Tập giải đề thi học sinh giỏi môn Toán 6

TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 01
Bài 1. (2điểm)
	Giải các phương trình sau:
x(x + 1)(x2 + x + 1) = 42
x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0
Bài 2. (1điểm)
	Giải bất phương trình sau: x3 + 5x2 + 3x – 9 > 0
Bài 3. (2điểm) 
	Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	 a) 
	 b) 
Bài 4. (1,5điểm) 
	M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM
	cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F.
	Chứng minh: 
Bài 5.(2điểm)
	Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM
	cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF vuông góc với AM trong đó 
	E, F tương ứng nằm trên AB, CD. Đường phân giác của góc DAM cắt 
	CD tại K. 
	Chứng minh rằng :
EF = BM + DK
Bài 6: (1,5điểm)
Chứng minh rằng : 52009 + 52007 chia hết cho 13.
Tìm dư của phép chia đa thức x20 + x11 – x2004 cho đa thức x2 – 1.
HẾT
 TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 02
Bài 1.(3điểm)
	Tính giá trị của biểu thức sau:
 a) A = 
 b) B = 
Bài 2. (1,5điểm)
 Cho P(x) = 2x5 + x3 – 3x2 + x – 1 . Tính P(1– ) 
Bài 3. (4,5điểm)
	Giải các phương trình và bất phương trình sau:
(3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6
	x2 – 9x + 20 > 0 
Bài 4. (4điểm) 
 	Trên các cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông cân ABC lần lượt lấy
	các điểm M, N sao cho AM = AN. Từ A và M kẻ các đường vuông góc với 
	đường thẳng BN cắt cạnh BC lần lượt tại D và E.
	Chứng minh : DC = DE	
Bài 5.(4điểm)
	Cho hình thoi ABCD có . Tia Ax tạo với cạnh AB góc BAx bằng
	150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. 
	Chứng minh rằng : 
Bài 6.(3điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
 với a > b > 0
Chứng minh tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
 HẾT
 TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 03
Bài 1. (4điểm)
Cho hai số : a = và b = . (1điểm)
Không dùng máy tính hoặc bảng số , hãy so sánh a và b.
	b) Chứng minh đẳng thức : 	 (1điểm)
c)Cho biểu thức :
 P = 
 Rút gọn biểu thức P. (1điểm)
 Tính giá trị của P với x = .	 (1điểm)
Bài 2.	 (3điểm)
	Giải các phương trình sau:
	 a) 	 (1điểm)
	 b) 	 (1điểm) 
	 c) 	 (1điểm) Bài 3. (4điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH. Gọi I là trung điểm AB.
 a)Chứng minh CH2 + AH2 = 2AH. CI (1,5điểm)
 b)Kẻ hai tia Ax và By nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C và 
 vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt Ax và By 
 lần lượt tại E và K. D là giao điểm của CH và EB. 
 Chứng minh ba điểm A, D, K thẳng hàng. (2điểm)
Bài 4.(4điểm)
	Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H.
Chứng minh BH. BM + CH. CN = BC2 (1,5điểm)
Bài 5. (3điểm)
	a) Tìm hai số tự nhiên a và b để số A = 	chia hết cho 15. (1,5điểm) 
	b) Tìm các số nguyên Z sao cho : n2 + n – 17 là bội của n + 5. (1,5điểm)
HẾT
 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 04
Bài 1. (4điểm)
	1.Rút gọn các biểu thức sau:
	 a) 
 b) B = 
	2. Chứng minh đẳng thức: 
Bài 2:(5điểm) 
	1. Giải phương trình: 
	2. Cho biểu thức A = 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
 3. Chứng minh rằng: Nếu ax3 = by3 = cz3 và thì:
Bài 3. (4điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 2BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AC
 sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE.
 Chứng minh rằng AD2 = AB . BE 
Bài 4.(4điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh BH. BM + CH. CN = BC2 
 b) Giả sử . Chứng minh : SAMN = 3SBCMN
Bài 5.(3điểm)
 1.Chứng minh rằng n5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
	HẾT
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 05
Bài 1. (4điểm)
	Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau:
 1. A = 
 2. B = 
Bài 2.(6điểm) 
	Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	 1. 
	 2. 
	 3. Giải phương trình: 	 
Bài 3. (4điểm)
	Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
	của hai đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD 
	tại Q. Chứng minh MN là tia phân giác của góc .
Bài 4. (4điểm)
	Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD.
	Chứng minh rằng: tgB. tgC = 2
Bài 5.(2điểm)
	Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n. 
	hết
 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 06
Bài 1: (3điểm)
Rút gọn biểu thức: M = 
Cho biểu thức: P = với a > 0 , a ≠ 1
Rút gọn A.
Tìm các giá trị của a để A > 0.
Bài 2. (3điểm)
 	1.Chứng minh 2(a4 + b4 ) ab3 + a3b + 2a2b2 , với mọi a, b
	2. Chứng minh , với a > b > 0
Bài 3. (3điểm)
1Giải phương trình : 
	2.Giải phương trình : 
Bài 4: (4điểm)
	1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) 5
	2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
Bài 5: (3điểm)
	Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng : BC2 = AC2 + AB. AC .
Bài 6.(4điểm)
	Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB
	với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường 
	kính BC. 
1.Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH.
	2. Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. 	 hết	 
 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 07
Bài 1. (4điểm)
	1. Cho x.y.z ≠ 0 thoả mãn : x + y + z = xyz và .
	Tính giá trị biểu thức: P = .
	2. Cho a, b, c là độ dài 3cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 2. (6điểm) 
	1. Tính : A = 
	2. Cho A = và B = .
	 Không dùng máy tính hãy so sánh A và B.
	3. Giải phương trình: .	
Bài 3. (3,5điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung 
	điểm của AH và BH. Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh rằng:
	1. AN CM .
	2. AH2 = 4MC. MO
Bài 4. (3,5điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt
	đường thẳng CD tại F. Chứng minh 
Bài 5.(3điểm)
	1. Chứng minh : 32010 + 52010 chia hết cho 13.
	2. Chứng minh rằng : 16n – 15n – 1 225 với n .
==Hết==
 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 08
Bài 1.(3điểm)
1.Với n chẵn ( n ) . Chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323
	2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n – 1 9
Bài 2.(3điểm) 
1.Cho B = . Chứng minh B là số nguyên.
	2. Rút gọn biểu thức : A = 
Bài 3. (6điểm)
	1. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2( x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z2 )
	2. Giải phương trình: x2 – 3x – 1 + 
	3. Với a > 0, b > 0; Chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 4. (4điểm)
	Cho tam giác OAB có , OC là phân giác trong. Chứng minh rằng:
Bài 5. (4điểm)
	Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của
	tam giác . Chứng minh rằng: 
****HẾT****
	 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 09
Bài 1.(2điểm )
	1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
	(a + b – 2c)3 + ( b + c – 2a)3 + (c + a – 2b)3 .
	2. Ch x + y + z = 0 và x , y , z khác 0. Rút gọn phân thức sau:
	P = 
Bài 2.(3điểm) 
	1. Chứng minh rằng : là một số nguyên.
2. Cho a, b, c, d > 0 và S = 
	 Chứng minh 1 < S < 2
	3. Giải phương trình sau: 
Bài 3. (2điểm)
	Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB và dây cung CD. Từ A và B lần 
	lượt kẻ AH và BK vuông góc với đường thẳng CD ( H và K là chân các đường 
	vuông góc ).
	1. Chứng minh OH = OK. 
	2. Chứng tỏ rằng các điểm H và K ở bên ngoài đường tròn (O).
Bài 4. (2điểm)
	Cho hình thang ABCD (AB//CD). O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
	Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
	1. Chứng minh : 
	2. Cho biết SAOB = a2 ; SCOD = b2 . Tính SABCD theo a và b.
Bài 5. (1điểm)
	Tìm số dư của phép chia 20072007 cho 11
	 *** HẾT***
	 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 10
Bài 1.(2điểm)
 Rút gọn các biểu thức sau :
	1. A = 
	2. B = 
Bài 2. (2điểm)
	1. Chứng minh bất đẳng thức: 
	2. Giải phương trình : 
Bài 3. (1,5điểm)
	Cho tam giác ABC có ; kẻ các đường cao BD và CE. Gọi M là 
	trung diểm của BC . 	
	Chứng minh tam giác EMD là tam giác đều.
Bài 4. (2,5điểm)
	Cho nửa đường tròn đường kính BC và A là điểm trên nửa đường tròn 
	sao cho AB < AC. Kẻ AH vuông góc BC.
	1. Giả sử AH = 12cm ; BC = 25cm. Tính độ dài AB và AC. 
	2. Gọi M là điểm đối xứng của B qua H. Đường tròn tâm O đường kính
	 MC cắt cạnh AC tại D. 
	 Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 5.(2điểm)
	1. Chứng minh : 32010 + 52010 13
	2. Tìm các số nguyên dương x , y phân biệt thỏa mãn:x3 + 7y = y3 + 7x
	 ***hết***
	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 11
Bài 1. (3điểm)
	1. Rút gọn biểu thức :
	P = 
	2. Tính giá trị biểu thức A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2009
	tại . 
Bài 2.(3điểm)
	1. Chứng minh : 
	2. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : Q = 
Bài 3. (4điểm)
	Giải các phương trình sau:
	1. 
	2. 
Bài 4.(4điểm) 
	Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng 
 điểm F đối xứng với C qua E. Đường thẳng d1 đi qua F song song với
	AD cắt AB tại I. Đường thẳng d2 đi qua F song song với AB cắt AD 
	tại K. 
	Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng.
Bài 5. (4điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH. Gọi D là điểm đối 
	xứng với A qua B. Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho	
	HE = 2HA. 
	Chứng minh rằng 
Bài 6. Chứng minh rằng với n là số tự nhiên ta luôn có:
	 ***HẾT***
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 12
Bài 1. (2điểm)
	1. Chứng minh hằng đẳng thức :	
	A3 + B3 + C3 = ( A + B + C )3 – 3(A + B)(B + C)(C + A)
	2. Rút gọn biểu thức :
	Q = (a + b + c)3 –(a + b –c)3 –(b + c –a)3 –(c + a –b)3
Bài 2. (4điểm)
	1. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức : A = 
	2. Thu gọn biểu thức : 
	 a) B = 
	 b) C = 
Bài 3.(4điểm)
	1. Giải phương trình : (x – 2)4 + (x – 3)4 = 1
	2. Giải bất phương trình : (x2 + 4x + 10)2 – 7(x2 + 4x + 11) + 7 < 0
Bài 4. (4điểm)
	Cho tam giác ABC nhọn có đường cao CE cắt đường cao AD tại H 	là trung điểm của AD.
 1.Chứng minh hệ thức : DA. DH = DB. DC
	2. Chứng minh tgB. tgC = 2	
Bài 5. (4điểm)
	Cho tam giác ABC có . Chứng minh : 
Bài 6.(2điểm)
	Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0, phân số 
	là phân số tối giản.
	 ***HẾT***
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 13 
Bài 1. (2điểm)
	1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	 a) x8 + x + 1	b) x10 + x5 + 1	2. Cho x > y > z, Chứng minh rằng biểu thức:
	A = x4(y – z) + y4(z –x) + z4(x –y) luôn luôn dương.
Bài 2. (2điểm)
1.Tính giá trị của biểu thức sau:
Rút gọn biểu thức: 
Bài 3. (2điểm)
1.Giải phương trình sau.
	2. Cho x Z, Chứng minh x200 + x100 + 1 x4 + x2 + 1	
Bài 4. (2điểm)
	Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm.
	Các đường cao, trung tuyến và phân giác kẻ từ A chia tam giác 
	ABC thành bốn phần.
	Tính diện tích mỗi phần. 
Bài 5. (2điểm)
	Cho hình thang ABCD có đường chéo AC bằng cạnh bên BC
	 Một đường thẳng d đi qua trung điểm của đáy lớn AB cắt các 
	 đường thẳng AD và BD theo thứ tự tại E và F.
	 Chứng minh rằng: 
	 ***HẾT***	
PGD & ĐT THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 SỞ GD QUẢNG NAM NĂM HỌC :2008-2009
 Môn : TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút
 ĐỀ SỐ 14 
 Câu 1: ( 4 điểm )
Tìm số dư phép chia (2điểm)
 (20082008 -1 ) : 7
b) Chứng minh rằng : 42n+2 -1 chia hết cho 15 ( " n Î N ) (2điểm)
 Câu 2: ( 5 điểm ) 
 Tính
 a) A = (2 điểm)
 b) (2 điểm)
 c) Chứng minh rằng a, b, c là các số không âm và b là số trung 
 bình cộng của a và c thì ta có : 
 (1 điểm)
 Câu 3: ( 3 điểm )
 a) Chứng minh rằng : nếu a + b + c = 0
 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
b) Cho a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ; d > 0
 Chứng minh rằng :
 Câu 4: ( 4 điểm )
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh BC lấy điểm M . 
 Chứng minh rằng: BM2 + CM2 =2AM2 
 Câu 5 :(4 điểm )
 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình 
 chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì . Giao 
 điểm của AC và đường thẳng PM là Q.
 Chứng minh rằng : 
 Hết
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
 Thời gian: 150 phút
 ĐỀ SỐ 15 
Bài 1. (4điểm)
1 
Bài 4. (4điểm)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm của tam giác . 	Một đường thẳng đi qua H cắt AB và AC theo thứ tự ở P và Q sao cho
HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng HM vuông góc với PQ.