Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân

 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 
BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN 
I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất: 
Dạng 1: Cho dãy số {xn} : 
0
n+1
onst
ax 0n
x c
bx


 
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số? 
Từ công thức truy hồi ta có : 
2
1 2 0. . .................... .
n
n n n
b b b
x x x x
a a a
 
     
           
     
 Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 
0.
n
n
b
x x
a
 
  
 
. 
Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 
0
1
5
3 0 ,n n
x
x x n


    
. 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số. 
Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 21 2 03 3 ................. 3 5.3
n n
n n n nx x x x hay x      . 
Dạng 2: Cho dãy số {xn} : 
0
n+1ax ( )n k
x
bx P n


 
 , với ( )kP n là đa thức bậc k của n. 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0
b
a b
a
      . 
Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị *nx gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. 
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : *. nn nx c x  . Trong đó nghiệm 
riêng *nx được xác định như sau : 
 Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * ( )n kx Q n thay vào phương trình ta được: 
 . ( 1) . ( ) ( )k k ka Q n bQ n P n   . Đồng nhất hệ số ta tìm được ( )kQ n . 
 Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( )n kx n Q n thay vào phương trình ta được: 
( 1). ( 1) . ( ) ( )k k ka n Q n bnQ n P n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( )kn Q n . 
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 
0
2
1
7
2 3 4 5 , .n n
x
x x n n n


      
.Tìm số hạng tổng quát xn . 
Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2     . 
Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : * 2nx an bn c   . Thay 
*
nx vào 
pt, ta được : 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5a n b n c an bn c n n          
 2 2(2 ) 3 4 5an a b n a b c n n          . 
Đồng nhất hệ số hai vế ta được : 
 * 2
3 3
2 4 10 3 10 18
5 18
n
a a
a b b x n n
a b c c
    
 
          
      
 . 
CTTQ của số hạng trong dãy : 2.2 3 10 18nnx c n n    . 
Từ 20 7 18 7 25. 25.2 3 10 18
n
nx c c Suy ra x n n          . 
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 
0
1
5
4 5 , .n n
x
x x n n


     
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1     . 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng * 2( )nx n an b an bn    . 
*
nx vào pt, 
ta được : 2 2( 1) ( 1) 4 5a n b n an bn n       . 
 2 4 5an a b n     . 
Đồng nhất hệ số hai vế ta được : 
 * 2
2 4 2
2 3
5 3
n
a a
x n n
a b b
  
    
   
. 
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 22 3nx c n n   . 
Từ 20 5 5. 2 3 5.nx c Suy ra x n n      
Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 
0
n+1ax ( onst) , n .n
x
bx d d c


     
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0
0
1
. 0.
1
0.
n
n
n
n
b
d
ab
x x neu a b
a b
a
a
x x nd neu a b
   
    
            
    
    
  
    
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 
0
1
5
6 , .n n
x
x x n


    
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 
1 2 3 06 2.6 3.6 ....... 6 6 5n n n n nx x x x x n hay x n             . 
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 
0
1
3
8 4 ,n n
x
x x n


    
. Tìm CTT Q của xn . 
Giải: Từ công thức truy hồi, ta có : 
   
2
2 2
1 2 2 2 0
8 1 8 1
8 4 8 8 4 4 8 . 4 8 1 8 . 4. ........ 8 . 4.
8 1 8 1
n
n
n n n n nx x x x x x   
 
            
 
. 
Suy ra  
4 25 4
3.8 . 8 1 .8 .
7 7 7
n n n
nx      
Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 
0
1 . ,
n
n n
x
ax bx d n


    
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 .
b
a b q
a
       
 Nếu   thì nghiệm riêng của phương trình * . nnx c thay vào pt, ta được : 
 
 1 *. . . . .
n n
n n n
n
d d d
a c b c d c x do b qa
a b a b a q
 
  
  
         
  
. 
Số hạng tổng quát của dãy : 
 
*
1 1. . .
n
n n
n n
d
x c q x c q
a q


   

Từ 0 1 1 0 0 0. . .
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n n
n
d d d d d q
x c c x x x q x q
a q a q a q a q a q
 
    
  
           
     
 Nếu   thì nghiệm riêng của phương trình * nnx cn thay vào pt, ta được : 
1( 1) ( )
( 1) ( 1)
n n n d d dac n bcn d c do q
a n bn a n aqn aq
   
 
       
   
. 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
1
*
n n
n
dnq dnq
Suy ra x
aq a

  . 
Số hạng tổng quát của dãy : 
1
*
1 1. .
n
n n
n n
dnq
x c q x c q
a

    . 
Từ 
1
0 1 0.
n
n
n
dnq
x c x x q
a

    . 
Vậy từ trên ta có : 
0
1
.
.
.
n n
n
n
n
d q
neu q
a q
x x q
d
nq neu q
a




 

 
  
 

. 
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 
0
1
5
3 2.5 ,nn n
x
x x n


    
. Tìm CTTQ của xn . 
Ta có : 3 ; 2 ; 5.
b
q d
a
       Vì q  nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : 
 0
3 5
. . 5.3 2. 4.3 5 .
3 5
n n n n
n n n n
n
d q
x x q
a q


 
     
 
 Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 
0
1
2
3 5.3 ,nn n
x
x x n


    
. Tìm CTTQ của xn. 
Ta có: 3 ; 3 ; 5.
b
q d
a
       Vì q  nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : 
 1 1 10. . 2.3 5 .3 (5 6).3
n n n n n
n
d
x x q nq n n
a
        . 
 Dạng 5: Cho dãy số {xn} : 
0
1 1 1 2 2 ..... (1) ,
n n n
n n k k
x
ax bx d d d n  


       
. Xác định 
sô hạng tổng quát của dãy trên. 
Gọi *1nx là nghiệm riêng của phương trình 1 1 1
n
n nax bx d   
 *2nx là nghiệm riêng của phương trình 1 2 2
n
n nax bx d    
 ................................................................................... 
 *knx là nghiệm riêng của phương trình 1
n
n n k kax bx d    . 
Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là * *1 *2 *.... kn n n nx x x x    . 
Khi đó số hạng tổng quát *. nn n
b
x c x
a
 
 
    
 
 . 
Thí dụ: Cho dãy {xn} : 
0
1
2
2 3.2 5.7 (*) , .n nn n
x
x x n


     
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 0 2.     
 Do 1  nên nghiệm riêng 
*1
1 .2
n
nx d n , thay vào phương trình, ta được : 
1 *1 1
1 1 1
3
( 1).2 2 .2 3.2 3 .2
2
n n n n
nd n d n d x n
        . 
 Do 2  nên nghiệm riêng 
*2
2.7
n
nx d , thay vào phương trình, ta được : 
 1 *22 2 2.7 2 .7 5.7 1 7
n n n n
nd d d x
       . 
Số hạng tổng quát *1 *2 1.2 .2 3 .2 7n n n nn n nx c x x c n
      
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Từ 1
0 2 1 2 1. 2 3 .2 7
n n n
nx c c Suy ra x n
         . 
Dạng 6: Cho dãy số {xn} : 
0
1 ( ) ,
n
n n k
x
ax bx P n d n


     
. Tìm CTTQ của xn. 
Ta gọi *1nx là nghiệm riêng của 1 ( )n n kax bx P n   
 *2nx là nghiệm riêng của 1
n
n nax bx d   . 
Công thức tổng quát của dãy số được xác định là *1 *2. nn n nx c x x   . 
Từ giá trị của x0 ta tìm được giá trị c. 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 
0
1
3
5 3 2 2.3 ,nn n
x
x x n n


      
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét Phương trình đặc trưng : 5 0 5.     
Gọi *1nx là nghiệm riêng của phương trình 
*1
1
3 11
5 3 2
4 16
n n nx x n x n        . 
 *2nx là nghiệm riêng của phương trình 
*2
1 5 2.3 3
n n
n n nx x x      . 
Số hạng tổng quát của dãy cho bởi: *
3 11
. .5 3
4 16
n n n
n nx c x c n      . 
Từ 0
11 75 75 3 11
3 1 3 . .5 3 .
16 16 16 4 16
n n
nx c c Suy ra x n           
II-Phƣơng trình sai phân bậc hai: 
Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực. 
Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
;
0 ,n n n
x x
ax bx cx n 


     
. Tìm CTTQ của xn. 
Xét phương trình đặc trưng 2 0 (1)a b c    . 
 Phương trình (1) có nghiệm 1 2 1 2; ( )    thì số hạng tổng quát có dạng : 
1 1 2 2. .
n n
nx c c   . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2. 
 Phương trình (1) có nghiệm 1 2    thì số hạng tổng quát có dạng : 
1 2( ).
n
nx c nc   . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2. 
Thí dụ 1: Cho dãy {xn} : 
0 1
2 1
2; 5.
5 6 , .n n n
x x
x x x n 
 

    
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 25 6 0 2 3.          
Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2.2 .3
n n
nx c c  . 
Từ 0 1 2 1
1 2 21
2 2 1
. 2 3
2 3 5 15
n n
n
x c c c
Suy ra x
c c cx
     
     
    
. 
Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 
0 1
2 1
3; 10.
4 4 , .n n n
x x
x x x n 
 

    
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1,24 4 0 2.       
Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2( ).2
n
nx c nc  . 
Từ 0 2 1
1 2 21
3 3 2
. (2 3).2
2( ) 10 310
n
n
x c c
Suy ra x n
c c cx
    
     
    
. 
Dạng 2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực. 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
;
0 ,n n n
x x
ax bx cx n 


     
. Tìm CTTQ của xn . 
Xét phương trình đặc trưng 2 0 (2)a b c    . Ta có phương trình (2) không tồn tại 
nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : 1 2( os +c sin )
n
nx r c c n n  . 
Trong đó 2 2
B
; arctan
A
r A B    với ;
2 2
b
A B
a a

   . 
Từ hai giá trị x0 và x1 ta tìm được c1 và c2. 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0 1
2 1
1 ; 3 3 1
2 16 , .n n n
x x
x x x n 
   

    
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 22 16 0 2 16 12 0co          . 
Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực. 
Đặt 1 ; 3
2 2
b
A B
a a

     và 2 2
B
2 ; arctan
A 3
r A B

     . 
Khi đó số hạng tổng quát của xn có dạng : 1 2
n
2 os sin .
3 3
n
n
n
x c c c
  
  
 
Từ 
1
0 1
1 2
21
1
1 1 n
. 2 os 3sin3
2 3 3 1 3 3 33 3 1
2 2
n
n
c
x c n
Suy ra x cc c
cx
 

   
        
          
 
. 
Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
;
,n n n
x x
ax bx cx d n 


     
. Tìm CTTQ của xn. 
Gọi *nx là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng 
*
nx được xác định như sau: 
*
*
*
0
0 ; 2 0
2
( 1) 0 ; 2 0.
2
n
n
n
d
x khi a b c
a b c
dn
x khi a b c a b
a b
d
x n n khi a b c a b
a

     

      
 

       

. 
Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp 
trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của xn. 
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
4 ; 1
2 5 2 3 ,n n n
x x
x x x n 
  

     
. Tìm CTTQ của xn. 
Xét phương trình đặc trưng : 2 1 2
1
2 5 2 0 2 .
2
          
Do a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình *
3
3
2 5 2
n
d
x
a b c
   
   
. 
Số hạng tổng quát của dãy số : 1 2
1
.2 . 3
2
n
n n
x c c   . 
Từ 
1 2
0 1
22
21 1
3 4
4 3 1
. 3.2 3
41 22 3 1
2
n
n n
c c
x c
Suy ra xc
cx c

   
   
      
      
 . 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
89
5;
5
7 6 11,n n n
x x
x x x n 

 

      
. Tìm số hạng tổng quát xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 27 6 0 1 6.          
Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng *
11 11
2 2 7 5
n
dn n
x n
a b
   
 
. 
Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2
11
.6 , .
5
n
nx c c n n     
Từ 
0 1 2
1
21 21
5 5
2 11
. 2 3.611 8989
3 56
5 55
n
n
x c c
c
Suy ra x n
cc cx
   
 
      
    

 . 
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 
0 1
2 1
3; 2
2 6 ,n n n
x x
x x x n 
 

     
. Xác định công thức tổng quát xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1,22 1 0 1.       
Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng * ( 1) 3 ( 1).
2
n
d
x n n n n
a
    
Số hạng tổng quát của dãy là : 1 2 3 ( 1) ,nx c nc n n n      . 
Từ 0 2 1 2
1 2 21
3 3 1
. 3 4 3 , .
2 32
n
x c c
Suy ra x n n n
c c cx
     
        
    
 
Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
;
, .nn n n
x x
ax bx cx dq n 


     
. Xác định CTTQ của xn. 
Gọi *nx là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác 
đinh như sau : 
*
1 22
1
*
1 2
* 2
1 2
.
.
2
( 1) . .
2
n
n
n
n
n
n
dq
x khi q q
aq bq c
ndq
x khi q q
aq b
d
x n n q khi q
a
 
 
 



   
 

   


   

. 
Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức xn. 
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
2 ; 5
8 15 3.4 ,nn n n
x x
x x x n 
 

     
. Lập công thức tính xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 1 28 15 0 3 5.          
Ta có 1 2q q    nên nghiệm riêng của phương trình 
*
2
3.4
3.4
16 32 15
n n
n
n
dq
x
aq bq c
   
   
. 
Số hạng tổng quát của dãy là : 1 2.3 .5 3.4 ,
n n n
nx c c n     . 
Từ 0 1 2 1
1 2 21
2 3 2 4
. 4.3 5 3.4 , .
3 5 12 5 15
n n n
n
x c c c
Suy ra x n
c c cx
      
        
     
 
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
8 ; 5.
11 28 6.7 , .nn n n
x x
x x x n 
 

     
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 211 28 0 4 7.          
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Ta có: 
2q  nên nghiệm riêng của phương trình 
1 1
* 16 .7 2 .7 .
2 2.1.7 11
n n
n
n
ndq n
x n
aq b
 
  
 
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 11 2.4 .7 2 .7
n n n
nx c c n
   . 
Từ 0 1 2 1 1
21 1 2
8 10
. 10.4 2.7 2 .7 , .
24 7 2 28
n n n
n
x c c c
Suy ra x n n
cx c c

    
      
     
 
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 
0 1
2 1
4 ; 5.
10 25 2.( 5) , .nn n n
x x
x x x n 
  

      
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 210 25 0 5          . 
Ta có 1 2q    nên nghiệm riêng của phương trình 
* 2 2( 1) . ( 1).( 5)
2
n n
n
d
x n n q n n
a
      . 
Số hạng tổng quát của dãy :  1 2 .( 5) ( 1).( 5) , .
n n
nx c n c n n n        
Từ 
0 2 1 2
21 1 2
4 3
. ( 3 4).( 5) ( 1).( 5) ( 76 100).( 5) .
45( ) 5
n n n
n
x c c
Suy ra x n n n n n n
cx c c
    
              
     

Dạng 5: Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 
0 1
2 1
;
( ) , .n n n k
x x
ax bx cx P n n 


     
 với ( )kP n 
là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số. 
Nghiệm riêng *nx cua phương trình đượ xác định như sau: 
*
*
* 2
( ) 0.
( ) 0 2 0.
( ) 0 2 0.
n k
n k
n k
x Q n khi a b c
x nQ n khi a b c a b
x n Q n khi a b c a b
    

      

      
Xác định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên. 
Thí dụ : Cho dãy số {xn} : 
0 1
2 1
31 ; 60.
7 10 8 12 14, .nn n n
x x
x x x n n n 
 

       
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy : 2 1 27 10 0 2 5.          
Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình * 2nx an bn c   . Thay vào công thức 
truy hồi, tiến hành đồng nhất hệ số ta được : * 22 8 15nx n n   . 
Số hạng tổng quát của dãy : 21 2.2 .5 2 8 15.
n n
nx c c n n     
Từ 0 1 2 1 2
21 1 2
15 31 15
. 15.2 5 2 8 15, .
12 5 25 60
n n
n
x c c c
Suy ra x n n n
cx c c
     
        
    
 
Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {xn} : 
0 1
2 1
;
( ). , .nn n n k
x x
ax bx cx P n n 


     
.Tìm CTTQ xn. 
Nghiệm riêng *nx của phương trình dạng này được xác định như sau : 
*
1 2
*
1 2
* 2
1 2
( ). .
. ( ). .
. ( ). .
n
n k
n
n k
n
n k
x Q n khi
x n Q n khi
x n Q n khi
    
    
   
    

   

  
 Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu xn. 
Thí dụ: Cho dãy {xn} : 
0 1
2
2 1
5; 18.
6 9 2(3 1).3 , .nn n n
x x
x x x n n 
 

      
. Xác định công thức xn. 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2
1 26 9 0 3.         
Ta có 
1 2    nên nghiệm riêng của pt  
* 2 .3nnx n an b  . Thay 
*
nx vào công thức truy hồi, 
rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được  * 3 22 .3nnx n n  . 
Số hạng tổng quát của dãy là 3 21 2( ).3 ( 2 ).3 , .
n n
nx c n c n n n      
Từ  0 2 1 3 2 3 2
21 1 2
5 2
. (2 5).3 ( 2 ).3 2 2 5 .3
53( ) 3 18
n n n
n
x c c
Suy ra x n n n n n n
cx c c
   
         
    
. 
Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {xn} : 
0 1
2 1
; .
. osn + sinn , n .n n n
x x
ax bx cx c    


     
. Xác định số hạng tổng quát của dãy trên. 
Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng : * osn +Bsinnnx Ac   . 
Thay *
nx vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B. 
Thí dụ: Cho dãy {xn} : được xác định bởi : 
 
0 1
2 1
4 ; 4 2
n
3 2 3 3 2 . os sin , .
4 4
n n n
x x
n
x x x c n
 
 
     


      


. Tìm số hạng tổng quát của dãy. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 1 23 2 0 1 2.          
Nghiệm riêng của phương trình có dạng : *
n
os sin
4 4
n
n
x Ac B
 
  . Thay vào công thức truy 
hồi, ta được : 
(n+2) ( 2) (n+1) ( 1) n
os sin 3 os sin 2 os sin
4 4 4 4 4 4
n n n
Ac B Ac B Ac B
           
          
     
   n3 3 2 . os sin
4 4
n
c
 
  . 
Phân tích vế trái và rút gọn ta được : 
 3 3 n 3 3 n2 . os 2 .sin 3 3 2 os sin .
4 4 4 42 2 2 2
A B A B n n
B A c A B c
      
             
   
Đồng nhất hệ số, ta được : *
3 3
2 3 3 2
1 n2 2
os sin
3 3 1 4 4
2 1
2 2
n
A B
B A
A n
x c
A B B
A A
 

     
    
    

. 
Số hạng tổng quát của dãy : 1 2
n
.2 os sin .
4 4
n
n
n
x c c c
 
    
Từ 
0 1 2 1
21 1 2
1 4 6 n
. 2 6 os sin , .
1 4 42 2 4 2
n
n
x c c c n
Suy ra x c n
cx c c
       
       
      
 
Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} : 
0 1
2 1 1 2
;
... (1) , .n n n n n nk
x x
ax bx cx d d d n 


        
Trong đó nid là một trong các dạng sau : hắng số d, .
nd , ( )kP n , . ( )
n
kP n , .... 
Khi đó ta gọi *inx là nghiệm riêng của phương trình 2 1n n n niax bx cx d    . 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Nghiệm riêng của (1) được xác định là * *
1
k
i
n n
i
x x

 . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng 
quát như các thí dụ đã cho. 
III-Phƣơng trình sai phân bậc ba: 
Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất : 
Dạng 1: Cho dãy {xn} : 
0 1 2
3 2 1
; ;
0 .n n n n
x x x
ax bx cx dx n  


      
. Xác định số hạng tổng quát 
xn của dãy số. 
Xét phương trình đặc trưng 3 2 0a b c d      . Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 
1 2 3; va   . Khi đó số hạng của dãy được xác định là : 1 1 2 2 3 3. . .
n n n
nx c c c     . 
Từ các giá trị 0 1 2; ;x x x ta xác định được các giá trị 1 2 3;c c va c . 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 
0 1 2
3 2 1
1; 5 ; 8.
6 11 6 0 .n n n n
x x x
x x x x n  
  

      
. Tìm CTTQ của xn . 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 3 2 1 2 36 11 6 0 1 ; 2 ; 3.             
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 1 2 3.2 .3
n n
nx c c c   . 
Từ 
1
0 1 2 3
1 1 2 3 2
2 1 2 3
3
11
1 2
11 5
2 3 5 9 . 9.2 .3 .
2 2
54 9 8
2
n n
n
c
x c c c
x c c c c Suy ra x n
x c c c
c

    

            
       

 
Dạng 2: : Cho dãy {xn} : 
0 1 2
3 2 1
; ;
0 .n n n n
x x x
ax bx cx dx n  


      
. Xác định số hạng tổng 
quát xn của dãy số. 
Xét phương trình đặc trưng 3 2 0a b c d      có hai nghiệm phân biệt 1 2 3va     . 
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :  1 1 2 3. .
n n
nx c c n c    . 
Từ các giá trị 0 1 2; ;x x x ta xác định được các giá trị 1 2 3;c c va c . 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 
0 1 2
3 2 1
5; 11 ; 16
11 32 28 0 , .n n n n
x x x
x x x x n  
  

      
. Tìm CTTQ của dãy. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng 3 2 1 2 311 32 28 0 7 2.              
Số hạng tổng quát của dãy có dạng :  1 2 3.7 .2
n n
nx c c n c   
Từ 
1
0 1 3
1 1 2 3 2
2 1 2 3
3
6
355
13 6 13 181
7 2 2 11 . .7 .2 , .
14 35 14 35
49 4 4 16
181
35
n n
n
c
x c c
x c c c c Suy ra x n n
x c c c
c

 
   
   
              
      


 
Dạng 3: Cho dãy {xn} : 
0 1 2
3 2 1
; ;
0 .n n n n
x x x
ax bx cx dx n  


      
. Xác định số hạng tổng quát 
xn của dãy số. 
Xét phương trình đặc trưng 3 2 0a b c d      có 1 nghiệm kép 1 2 3      . Khi đó 
công thức nghiệm tổng quát có dạng :  21 2 3 . nnx c n c n c    . 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
Từ các giá trị 
0 1 2; ;x x x ta xác định được các giá trị 1 2 3;c c va c . 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 
0 1 2
3 2 1
3 ; 2 ; 8
3 3 0 , .n n n n
x x x
x x x x n  
  

      
. Xác định số hạng tổng 
quát của dãy. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 3 2 1 2 33 3 1 0 1             . 
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 21 2 3nx c n c n c   . 
Từ 
1
0 3
2
1 1 2 3 2
2 1 2 3
3
7
23
9 7 9
2 . 3, .
2 2 2
4 2 8
3
n
c
x c
x c c c c Suy ra x n n n
x c c c
c


  
 
            
     


 
Dạng 4: Cho dãy {xn} : 
0 1 2
3 2 1
; ;
0 .n n n n
x x x
ax bx cx dx n  


      
. Xác định số hạng tổng quát 
xn của dãy số. 
Xét phương trình đặc trưng 3 2 0a b c d      có 1 nghiệm thực  và hai nghiệm phức. 
Khi đó số hạng tổng quát của phương trình có dạng : 1 2 3. . osn +c .sin
n
nx c c c n    . 
Từ các giá trị 0 1 2; ;x x x ta xác định được các giá trị 1 2 3;c c va c . 
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0 1 2
3 2 1
3; 4 3 ; 8 3.
5 22 48 0 , .n n n n
x x x
x x x x n  
     

      
. Tìm CTTQ của xn. 
Giải: Xét phương trình đặc trưng   3 2 25 22 48 0 3 2 16 0              
 2
3
2 16 0 VN

 

 
  
. Phương trình sai phân bậc hai 2 2 16 0    không có nghiệm 
thực nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng 
quát là ' 2 3
n
. os sin
3 3
n
n
x c c c
 
  . Vậy số hạng tổng quát 1 2 3
n
.3 . os .sin
3 3
n
n
n
x c c c c
 
   . 
Từ 
0 1 2
1
32
1 1 2
3
32
2 1
3
1
3 n
3 4 3 2 . 3 2 os sin , .
2 2 3 3
2
3
9 8 3
2 2
n
n
x c c
c
cc n
x c c Suy ra x c n
c
cc
x c
 

  

   
              
   
    

 
 Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất. 
Cho dãy số dạng {xn} : 
0 1 2
3 2 1
; ;
, .n n n n n
x x x
ax bx cx dx d n  


      
. 
Trong đó nd có thể là hăng số, 
nm , đa thức bậc k theo n ( )kP n , .... 
Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên. 
IV-Phƣơng trình sai phân bậc cao. 
Dạng 1: Phương trình thuần nhất : 0 1 1 ...... 0n k n k k na x a x a x      . 
Xét phương trình đặc trưng : 10 1 .............. 0
k k
ka a a 
    . 
TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng : 
 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 
1 1 2 2 3 3
1
. . . ........... . .
k
n n n n n
n k k i i
i
x c c c c c    

      . 
TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi 
đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : 
1
1
0 1
. . .
s k
p n n
n p i i
p i s
x c n c 


  
 
  
 
  . 
TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức :  os +isinjx A Bi r