Tài liệu tham khảo ôn tập và luyện thi Toán 9

LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
 Toán là một môn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trò. Môn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh vào các trường THPT. Chương trình Toán 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT, đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Toán9.
 Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các em có phương pháp học tốt môn Toán 9, tôi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một cách toàn diện nội dung chương trình Toán 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm vững một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
 Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Toán có các ví dụ minh họa có lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
 Phần này trình bày 10 đề thi môn Toán tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
 Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức với đề thi.
 Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện hơn!
 Chân thành cảm ơn các bạn và các em!
PHẦN I: 
HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9
---***---
VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ:
KiÕn thøc c¬ b¶n
C¨n bËc hai
C¨n bËc hai sè häc
Víi sè d­¬ng a, sè ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a
Sè 0 còng ®­îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0
Mét c¸ch tæng qu¸t: 
So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc
 - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: 
C¨n thøc bËc hai vµ h»ng ®¼ng thøc 
C¨n thøc bËc hai
Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè , ng­êi ta gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña A, A ®­îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc d­íi dÊu c¨n
 x¸c ®Þnh (hay cã nghÜa) A 0
H»ng ®¼ng thøc 
Víi mäi A ta cã 
Nh­ vËy: + nÕu A 0
 + nÕu A < 0
Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph­¬ng
§Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B 0 ta cã: 
 + §Æc biÖt víi A 0 ta cã 
Quy t¾c khai ph­¬ng mét tÝch: Muèn khai ph­¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph­¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi nhau 
Quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai: Muèn nh©n c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè kh«ng ©m, ta cã thÓ nh©n c¸c sè d­íi dÊu c¨n víi nhau råi khai ph­¬ng kÕt qu¶ ®ã
Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph­¬ng
§Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > 0 ta cã: 
Quy t¾c khai ph­¬ng mét th­¬ng: Muèn khai ph­¬ng mét th­¬ng a/b, trong ®ã a kh«ng ©m vµ b d­¬ng ta cã thÓ lÇn l­ît khai ph­¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai.
Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d­¬ng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai ph­¬ng kÕt qu¶ ®ã.
BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
§­a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n
Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã , tøc lµ
+ NÕu A 0 vµ B 0 th× 
+ NÕu A < 0 vµ B 0 th× 
§­a thõa sè vµo trong dÊu c¨n
+ NÕu A 0 vµ B 0 th× 
+ NÕu A < 0 vµ B 0 th× 
Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n
- Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0 vµ B 0, ta cã 
Trôc c¨n thøc ë mÉu
- Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã
- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã 
- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã
C¨n bËc ba
Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:
C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a
Víi mäi a th× 
TÝnh chÊt
Víi a < b th× 
Víi mäi a, b th× 
Víi mäi a vµ th× 
KiÕn thøc bæ xung (*) Dµnh cho häc sinh kh¸ giái, häc sinh «n thi chuyªn
C¨n bËc n
C¨n bËc n () cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a
C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1)
Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ
C¨n bËc lÎ cña sè d­¬ng lµ sè d­¬ng
C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m
C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0
C¨n bËc ch½n (n = 2k )
Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n
C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0
Sè d­¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ vµ 
C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc.
 x¸c ®Þnh víi 
 x¸c ®Þnh víi 
 víi A
 víi A
 víi A, B
 víi A, B mµ 
 víi A, B
 víi A, B mµ 
 víi A, B mµ B 0
 víi A, B mµ B 0, 
 víi A, mµ 
 víi A, mµ 
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.
Bài 1: Tính:
a. 
b. B = + 	
c. C = 5. + . + 
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. .
b. B = + = 
= = = 3
c. C = 5. + . + = 5. + . + 
= + + = 3
Bài 2: Cho biểu thức A = 
Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
Tim giá trị của x để A = .
Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Điều kiện 
Với điều kiện đó, ta có: 
b). Để A = thì (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thì A = 
 c). Ta có P = A - 9 =
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 
Suy ra: . Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức khi 
Bài 3: 1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
	2) Rút gọn biểu thức (với )
	3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 
2) Với x 0, x ¹ 16 ta có :
B = = 
3) Ta có: .
Để nguyên, x nguyên thì là ước của 2, mà Ư(2) =
Ta có bảng giá trị tương ứng:
1
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK , để nguyên thì 
Bài 4: Cho biÓu thøc: 
a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P.
b). T×m x,y nguyªn tháa m·n phư¬ng tr×nh P = 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; .
 VËy P = 
b) ĐKXĐ: 
P = 2 = 2
Ta cã: 1 + Þ Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n).
Bài 5:Cho biÓu thøc M =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
T×m x ®Ó M = 5
T×m x Z ®Ó M Z.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M = 
 a.§K 0,5®
Rót gän M =
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = 
 M = 
§èi chiÕu §K: VËy x = 16 th× M = 5
c. M = 
Do M nªn lµ ­íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4
LËp b¶ng gi¸ trÞ ta ®­îc: 
 v× 
Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
Rút gọn biểu thức P
Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1
Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
P = 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : 
Rút gọn Q
Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Rút gọn:
 Q = - ( 1 + ) : 
 = - . 
 = - = 
 = = 
Khi có a = 3b ta có: Q = = = 
Bài 8: Cho biểu thức
 a ) Rút gọn A;
 b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 a) 
 b) Ta có 
 Do đó ( vì xy = 16 )
 Vậy min A = 1 khi 
Bài 9: Cho biểu thức:
 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
 b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 
b) Đkxđ : 
c) Thay vào biểu thức , ta có:
Bài 10: Cho biểu thức:
 P =
 a) Rút gọn P
 b) Tìm giá trị của x để P = -1
 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: 
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có: 
ĐKXĐ: 
 Với x > 0 và ta có: 
P = 
 ( Đk: x9)
Với x > 0 , x thì P = 
 P = - 1
( ĐK: x > 0, )
 Đặt đk y > 0
Ta có phương trình: 	Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
Với thì x = ( thoả mãn đkxđ)
 Vậy với x = thì P = - 1
c) (đk: x > 0; )
 ( Do 4x > 0)
Xét 
 Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn) 
Theo kết quả phần trên ta có : 
Kết luận: Với thì 
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức : 
Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
Rót gọn biểu thức A .
Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức .
Tính giá trị của khi 
C©u3 Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức A .
Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
C©u4 Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn biểu thức A . 
	b) Tính giá trị của A khi x = 
	c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . 
C©u 5 Cho biểu thức : A = 
 a. T×m §KX§
 b) Rót gän biÓu thøc A
 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn.
C©u 6 Cho biểu thức 
	a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
	b) Tìm giá trịn nguyên của x để nhậ giá trị nguyên.
C©u 7 Cho 
a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > .
c) T×m a biết P = .
C©u 8 Cho 
	a) Chứng minh 
	b) Tính P khi 
	2.Tính 
C©u 9 Cho biểu thức 
	a) Rút gọn B.
	b) Tính giá trị của B khi .
	c) Chứng minh rằng với mọi gía trị của x thỏa mãn .
C©u 10 Cho 
	a) Tìm TXĐ
	b) Rút gọn biểu thức M.
	c) Tính giá trị của M tại .
C©u 11 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
C©u 12 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
C©u 13 Cho biểu thức: .
a. Chứng minh 
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
C©u 14 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
C©u 15 Rút gọn biểu thức: .
C©u 16 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức : 
 với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn biểu thức A.	
b) Tìm giá trị của A với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 19: Cho biểu thức 
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm a để 
Bài 20: Cho biểu thức 
	a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên.
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. §Þnh nghÜa : Ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 
trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tr­íc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ 
II. C«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai :
Ph­¬ng tr×nh bËc hai 
*) NÕu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
*) NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : 
*) NÕu ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
III. C«ng thøc nghiÖm thu gän : 
Ph­¬ng tr×nh bËc hai vµ 
*) NÕu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
*) NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : 
*) NÕu ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
IV. HÖ thøc Vi - Et vµ øng dông :
1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh th× : 
2. Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta gi¶i ph­¬ng tr×nh :
(§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ )
3. NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : 
 NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : 
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a ¹ 0) cã: 
 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) Û D ³ 0
 2. V« nghiÖm Û D < 0
 3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) Û D = 0
 4. Cã hai nghiÖm ph©n biÖt (kh¸c nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiÖm cïng dÊu Û D³ 0 vµ P > 0
 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu Û D > 0 vµ P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiÖm d­¬ng(lín h¬n 0) Û D³ 0; S > 0 vµ P > 0
 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiÖm ®èi nhau Û D³ 0 vµ S = 0
 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau Û D³ 0 vµ P = 1
 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n 
 Û a.c < 0 vµ S < 0
 12. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm d­¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n 
 Û a.c 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau :
Gi¶i
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
NhÈm nghiÖm :
Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : 
§Æt . Ta cã ph­¬ng tr×nh : 
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : (tháa m·n); (lo¹i)
	Với: 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
(§KX§ : )
Ph­¬ng tr×nh : 
=> ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : (tháa m·n §KX§)
	 (tháa m·n §KX§)
Bµi 2. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : (1)
a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2.
b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh theo m.
c/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : .
d/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i.
f/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a/ Thay m = - 2 vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã ph­¬ng tr×nh :
VËy víi m = - 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1.
b/ Ph­¬ng tr×nh : (1) Ta có: 
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : 
*) 
*) 
c/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã 
Do ®ã 	
=> ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : 
Thö l¹i :	+) Víi => lo¹i.
	+) Víi => tháa m·n.
VËy víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : .
d/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : 
HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : 
Thay vµo (b) ta cã ph­¬ng tr×nh : 
=> ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
Thö l¹i :	+) Víi => tháa m·n.
	+) Víi => tháa m·n.
VËy víi ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 
Khi ®ã : 
VËy víi m = 6 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = - 3.
f/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 
VËy víi m < - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
g/ Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2. Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã : 	
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0
Bµi 3: 
 Cho ph­¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m)
 a) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm
 b) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm duy nhÊt ®ã?
 c) T×m m ®Ó (1) cã 1 nghiÖm b»ng 2? khi ®ã h·y t×m nghiÖm cßn l¹i(nÕu cã)?
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) + NÕu m-1 = 0 Û m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 Û x = (lµ nghiÖm) 
 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) cã nghiÖm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ 
 + KÕt hîp hai tr­êng hîp trªn ta cã: Víi m ³ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
b) + NÕu m-1 = 0 Û m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 Û x = (lµ nghiÖm)
 + NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) cã nghiÖm duy nhÊt Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (tho¶ m·n m ≠ 1)
 Khi ®ã x = 
 +VËy víi m = 1 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 
víi m = th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3
c) Do ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã:
 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = 
 Khi ®ã (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
 Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = 
 VËy m = vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6
Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 
 a) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m
 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m
 d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x12+x22 10.
 e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m
 f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta cã: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 
 Do víi mäi m; Þ D > 0 víi mäi m
 Þ Ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 
 Hay ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm)
b) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Û a.c -3 
 VËy m > -3
c) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m Û S 0
 VËy m < -3
d) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
 Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
 Theo bµi A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 
 VËy m ³ hoÆc m £ 0
e) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
 Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: 
 Þ x1 + x2+2x1x2 = - 8 
 VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m
f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û 
 VËy ()
Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè)
 a) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau 
 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1
 c) LËp ph­¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n ; víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ë trªn
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta cã D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau 
 VËy m = 2
b) Ta cã D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m £ 2 (*)
Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
 Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)
 Tõ (1) vµ (3) ta cã: 
 ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (tho¶ m·n (*))
 VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
d) Víi m £ 2 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm 
 Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
 Khi ®ã: (m≠1)
 (m≠1)
 Þ y1; y2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: y2 - .y + = 0 (m≠1)
 Ph­¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bµi 1Cho ph­¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). 
 T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn. 
HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 
	 * m : 	 m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ; 
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . 
X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ 3 vµ -2.	
	HDÉn :	 
Bµi 3: T×m m, n ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ :
mx2 + (mn + 1)x + n = 0
	HDÉn :	 
Bµi 4: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
	CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
	HDÉn : 26 > 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 5: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + (m - 2)x += 0 (1) 
	 vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
	CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
	HDÉn : ; 
	 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 6: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDÉn : (m -2)x= m - 2 : + m =2 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x2 + 2x +2 = 0 ( v« nghiÖm)
	 + m 2 : x= 1 ; m = -3 
Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
	HDÉn : (m - 4)x= m - 4 : + m = 4 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x2 + 2x +3 = 0 ( v« nghiÖm)
	 + m 4 : x= 1 ; m = -2 
Bµi 8 : Gäi vµ lµ nh÷ng nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
	 T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n : 
	HDÉn : *	* (t/m)	
Bµi 9 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm	 	 ta cã hÖ thøc : 
	HDÉn : *	* lo¹i m = 
Bµi 10: Cho ph­¬ng tr×nh . Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng 
	tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 
HDÉn : *= 
 *
Bµi 11: Cho ph­¬ng tr×nh (1) 
Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ x1, x2 . h·y t×m m ®Ó 
HDÉn : *= 
	 * 
Bµi 11: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng 
	tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: - 2<x1<x2<4
HDÉn : *= 1>0 * x1= m , x2= m + 1 x1 < x2Do ®ã: 
Bµi 12: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a sao cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) cã c¸c nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
	HDÉn : *= a2 - 4 0 
 *
	 ( v× nªn 4a2 - 8 > 0 )
Bµi 13: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai 
1-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau. ( m =) 
2-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nghÞch ®¶o nhau. 
Bµi 14: T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh:
a) 2x2 + mx + m - 3 = 0 
Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n nghiÖm d­¬ng. ( 0<m <3)
b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 
Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ b»ng nhau vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. 	 (m = 1)
Bµi 15: X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh x2 - (m + 1)x + 2m = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao 
cho x1, x2 lµ ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 5.
Bµi 16: Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : .
H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó sè ®o ®­êng cao øngvíi c¹nh huyÒn lµ .
HD GIẢI* * khi ®ã x1 = 1; x2 = 2
Bµi 17: Cho hai ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2)
	T×m m vµ n ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng.
H.DẪN	*Ph­¬ng tr×nh (2) cã ac = - 6<0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
	*
	* Thö l¹i, rót kÕt luËn.
Bµi 18: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau t­¬ng ®­¬ng :
	 (1) vµ (2)
H.DẪN	*Ph­¬ng tr×nh (1) cã ac = - 9<0 (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
	*
	* Thö l¹i, rót kÕt luËn.
Bµi 19: Cho ph­¬ng tr×nh . T×m m sao cho A = 
	®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
	*
	*
Bµi 20: Cho ph­¬ng tr×nh (1). Gäi lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña .
	*
	* =
Bµi 21: Cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm . 
Chøng minh r»ng biÓu thøc H = kh«ng phô thuéc vµo m.	
HƯỚNG DẪN: *
	 * 
Bµi 22: Cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm . 
Chøng minh r»ng biÓu thøc Q = kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.
HƯỚNG DẪN: *
	 * 
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Hµm sè bËc nhÊt
Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt
- Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b. Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tr­íc vµ a 0
TÝnh chÊt
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R vµ cã tÝnh chÊt sau:
§ång biÕn trªn R khi a > 0
NghÞch biÕn trªn R khi a < 0
§å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0)
§å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ mét ®­êng th¼ng
C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b
Song song víi ®­êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, trïng víi ®­êng th¼ng y = ax, nÕu b = 0
* C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b (a 0)
B­íc 1. Cho x = 0 th× y = b ta ®­îc ®iÓm P(0; b) thuéc trôc tung Oy.
 Cho y = 0 th× x = -b/a ta ®­îc ®iÓm Q(-b/a; 0) thuéc trôc hoµnh
B­íc 2. VÏ ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm P vµ Q ta ®­îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b
VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng 
Cho hai ®­êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi ®ã
+ 
+ 
+ 
+ 
HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax + b (a 0)
Gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox. 
- Gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®ã A lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng y = ax + b vµ cã tung ®é d­¬ng 
HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax + b
-HÖ sè a trong y = ax + b ®­îc gäi lµ hÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax +b 
II. Hµm sè bËc hai
§Þnh nghÜa
- Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0)
TÝnh chÊt
- Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ:
+ NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x 0
+ NÕu a 0
§å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0)
- §å thÞ hµm sè y = ax2 (a 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng 
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d­êi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ
KiÕn thøc bæ xung
C«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng
Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2). Khi ®ã
§é dµi ®o¹n th¼ng AB ®­îc tÝnh bëi c«ng thøc
Täa ®é trung ®iÓm M cña AB ®­îc tÝnh bëi c«ng thøc
Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã
Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh 
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2= mx + n (*)
Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung
+ NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
Mét sè phÐp biÕn ®æi ®å thÞ 
 Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C)
§å thÞ (C1): y = f(x) + b ®­îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc tung b ®¬n vÞ
§å thÞ (C2): y = f(x + a) ®­îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc hoµnh –a ®¬n vÞ
§å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn ph¶i Oy, bá phÇn (C) n»m bªn tr¸i Oy
+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn ph¶i Oy qua Oy
§å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn trªn Ox, bá phÇn (C) n»m bªn d­íi Ox
+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn trên Ox qua Oy.
III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai.
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã:
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2= mx + n (*)
Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung
+ NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Baøi taäp 1: Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä cho Parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) y=(m-2)x+1 vaø (d’)y=-x+3 (m laø tham soá ) . Xaùc ñònh m ñeå (P) ,(d) vaø (d’) coù ñieåm chung .
Giaûi: Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d’): 
	2x2=-x+32x2+x-3=0 (a+b+c=0) 
	+Khi x=1 thì y=2
	+Khi thì 
Vaäy (d’) caét (P) taï