Thi chọn học sinh giỏi cấp trường nh 2012-2013 môn: toán - lớp 10 thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THPT KON TUM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
THI CHỌN HS GIỎI CẤP TRƯỜNG NH 2012-2013
Môn: TOÁN - Lớp 10
Ngày thi: 31/01/2013
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1. (4.0 điểm)
	1. Giải phương trình: 
	2.Giải hệ phương trình: 
Bài 2. (5.0 điểm)	
Cho hàm số (1) 
	1. Biết đồ thị (P) của hàm số (1) có trục đối xứng và có đỉnh nằm trên trục Ox. Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P).
	2. Tìm trên (P) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Bài 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên cạnh BC, CA, AB lấy các điểm M, N, P sao cho: ; . Tìm x theo a để AM ^ PN.
Bài 4. (2 điểm) 
Tìm đa thức với hệ số nguyên không đồng nhất không có bậc nhỏ nhất nhận làm nghiệm.
Bài 5. (3.0 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:
.
Bài 6. (3.0 điểm) 
Cho tam giác không cân tại C, kẻ các đường phân giác trong biết rằng . Tính góc C.
----------- HẾT -----------HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Chú ý: 
1.Trong đề toán này có nhiều bài mà phương pháp giải có nhiều lựa chọn, do đó giáo viên chấm cần để ý kĩ cách giải của học sinh để xây dựng một đáp án phù hợp cho cách giải khác.
2.Bài toán có nhiều ý độc lập nhau thì học sinh làm đúng bước nào thì cho điểm bước đó, nếu ý sau liên quan tới ý trước mà ý trước sai thì không chấm tiếp các ý còn lại.
 Đáp án chấm chi tiết
Câu
Nội dung
Điểm
1.1
Giải phương trình: (1) 
2đ
Đặt khi đó phương trình trở thành
0.5đ
0.5đ
Đặt 
ta thu được phương trình 
0.5đ
Với ta có 
khi đó phương trình đã cho có nghiệm là: 
0.5đ
1.2
Giải hệ phương trình: 
2đ
Ta có 
Đặt ta có hệ trở thành
0.5đ
Từ (2) ta có phương trình: 
0.5đ
*Với ta có suy ra 
nghiệm hệ là 
0.5d
*Với ta có suy ra 
nghiệm hệ là 
0.5đ
2.1
Cho hàm số (1). Biết đồ thị (P) của hàm số (1) có trục đối xứng x= 2 và có đỉnh nằm trên trục Ox. Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). 
2đ
Vì (P) có trục đối xứng x = 2 nên mà đỉnh của (P) nằm trên Ox do đó hàm số trở thành 
0.5
Bảng biến thiên
x
2
+
y
+
0
+
0.5
Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh I(2;0), nhận x = 2 làm trục đối xứng và qua các điểm A(1; 1), B(0;4), C(3; 1), D(4;4)
0.5
x
y
O
Vẽ đúng, đẹp đồ thị hàm số.
0.5
2.2
Tìm trên (P) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai trục tọa độ nhỏ nhất.
3đ
Gọi A là giao điểm của (P) với Oy ta có A(0;4), M 
Vậy với 
1đ
Nếu a 4.
Nếu a > 2 thì S >2
0.5đ
Nếu thì 
0.5đ
Từ các kết quả trên ta có S nhỏ nhất là xảy ra khi khi đó là điểm cần tìm 
1đ
3
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đoạn BC, CA, AB lấy các điểm M, N, P sao cho: BM = ; CN =; AP = x (0 < x < a) . Tìm x theo a để AM ^ PN
3đ
Từ giả thiết ta có: 
 vậy 
0.75
suy ra 
 Hơn nữa: 
1
AM ^ NP Û
0.5
0.75
4
Tìm đa thức với hệ số nguyên không đồng nhất không có bậc nhỏ nhất nhận làm nghiệm.
2đ
Ta có 
Vậy là một đa thức thỏa ycbt 
Ta chứng minh n = 3 là bậc nhỏ nhất cần tìm. Thật vậy vì không có đa thức bậc nhất với hệ số nguyên nhận làm nghiệm, giả sử tồn tại đa thức bậc hai với hệ số nguyên nhận làm nghiệm là khi đó tồn tại đa thức với hệ số nguyên mx + n sao cho bằng cách đồng nhất hệ số ta thấy không tồn tại m, n, a, b, c nguyên. 
Vậy là đa thức cần tìm. 
5
CMR với mọi số thực dương x, y, z ta có:.(1)
3đ
Ta có : .
0,5đ
Mà 
1,5đ
Suy ra: .
0,5đ
Vậy 
0,5đ
6
Cho tam giác không cân tại C, kẻ các đường phân giác trong biết rằng . Tính góc C.
3đ
Gọi O là giao điểm hai đường phân giác
Ta có: 
mà 
1đ
0.5đ
TH1: Nếu thì A,E,B,D cùng nằm trên một đường tròn do đó tức là , điều này trái với giải thiết bài toán
0.5đ
TH2: Nếu thì 
do đó 
 Suy ra 
0.5đ
Tóm lại góc với giả thiết bài toán xảy ra thi 
0.5đ
Hình vẽ bài 6
C
D
B
A
E
Hình vẽ bài 3
A
P
B
M
C
N
Hết