Ta cĩ: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: , Bài 16. Đặt: phương trình trở thành: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: , Bài 17. (1) Điều kiện: C2: Đặt: Bài 18. (1) Điều kiện: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: Bài 19. (*) Điều kiện: Ta cĩ: Vậy,phương trình cĩ nghiệm: Bài 20. MỘT SỐ KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ ĐIỀU KIỆN I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các cơng thức sau: Cơng thức nhân đơi Cơng thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đĩ ta cĩ các kết quả cần chú ý sau ; ; ; 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: Khi đĩ (do ) Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Ta cĩ Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ Đối chiếu với điều kiện ta được Vậy phương trình cĩ nghiệm là Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy , do đĩ phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện . Khi đĩ phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ (2003_A); 3/ (2003_B); 4/ (2003_D); 5/ (2004_B). 2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác. ; ; ; + Các cơng thức về giá trị lượng giác của các cung cĩ liên quan đặc biệt. 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ phương trình đã cho trở thành Với thì Với thì Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ phương trình đã cho trở thành Giả sử , khi đĩ (vơ lí) Do đĩ phương trình tương đương với Vậy phương trình cĩ nghiệm là Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ thoả mãn điều kiện, do đĩ ta được Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vơ lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện. Giải (2) ta được , (với ) Vậy phương trình cĩ nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ Giả sử , thay vào (*) ta được (vơ lí) Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện. Giải (*) ta được Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện phương trình tương đương với + Đối chiếu điều kiện (1) Giả sử Do nên Lại do nên Từ đĩ . Suy ra với thoả mãn phương trình + Đối chiếu điều kiện (2) Giả sử Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên khơng tồn tại thoả mãn (3). Từ đĩ suy ra điều kiên (2) luơn được thoả mãn. Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ ; 3/ 4/ 5/ 3. Biểu diễn trên đường trịn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức cơ sở + Mỗi cung (hoặc gĩc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG; được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O; được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG; được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG. + Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm khơng thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà khơng trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện. 3.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D) Giải phương trình O y x Lời giải: Điều kiện Khi đĩ phươngtrình đã cho trở thành Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ phương trình đã cho trở thành o y x Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đĩ O x y Kết hợp với điều kiện trên đường trịn lượng giác .Ta được nghiệm của phương trình là. Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ ; 3/ ; 4/ ; 5/ (Tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A). PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011 [ĐH A02] Tìm : [ĐH B02] [ĐH D02] Tìm : [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc [Dự bị 2 ĐH02] [Dự bị 3 ĐH02] [Dự bị 4 ĐH02] [Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm. [Dự bị 6 ĐH02] [ĐH A03] [ĐH B03] [ĐH D03] [Dự bị 1 ĐH A03] [Dự bị 2 ĐH A03] [Dự bị 1 ĐH B03] [Dự bị 2 ĐH B03] [Dự bị 1 ĐH D03] [Dự bị 2 ĐH D03] [ĐH B04] [ĐH D04] [Dự bị 1 ĐH A04] [Dự bị 2 ĐH A04] [Dự bị 1 ĐH B04] [Dự bị 2 ĐH B04] [Dự bị 1 ĐH D04] [Dự bị 2 ĐH D04] [ĐH A05] [ĐH B05] [ĐH D05] [Dự bị 1 ĐH A05] Tìm [Dự bị 2 ĐH A05] [Dự bị 1 ĐH B05] [Dự bị 2 ĐH B05] [Dự bị 1 ĐH D05] [Dự bị 2 ĐH D05] [ĐH A06] [ĐH B06] [ĐH D06] [Dự bị 1 ĐH A06] [Dự bị 2 ĐH A06] [Dự bị 1 ĐH B06] [Dự bị 2 ĐH B06] [Dự bị 1 ĐH D06] [Dự bị 2 ĐH D06] [ĐH A07] [ĐH B07] [ĐH D07] [Dự bị 1 ĐH A07] [Dự bị 2 ĐH A07] [Dự bị 1 ĐH B07] [Dự bị 2 ĐH B07] [Dự bị 1 ĐH D07] [Dự bị 2 ĐH D07] [ĐH A08] [ĐH B08] [ĐH D08] [CĐ 08] [Dự bị 1 ĐH A08] [Dự bị 2 ĐH A08] [Dự bị 1 ĐH B08] [Dự bị 2 ĐH B08] [Dự bị 1 ĐH D08] [Dự bị 2 ĐH D08] [ĐH A09] [ĐH B09] [ĐH D09] [CĐ 09] [ĐH A10] [ĐH B10] [ĐH D10] [ĐH A11] [DB A11] [ĐH B11] [ĐH D11] [DB D11] -------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 Bài Hướng dẫn giải Kết qủa 1 A.2002 Tìm : (1) Điều kiện : (1) Vì Nên nghiệm của phương trình : 2 B.2002 3 D.2002 Tìm : (1) Ta cĩ : (1) Vì 4 DB 1 2002 Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc : (1) (1) (2) với Ta cĩ : Bài tốn thành : Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn (2) Đặt Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P) 1 1 o Khảo sát hàm số : BBT Phương trình (2) cĩ ít nhất một nghiện trên đoạn 5 DB 2 2002 (1) Điều kiện : (1) 6 DB 3 2002 (1) Điều kiện : (1) 7 DB 4 2002 (1) Điều kiện : Ta cĩ : (1) 8 DB 5 2002 Cho phương trình : a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm. Giải. a)Với , phương trình thành : (1) vì : (1) b) (2) Điều kiện để phương trình (2) cĩ nghiệm : 9 DB 6 2002 (1) Điều kiện : (1) Vì : ; 10 A2003 (1) Điều kiện : (1) * * ( vơ nghiệm ) 11 B2003 (1) Điều kiện : (1) 12 D2003 (1) Điều kiện : (1) So với điều kiện : Nghiệm của (1) : 13 DB 1 A2003 Điều kiện : 14 DB 2 A2003 Điều kiện : 15 DB 1 B2003 * ; * 16 DB 2 B2003 (1) Điều kiện : (1) Vì : Nên nghiệm của phương trình : 17 DB 1 D2003 (1) Điều kiện : (1) 18 DB 2 D2003 (1) Điều kiện : (1) 19 B2004 Điều kiện : 20 D2004 21 DB 1 A2004 22 DB 2 A2004 (1) TXĐ : Chú ý : ; (1) (2) Đặt : ; ,khi đĩ : (3) ( nhận xét và suy ra : ) (3) 23 DB 1 B2004 24 DB 2 B2004 Điều kiện : (1) 25 DB 1 D2004 26 DB 2 D2004 (1) Đặt với (1) Với 27 A2005 28 B2005 29 D2005 30 DB 1 A2005 Tìm của : (chia 2 vế cho 2) Vì Vì 31 DB 2 A2005 32 DB1 B2005 33 DB 2 B2005 (1) Điều kiện : (1) 34 DB 1 D2005 (1) Điều kiện : (1) 35 DB 2 D2005 Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến Ta cĩ : Nghiệm của (1) : 36 A2006 (1) điều kiện : (1) vì : Nghiệm của (1) 37 B2006 (1) Điều kiện : Ta cĩ : (1) 38 D2006 39 DB 1 A2006 (1) Ta cĩ (1) 40 DB 2 A2006 41 DB 1 B2006 (1) điều kiện : (1) 42 DB 2 B2006 ; 43 DB 1 D2006 44 DB 2 D2006 45 A2007 46 B2007 47 D2007 48 DB 1 A2007 (1) điều kiện : (1) 49 DB 2 A2007 50 DB 1 B2007 51 DB 2 B2007 (1) điều kiện : (1) 52 DB1 D2007 53 DB1 D2007 (1) điều kiện : (1) 54 A2008 (1) Điều kiện : và (1) Chú ý : (1) 55 B2008 56 D2008 57 CĐ 2008 58 DB 1 A2008 (1) điều kiện : (1) 59 DB 2 A2008 60 DB 1 B2008 61 DB 2 B2008 62 DB 1 D2008 63 DB 2 D2008 (1) điều kiện : (1) 64 A2009 (1) điều kiện : (1) ; 65 B2009 66 D2009 67 CĐ 2009
File đính kèm:
BAI TAP PHUONG TRINH LUONG GIAC.doc
