Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán - Phần 2

Bài tập chọn lọc
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
Giải hệ để tìm S và P 
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: 
t2 - St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
Cách giải
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 
Cách giải
Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Kjd Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phương trình
Bài 2. Giải các hệ phương trình 
CÁC BÀI HPT CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình 
1. CMR hpt có nghiệm với mọi m?
2. Có nghiệm thỏa mãn điều kiện . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
3. Tìm số nguyên m để hpt có nghiệm nguyên.
KQ: .
Bài 2. Cho hệ phương trình: 
1. Tìm m để hpt có vô số nghiệm?
2. Tìm m để hpt vô nghiệm?
3. Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0 ?
KQ: .
Bài 3. Cho hệ phương trình 
Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất.
KQ: .
Bài 4. Cho hệ phương trình 
	Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm tmđk: S = x + y đạt GTNN?
Bài 5. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức 
	P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2). 
Bài 6. Cho hệ phương trình: 
1. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0) thì điểm A(x0; y0) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
2. Xác định m để A thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
3. Xác định m để A thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .	
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D (2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m = 0
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 2. Cho phương trình (k - 1)x2 - 2kx + k - 4 = 0. 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k?
Bài 3. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình:
1/ x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn 
2/ x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x1 = ‘2x2
3/ x2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0
Bài 4. Cho phương trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 5. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
	Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn 
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 6. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 
	2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2|
Bài 7. Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung
	x2 + mx + 1 = 0;	x2 + x + m = 0
Bài 2. Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0;	x2 + q2x + q2 = 0
	Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3. Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau:
	2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0;	6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0
	Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
	(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 
a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phương trình 
	x2 + 2ax + ac = 0;	 x2 - 2bx + ab - c = 0;	 x2 + 2cx + c = 0 
 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
a(a + 2b + c) < 0
5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phương trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 9. Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
	a. 	b. 	c. 	d. 
Bài 11. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm 
	;	
Bài 12. Cho phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
a. 
b. 
Bài 19. Cho phương trình: x2 + px + q = 0
	Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phương trình thỏa mãn
Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = 0 có các nghiệm x1, x2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 sao cho:
y1 = x1 - 3, y2 = x2 - 3
y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - 1
Bài 21. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm
	x2 + ax + b - 1 = 0
	x2 + bx + c - 1 = 0
	x2 + cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phương trình: 
x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)
	Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 24. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
Bài 25. Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương
	x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0.
	x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0	
Bài 27. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2
Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt
Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 4
Bài 28. Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0
Biết rằng phương trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức 
 -2 < x1 < x2 < 4
Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phương trình 
 x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0. 
 Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Bài 30. Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau: 
 x2 + ax + b = 0Equation Section (Next)
 x2 + bx + c = 0
 x2 + cx + a = 0.
Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm
Bài 31. Cho biết phương trình x2 + bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là . Tìm các cặp số (b, c)
Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: 
 (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 
 thỏa mãn điều kiện: :
Bài 34. Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3.
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 35. Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn .
Bài 36. Cho phương trình x2 + 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b: 	
	(a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: 	
	x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 	
	x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2).
Bài 41. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: 	
	(m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0.
Bài 42. Xác định m để phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dương, và trái dấu nhau
Bài 43. Tìm giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 
x3 - m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 44. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b và c: 
x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.
Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu .
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu 	
bm = 2(c + n): 
x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0.
Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phương trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm: 
Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
x2 + 2x + m = 0 (1)	và x2 + mx + 2 = 0 (2).
Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
x2 + (m - 2)x + 3 = 0 và 2x2 + mx + m + 2 = 0.
Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x2 + (7m-15)x -19 = 0.
Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
2x2 + (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x2 - 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phương trình x2 - 4x + m = 0 (2).
Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình 	
x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
Biết phương trình (1) có nghiệm dương m, 
Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2.
Bài 58. Cho các phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phương trình (1), các nghiệm x3, x4 của phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức: .
Bài 59. Phương trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2. Phương trình x2 - b2x + bc = 0 có nghiệm x3, x4. 
Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x2 + ax + 6 = 0 và x2 + bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm chung và nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phương trình x2 + mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 66. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 
x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0.
Bài 67. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:	(m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0.
Bài 68. Tìm giá trị của m để phương trình: mx4 - 10mx2 + m + 8 = 0
Có bốn nghiệm phân biệt.
Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1.
Bài 76. Cho phương trình ẩn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện: .
Bài 78. Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0.
Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 79. Cho phương trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6.
Bài 80. Cho hai phương trình:	x2 + x + a = 0 (1)	x2 + ax + 1 = 0 (2)
	Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
Tương đương với nhau.
Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81 
Chứng minh hằng đẳng thức: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
Cho phương trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1.
Bài 84. Cho phương trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0.
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 85. Cho phương trình: x2 - 4x + m + 1 = 0.
Định m để phương trình có nghiệm.
Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Bài 85. Cho phương trình x2 - 2mx + m + 2 = 0.
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm.
Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: theo m.
Bài 87. Cho phương trình: 3x2 - mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 
 3x1x2 = 2x2 - 2.
Bài 88. Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn: , .
Bài 89. Cho phương trình: 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .
Bài 90. Cho phương trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phương trình: x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
Xác định m để: .
Bài 92. Cho phương trình: x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
Bài 93. Cho phương trình: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2.
Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức: .
Bài 94. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2.
Bài 95. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac.
Bài 96. Cho hai phương trình:	x2 + mx + 2 = 0 (1)	x2 + 2x + m = 0 (2)
Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
Định m để hai phương trình tương đương.
Xác định m để phương trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 100. Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a ≠ 0. Cho biết phương trình có một nghiệm . Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 102. Cho phương trình: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức: .
Bài 105. Cho hai phương trình: 	2x2 + mx - 1 = 0 (1)	mx2 - x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 - cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: .
Bài 107. Xác định a để 2 phương trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 108. Cho phương trình: 2x2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: .
Bài 109. Cho biết x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: 	ax2 + bx + c = 0 (). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: .
Bài 110. Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0. Hãy viết phương trình bậc hai nhận làm hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6.
Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Bài 114. Cho phương trình: x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
Bài 116. Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 117. Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0
Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 119. Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: .
Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m.
Bài 120. Cho phương trình: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: .
Bài 121. Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phương trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Giải phương trình khi a = 13. 
Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 123. Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1.
Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.
Bài 124. Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 125. Cho phương trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 - x2 = 5 và . Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương x1 thì phương trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 ≥ 2.
Bài 130. Cho phương trình: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0.
Giải phương trình khi m = 9.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.
Bài 131. Cho phương trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm là a và b.
Bài 132. Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1).
Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương.
Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Lập một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 138. Giả sử phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Xác định m để biểu thức: đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 140. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0
Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 141. Cho phương trình: x2 - mx + m -1 = 0. Có 2 nghiệm x1, x2. Với giá trị nào của m, biểu thức: đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 142. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức: 
 a. 4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1)
 b. (2)
Bài 145. Cho phương trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
Xác định a để phương trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 146. Cho phương trình: x2 - ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: .
Tìm giá trị của a để: đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 147. Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= 0.
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 148. Cho phương trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Chứng minh rằng với mọi a, b phương trình đã cho đều có nghiệm.
Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?
Bài 149. Cho phương trình: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Bài 150. Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0. 
Giải và biện luận phương trình theo m.
Khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2: 
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.
Tìm m sao cho: .
Bài 151. Cho phương trình : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.
Bài 152. Cho phương trình: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0.
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Bài 153. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 3x + a = 0
	 Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình: t2 - 12t + b = 0
Cho biết: . Tính a và b.
HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Kiến thức cơ bản
Hàm số 
Khái niệm hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là biến số
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
* Tổng quát 
+ Hàm số f(x) đồng biến trên D
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên D
Hàm số bậc nhất
Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
 Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó
+ 
+ 
+ 
+ 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. 
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là