Tài liệu Toán 11 - Đại số + Hình học

TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 1 
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
17 QUANG TRUNG 
Cần Thơ 2013 
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ 
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 2 
 
 Chương 1. Hàm số lượng giác 
 Chương 2. Tổ hợp – xác suất 
 Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân 
 Chương 4. Giới hạn 
 Chương 5. Đạo hàm 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 3 
Chương 1 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
+ Tìm điều kiện (nếu có) để bài toán có nghĩa 
+ Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải 
+ Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp 
+ Kết luận 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
1. Cung liên kết 
 a) Cung đối: x và x 
  cos x cos x   sin x sin x   
  tan x tan x    cot x cot x   
 b) Cung bù: ( x) và x 
  cos x cos x    sin x sin x   
  tan x tan x    cot x cot x    
 c) Cung phụ: x và x
2
  
 
 cos x sin x
2
   
 
 sin x cos x
2
   
 
 tan( x) cot x
2

  cot x tan x
2
   
 
 d) Cung hơn kém  : ( x) và x 
  cos x cos x    sin x sin x    
  tan x tan x   cot x cot x  
 e) Cung hơn kém 
2
 : x và x
2
  
 
  cos / 2 x sin x     sin / 2 x cos x   
  tan / 2 x tan x     cot / 2 x cot x    
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 4 
2. Công thức lượng giác 
 Công thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có 
sin(a b) sin a cos b sin bcos a
cos(a b) cos a cos b sin a sin b
tan a tan btan(a b)
1 tan a tan b
  
 
 


 Công thức nhân đôi 
2 2 2 2
2
cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
s in2a 2sin a cosa
2 tan atan2a ; (a k )
1 tan a 4 2
     

   
 Công thức nhân ba 
3
3
sin 3a 3sin a 4sin a
cos3a 4cos a 3cos a
 
 
 Công thức hạ bậc 
 2 2 21 cos 2a 1 cos 2a 1 cos 2asin a ; cos a ; tan a
2 2 1 cos 2a
      
 Công thức chia đôi 
 Đặt at tan
2
 , khi đó 
2
2 2 2
2t 1 t 2tsin a ; cos a ; tan a
1 t 1 t 1 t
     
 Công thức biến đổi tổng thành tích 
a b a bsin a sin b 2sin cos
2 2
a b a bsin a sin b 2cos sin
2 2
a b a bcosa cos b 2cos cos
2 2
a b a bcosa cos b 2sin sin
2 2
sin(a b)tan a tan b
c
               
               
               
               
 
os a cos b
sin(b a)cot a cot b
sin a sin b
 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 5 
 Công thức biến đổi tích thành tổng 
1sin a sin b [cos(a b) cos(a b)]
2
    
1cosa cos b [cos(a b) cos(a b)]
2
1sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]
2
   
   
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC 
1. Các phương trình lượng giác cơ bản 
 
u v k2
sin u sin v
u v k2
        
 
u v k2
cos u cos v
u v k2
        
 tan u tan v u v k , (u, v / 2 k )        
 cot u cot v u v k , (u, v k )       
(u,v là các biểu thức chứa ẩn, k  ) 
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác 
 Dạng 
 2a sin x bsin x c 0   
 2a cos x bcos x c 0   
 2a tan x b tan x c 0   
 2a cot x b cot x c 0   
 (với a 0 , a, b,c ) 
 Phương pháp giải 
2a sin x bsin x c 0   , đặt t sin x , t 1  
2a cos x bcos x c 0   , đặt t cos x , t 1  
2a tan x b tan x c 0   , đặt t tan x , đk x / 2 k   
2a cot x b cot x c 0   , t cot x , đk x k  
Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài toán, suy 
ra nghiệm x của phương trình 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 6 
Ví dụ: Giải phương trình cos 2x 5 6cos x  
Giải: 2cos 2x 5 6cos x 2cos x 6cos x 4 0 (*)      
 Đặt t cos x, t 1  . Khi đó (*) trở thành 2 t 12t 6t 4 0
t 2 (loai)
      
Với t 1 cos x 1 x 2k      
3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 
 Dạng 
a sin x bcos x c  (với 2 2a b 0  ) (*) 
 Phương pháp giải 
+ Nếu 2 2 2a b c  thì phương trình vô nghiệm 
+ Nếu 2 2 2a b c  thì phương trình có nghiệm. Khi đó : 
Chia 2 vế của (*) cho 2 2a b . Đặt 
2 2 2 2
a bcos ;sin
a b a b
 
 
 Khi đó (*) trở thành 
2 2
csin(x )
a b
 

, đây là phương trình cơ bản. 
Ví dụ: Giải phương trình s in3x 3 cos3x 2  
Giải: 2 2a b 2 2 (c 2)    nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương 
trình cho 2 ta được 
1 3 2s in3x cos3x cos sin 3x sin cos3x sin
2 2 2 3 3 4
23x 2k x k
3 4 36 3sin 3x sin
5 23 4 3x 2k x k
3 4 36 3
      
                                   
4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos 
 Dạng 
a(sin x cos x) bsin x cos x c 0    (1) 
hoặc a(sin x cos x) bsin x cos x c 0    (2) 
 Phương pháp giải 
- Đối với (1), đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
    , đk t 2 . 
Khi đó 
2t 1sin x cos x
2
 và (1) trở thành 
2
2t 1at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2
        , 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 7 
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )
4
  
- Đối với (2), đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
    , đk t 2 . 
Khi đó 
21 tsin x cos x
2
 và (2) trở thành 
2
21 tat b c 0 bt 2at (2c b) 0
2
        , 
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )
4
  . 
Ví dụ: Giải phương trình sin x cos x 2 6 sin x cos x  
Giải: Đặt t sin x cos x 2 sin(x )
4
    , đk t 2 , 
21 tsin x cos x
2
 . 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
2 2
1 2
6 6t 6(1 t ) 6t t 6 0 t , t
3 2
         
thỏa điều kiện t 2 . 
 Với 1
6 6 3t 2 sin(x ) sin(x )
3 4 3 4 3
        
3 3x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
3 3 5x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
                         
 Với 1
6 6 3t 2 sin(x ) sin(x )
2 4 2 4 2
        
x k2 x k2
4 3 12
5x k2 x k2
4 3 12
                         
5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos 
 Dạng 
2 2a sin x bsin x cos x ccos x d   (*) 
 Phương pháp giải 
+ Nếu cos x 0 là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x k
2
   . 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 8 
+ Nếu cos x 0 x k
2
     , khi đó chia 2 vế cho 2cos x ta được 
2(a d) tan x b tan x (c d) 0     
Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx 
Ví dụ: Giải phương trình 2 24sin x 3 3 s in2x 2cos x 4   
Giải: 
+ Khi 2
cos x 0
x k
sin x 12
     
, ta có VP 4 VT  , suy ra x k
2
   là nghiệm. 
+ Khi x k
2
   chia 2 vế cho 2cos x ta được 
2 24 tan x 6 3 tan x 2 4(1 tan x) 6 3 tan x 6
3tan x tan x tan x k
3 6 6
     
        
Kết luận x k
6
   hoặc x k
2
   . 
6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản) 
 Phương pháp giải 
Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được một 
số tính chất sau : 
2
2
A, A 0
1) A A
A, A 0
2) A B A B 0
B 0
3) A B
A B
A 0
4) A B C B 0
A B 2 AB C
   
   
   
       
Chú ý : Đối với những dạng 3 3 4 4A B C, A B C    ta thường dùng phương pháp 
chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng). 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 9 
Ví dụ : Giải phương trình 1 cos x sin x 0   
2
sin x 0
1 cos x sin x 0 1 cos x sin x
1 cos x 1 cos x
sin x 0 sin x 0
sin x 1 x k2
cos x 0 sin x 1 2
cos x 1 x k2cos x 1 cos x 1
          
                                   
7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối 
 Phương pháp giải 
Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số tính 
chất sau : 
2 2
2 2
1) A B A B A B
B 0 B 0
2) A B
A B A B
A 0
3) A B A B
B 0
A 0
4) A B A B
B 0
    
           
     
     
Ví dụ : Giải phương trình x xcos 1 3 sin
2 2
  
Giải : 
2 2 2
x x 31 3 sin 0 sinx x 2 2 3cos 1 3 sin
x x x2 2 x xcos 1 2 3 sin 3sin 4sin 2 3 sin 0
2 2 2 2 2
xsin 0 x k2 , k .
2
                    
     
C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 Phương pháp 1. Dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác 
về một trong các dạng phương trình quen thuộc. 
Ví dụ : giải phương trình 3 5s in4x.cos x6sin x 2cos x
2cos 2x
  
+ Điều kiện cos 2x 0 x k
4 2
     
+ Phương trình đã cho tương đương với 
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 10 
3 3 2
2
2
3 3
3
6sin x 2cos x 5s in2x.cos x 6sin x 2cos x 10s inx.cos x
sin x s inx.cos x6 2 10 6 tan x(1 tan x) 2 10 tan x
cos x cos x
6 tan x 4 tan x 2 0
    
      
   
Giải ra ta được tan x 1 x k
4
     (loại). 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
 Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích 
1 2 nA (x).A (x)....A (x) 0 
để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc. 
Ví dụ : giải phương trình cos x cos 2x cos3x 0   
Ta có 
cos x cos 2x cos3x 0 2cos 2x cos x cos 2x 0 cos 2x(2cos x 1) 0
k2x k xcos 2x 0 2 4 2 ;k
2 22cos x 1 x k2 x k2
3 3
        
                            
 
Vậy nghiệm của phương trình kx
4 2
   ; 2x k2
3
   , k . 
 Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức,...để đánh giá hai 
vế của phương trình rồi rút ra nghiệm. 
Ví dụ : giải phương trình 3 3 4sin x cos x 2 sin x   
Ta có 
3 2
3 3
3 2
1 sin x 1 sin x sin x
sin x cos x 1
1 cos x 1 cos x cos x
              
Mặt khác 4 40 sin x 1 2 sin x 1     
Vậy phương trình đã cho tương đương với 
4
3 2
3 2
3 3
sin x 1
sin x 1sin x sin x
x k2
cos x 0 2cos x cos x
sin x cos x 1
                
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 11 
D. PHẦN BÀI TẬP 
Dạng 1. Phương trình cơ bản 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) cos x sin x 2 sin x  2) cos x sin x 2 cos x  
 3) sin x cos x 2 cos3x  4) sin x cos x 2 s in5x  
Bài 2. Giải phương trình 
 1) 4 4 1cos x sin x (3 cos 6x)
4
   2) 6 6 2 1cos x sin x cos 2x
16
   
 3) 6 6 4 46(cos x sin x) 5(cos x sin x)   4) 2 2cos (x / 4) sin x 1/ 2   
Bài 3. Giải phương trình 
 1) cos x.cos3x cos5x.cos 7x 2) 1sin x.cos 2x s in2x.cos3x s in5x
2
  
 3) 2 2 22cos 2x cos 2x 4sin 2x cos x  4) 3 24cos 2x 6sin x 3  
 5) cos x cos 2x s in3x (1/ 4)s in2x 6) 1 cos xs in2x sin x cos5x cos 2x
2
  
 7) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos 3x    
Bài 4. Giải phương trình 
 1) 3 3cos x sin x sin x cos x 2 / 8  2) 3 3cos x cos3x sin x s in3x 2 / 4  
 3) 3 3sin x cos3x cos x s in3x 3 / 4  4) 3 3 3cos x cos3x sin xsin3x cos 4x 1/ 4   
Bài 5. Giải các phương trình 
 1) cos x sin 2x 0
3
    
 
 2) cos x cos x 1
3 3
          
   
 3) tan 2x. tan x 1  4) 2 2 2sin x sin x.tan x 3  
 5) 2 25cos x sin x 4  6) 13 sin x cos x
cos x
  
 7) 4 4cos 2x sin 3x sin 2x  8) tan x 1 tan x
4
    
 
 9) 3 31sin x cos x cos x sin x
4
  10) 4 4sin x cos x cos 4x  
 11) cos7x - sin5x = 3 ( cos5x - sin7x) 12) 2 2sin 5x cos 3x 1  
 13) 2cos x cos 2x cos 4x
16

 14)  sin sin x 1  
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 12 
 15) 
2 2cos x sin x
1 sin x 1 cos x

 
 16) 1 1 2
cos x sin 2x sin 4x
  
Bài 6. Cho phương trình    tan cos x cot sin x   
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  3 ;   của phương trình. 
Bài 7. Cho phương trình sin6x + cos6x = m. 
1. Xác định m để phương trình có nghiệm. 
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng  0; 
Bài 8. Giải và biện luận phương trình   22m 1 cos 2x 2m sin x 3m 2 0     
Dạng 2. Phương trình với một hàm số của một cung 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) cos 2x 3sin x 2 0   2) 4 24sin x 12cos x 7  
 3) 2 26sin x 2sin 2x 3  4) 6 tan x t an2x 
 5) 3(tan x cot x) 2(2 s in2x)   6) 4 3cot x cos 2x 1  
Bài 2. Giải phương trình 
 1) s in3x 2cos 2x 2 0   2) s in3x sin x 1 0  
 3) 3cos x cos 2x 4cos x 1 0    4) cos3x 2cos 2x 2 0   
 5) 4 6cos x cos 2x 2sin x 0   6) 6 43cos 2x sin 2x cos 4x 0   
Bài 3. Giải phương trình 
 1) 3cos x cos 2x cos3x 2sin x s in2x   2) s in3x cos 2x 1 2sin x cos 2x   
 3) 2sin x s in3x (3 2 1) cos 2x 3 0    4) 28sin x sin( / 3 x)sin( / 3 x) 1     
 5) 28cos x cos(x 2 / 3) cos(x / 3) 1    6) 24cos (x / 4)sin 6x 2sin 6x 1   
 7) sin x cos 2x 1/ 4 8) 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 0    
 9) 2cos 2x cos x(2 tan x 1) 2   
Bài 4. Giải phương trình 
 1) 63cos x 4s in x 6
3cos x 4s in x 1
    2) 
2 1 cos xtan x
cos x
 
 3) 2(sin x cos x ) 5 cos( / 6 x)     4) 2s in3x cos3x sin 2x
sin x cos x
  
 5) 12cos 2x 8cos x 7
cos x
   6) 
2 2cot x tan x 16(1 cos 4x)
cos 2x
   
 7) 23cos 4x 2cos 3x 1  8) s in2x tan x 2  
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 13 
 9) 2s in2x 2cos x tan x 3   10) 2t an2x cot x 8cos x  
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 22cos x 5sin x 4 0
3 3
           
   
 2) 5cos 2x 4cos x 0
2
   
 3) 4 4sin x cos x cos 2x  4) 4 4 1cos x sin x sin 2x
2
   
 5)  22 2 cos 3x 2 2 cos3x 1 0    6) 4 4x xcos sin 2sin x 12 2   
 7)  6 64 sin x cos x cos 2x 0
2
     
 
 8) 2 tan x 3cot x 4  
 9) 4 2 1cos x sin x
4
  10) 
2 2
6 6
cos x sin x4cot 2x
sin x cos x



 11) 12 tan x cot x 2sin 2x
sin 2x
   12) 8 8 217sin x cos x cos 2x
16
  
 13) 4cos x cos 4x 1 2cos 2x   14) 5 5 24sin x cos x 4cos x sin x cos 4x 1   
 15) 2 2cos 4x cos 3x cos x 1   16) sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x   
Bài 6: Cho phương trình sin 3x mcos 2x (m 1)sin x m 0     
1) Giải phương trình khi m = 2. 
2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng  0;2 
Dạng 3. Phương trình đối xứng 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) s in2x 12(sin x cos x) 12 0    2) 1 s in2x cos x sin x   
 3) cos 2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)    4) 3 3sin x sin x cos x cos x 1   
 5) 3 3sin x cos x 1  6) s in3x cos3x 1 s in2x   
 7) (1 cos x)(1 sin x) 2   8) 1 1 2 2
cos x sin x
  
 9) tan x 2sin x 1 0   10) 1 1 10cos x sin x
cos x sin x 3
    
Bài 2. Giải phương trình 
 1) 2 22(tan x cot x) 5(tan x cot x) 6 0     2) 22
1 tan x 5(tan x cot x) 7 0
sin x
     
 3) 2 2tan x tan x cot x cot x 2    4) 22
1 cot x 4(tan x cot x) 0
cos x
    
 5) 2 3 2 3tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6      
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 14 
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1)  2 sin x cos x sin 2x 1 0    2)  sin x cos x 6 sin x cos x 1   
 3) sin 2x 2 sin x 1
4
    
 
 4) tan x 2 2 sin x 1  
 5) 3 3sin x cos x 1  6)    1 sin x 1 cos x 2   
 7) 2sin x tan x cot x
4
    
 
 8)  3sin x cos x sin x cos x 1 0    
 9)  4sin x cos x 3sin 2x 1 0    10) 3 3cos x sin x cos 2x  
 11)  3 3sin x cos x 2 sin x cos x 3sin2x 0     12)  3sin x cos x 1 sin x cos x   
 13) 1 1sinx cosx 2 tanx cot x 0
sinx cosx
       14)    1 sin 2x sin x cos x cos 2x   
Bài 4: Cho phương trình 3 3cos x sin x m  . Xác định m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau: 
 1)    2 23 tan x cot x 2 tan x cot x 2 0     2) 7 7tan x cot x tan x cot x   
 3) 2 3 2 3tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6      4)    4 2 29 tan x cot x 48 tan x cot x 96   
 5)   2 23 tan x cot x tan x cot x 6    6)    4 2 23 tan x cot x 8 tan x cot x 21    
Bài 6: Cho phương trình   2 2 2tan x cot x 2 m 2 tan x cot x m m      . Xác định m để 
phương trình có nghiệm. 
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sin, cos 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) 36sin x 2cos x 5s in2x cos x  2) 34cos x sin x cos x 0   
 3) 24cos x sin x cos x sin x  4) 3sin x s in3x 2cos x  
 5) 4cos x cos 2x cos x 3 sin x  6) 3 3sin x cos x sin x cos x   
 7) 3 3 2cos x 4sin x cos x sin x sin x 0    8) 3 3 24sin x 3cos x 3s in x cos x sin x 0    
Bài 2. Giải phương trình 
 1) 3sin (x / 4) 2 sin x  2) 3 18sin x
cos x sin x
  
 3) 3 12(sin x 3 cos x)
cos x sin x
   4) (t an3x 2)cos x sin x  
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 3 sin x cos x 2 0   2) 33sin x 1 4sin x 3 cos3x   
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 15 
 3) 4 4sin x cos x 1
4
    
 
 4)  4 42 cos x sin x 3 sin 4x 2   
 5) 2sin 2x 2 sin 4x 0  6) 3sin 2x 2cos 2x 3  
 7) 93cos x 2 3 sin x
2
  8) 4cos3x 3sin 3x 5 0   
 9) 2sin x cos x sin x cos 2x  10)  tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x   
 11) 2sin 3x 3 cos 7x sin 7x 0   12)  cos5x sin 3x 3 cos3x sin 5x   
 13)    22sin x cos x 1 cos x sin x   14) 1 cos x sin 3x cos3x sin 2x sin x     
 15) 33sin x 1 4sin x 3 cos3x   16) 3 sin x cos x 2cos x 2
3
     
 
Bài 4. Cho phương trình  3msin x 2m 1 cos x 3m 1    
1) Giải phương trình khi m = 1. 
2) Xác định m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 1) cos x sin x 1y
sin x 2cos x 4
 

 
 2) cos3x sin 3x 1y
cos3x 2
 


 3) 1 3sin x 2cos xy
2 sin x cos x
 

 
 4) 
2sin x cos x cos xy
sin x cos x 1



Dạng 5. Phương trình chứa căn thức 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) 1 s in2x 2 cos 2x 0   2) 3 sin x cos x 2 2cos 2x   
 3) 23 s in2x 2cos x 2 2 cos 2x   4) 2sin x 2sin x 2 2sin x 1    
 5) sin x cos x 1  6) 2sin x 2 sin x 2   
 7) 1 sin x 1 sin x 2cos x    8) 1 sin x 1 sin x 1 cos x     
 9) 1 cos x 1 cos x 4sin x
cos x
    10) 1 s in2x 1 s in2x 4cos x
sin x
    
 11) sin x(1 cot x) cos x(1 tan x) 2 sin x cos x    
Bài 2. Giải phương trình 
 1) sin x cos x 2s in2x 1   2) 2cos x tan x 1 cos 2x  
 3) 3 3cos x 1 2 2cos x 1   4) 3 38cos x 1 3 6cos x 1   
 5) 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3     
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 16 
Dạng 6. Phương trình chứa trị tuyệt đối 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) cos x s in3x 0  2) 2cos x sin x 1  
 3) 3cos x 2 sin x 2  4) cos3x 1 3 s in3x  
 5) s in3x 1 3 cos3x  6) 1 2 sin x cos x 0  
 7) 1 s in2x cos x sin x   8) 2 2 sin x cos x sin x cos x 0   
Bài 2. Giải phương trình 
 1) 23cos x 2 sin x 2 0   2) sin x cos x 4s in2x 1   
 3) sin x cos x sin x cos x 1   4) sin x cos x sin x cos x 2    
 5) 4 4cos x sin x cos x sin x   
Dạng 7. Phương trình đưa về dạng tích 
Bài 1. Giải phương trình 
 1) 3 3cos x sin x sin x cos x   2) 3 3cos x sin x cos 2x  
 3) cos x 3 sin x cos3x 0   4) 3 s in2x cos5x cos9x  
 5) cos x cos 2x s in3x 0   6) 3 cos x sin x s in3x  
 7) sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x     8) 1 sin x cos x sin2x cos 2x 0    
 9) 5sin x 6s in2x 5sin3x s in4x 0    
Bài 2. Giải phương trình 
 1) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 1/ 2   2) 2 2 2sin 3x sin 2x sin x 0   
 3)  2 2sin 2x cos 8x cos10x / 2  4) 3 3 5 5sin x cos x 2(sin x cos x)   
 5) 6 6 8 8sin x cos x 2(sin x cos x)   6) 2t an2x cot x 8cos x  
 7) cos x cos 4x cos 2x cos3x 0  8) 4s in2x 3cos 2x 3(4sin x 1)   
Bài 3. Giải phương trình 
 1) 1 sin x cos 2x sin x cos 2x   2) 3sin x 2cos 2x 2 3tan x   
 3) 2(tan x sin x) 3(cot x cos x) 5 0     4) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2    
 5) 9sin x 6cos x 3s in2x cos 2x 8    6) 2 3cos x cos x sin x 0   
 7) 3 3sin x cos x sin x cos x   8) 2s in2x cos 2x 7sin x 2cos x 4    
Bài 4. Giải phương trình 
 1) 33 7 cot x 2 cot x 3    2) 2 244 10 8cos x 8sin x 1 1    
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 17 
 3) 3 31 cos 2x 1 cos 2x 2    4) 4 41 1cos x cos x 1
2 2
    
 5) 3 2 cot x cot x 1 1    
Bài 5. Giải phương trình 
1) cos2x cos8x cos4x 1    2) sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0    
3) sin2x cos2x 3sinx cosx 2     4) 3 2sin x 2cosx 2 sin x 0     
5) 3sinx 2cosx 2 3tanx   6) 2
3 s in2x 2 cos x 6 cos x 0
2
   
7) 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4     8) sin 3x sin 5x
3 5
 
9) 12cos2x 8cosx 7
cos x
   10)  8 8 10 10 5cos x sin x 2 cos x sin x cos2x4    
11)1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x      12) 1 sinx cosx sin2x cos2x 0      
13)    2sin x tanx 1 3sinx cosx sinx 3    14) 1 12sin3x 2cos3x 
sin x cos x
   
15) 3 2cos x cos x 2sinx 2 0     16) 3cos2x 2cos x sinx 0    
17) 1tanx – sin2x cos2x 2(2cosx ) 0
cos x
    18) sin2x 1 2cosx cos2x   
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác sau 
1) sinx sin2x sin3x cosx cos 2x cos3x     2) 2 2 2 2sin x sin 2x sin 3x sin 4x   
3) 2 2 2 2sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2    4) 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x
2
   
5) sin5x.cos6x sinx sin7x.cos4x  6) 
1sin x sin x
3 3 2
         
   
7) 1sin x cos x
4 12 2
         
   
 8) cosx. cos4x cos5x 0  
 9) sin6x.sin2x sin5x.sin3x 10) 2 sinx.sin3x 2 cos 2x  
Bài 7. Giải các phương trình lượng giác sau 
1) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x   2) 2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x 3 / 2    
3) 2 2 2sin x sin 3x 3 cos 2x 0    4) 2 25x 9xcos3x sin7x 2sin ( ) 2cos
4 2 2

    
5) 2 2 2 2sin 4x sin 3x cos 2x cos x    6) 2 2sin 4x cos 6x sin(10,5 10x)    
7) 4 4cos x 5sin x 1   8) 34sin x 1 3 3cos3x    
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC ThS. Leâ Hoàng Lónh 
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: (0710)3751.929 Trang 18 
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ 
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) tan 2x 2 tan x sin 2x 0   2) 2 2cos x 2 cos x cos x 2 cos x 3    
 3) 53 sin x cos x 3
3 sin x cos x 3
  
 
 4) 2cos x 2 2 cos x 2   
Dạng 9 : Phương pháp đối lập 
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 3 4sin x cos x 1  2) 2010 2010sin x cos x 1  
 3) 2 23cos x 1 sin 7x  4) sin 3x.cos 4x 1 
 5) 3 3 2sin x cos x 2 sin 2x   6) cos 2x.cos5x 1  
Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương 
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau 
 1)  3cos 2x cos 6x 4 3sin x 4sin x 1 0     2) 23 sin 2x 2sin x 4cos x 6 0    
 3) 2sin 2x cos 2x 2 2 sin x 4 0    4) 2cos2x 3sin2x 4sin x 2sinx 4 2 3cosx     
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số 
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau : 
 1) 
2 2 2
2
a sin x a 2
1 tan x cos 2x
  2) s in2x 2 2a(sin x cos x) 1 4a 0     
 3) 2s in2x 2 2a(sin x cos x) 1 6a 0     4) 
2
4 4 sin 2xsin x cos x cos2x m 0
4
     
 5) 4 4sin x cos x sin 2x m 0    6) s in2x 4(cos x sin x) m 0    
 7) sin x 2(m 1)cos x 2m 3 0     
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau : 
 1) 1 sin x 1 sin x k cos x    2) 
2 2
6 6
cos x sin xmcot x
cos x sin x
  
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
 1) 2(cos 2x cos 4x) 6 2s in3x   2) 1 sin x cos x 0   
 3) 1( 1 cos x cos x ) cos 2x s in4x
2
   4) s in3x 2cos 2x 2 0   
 5) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2    6) 3 3 31 s in 2x cos 2x s in4x
2
   
TAØI LIEÄU TO