Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học và hình học

Daïng : Tìm soá toå hôïp trong caùc baøi toaùn soá hoïc
Cho 10 caâu hoûi, trong ñoù coù 4 caâu lyù thuyeát vaø 6 baøi taäp. Ngöôøi ta caáu taïo thaønh caùc ñeà thi. Bieát raèng trong moãi ñeà thi phaûi goàm 3 caâu hoûi, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù ít nhaát 1 caâu lyù thuyeát vaø 1 baøi taäp. Hoûi coù theå taïo ra bao nhieâu ñeà thi?
	ÑS: 	· Ñeà goàm 2 caâu lyù thuyeát vaø 1 baøi taäp:	
	· Ñeà goàm 1 caâu lyù thuyeát vaø 2 baøi taäp:	
	Vaäy coù: 36 + 60 = 96 ñeà thi.
Moät lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh, trong ñoù goàm 25 nam vaø 15 nöõ. Giaùo vieân chuû nhieäm muoán choïn moät ban caùn söï lôùp goàm 4 em. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn, neáu:
	a) Goàm 4 hoïc sinh tuyø yù.	b) Coù 1 nam vaø 3 nöõ.	c) Coù 2 nam vaø 2 nöõ.	
	d) Coù ít nhaát 1 nam.	e) Coù ít nhaát 1 nam vaø 1 nöõ.
	ÑS: a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 
Cho 5 ñieåm trong maët phaúng vaø khoâng coù 3 ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu vectô taïo thaønh töø 5 ñieåm aáy? Coù bao nhieâu ñoaïn thaúng taïo thaønh töø 5 ñieåm aáy?
	ÑS: 20 ; 10.
Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö cuõng khaùc nhau. Ngöôøi ta muoán choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö vaø daùn 3 tem thö aáy leân 3 bì thö ñaõ choïn. Moät bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy?
	ÑS: 1200.
Moät tuùi chöùa 6 vieân bi traéng vaø 5 vieân bi xanh. Laáy ra 4 vieân bi töø tuùi ñoù, coù bao nhieâu caùch laáy ñöôïc:
 	a/ 4 vieân bi cuøng maøu? 	b/ 2 vieân bi traéng, 2 vieân bi xanh?
	ÑS: a/ 20.	b/ 150.
Töø 20 ngöôøi, choïn ra moät ñoaøn ñaïi bieåu goàm 1 tröôûng ñoaøn, 1 phoù ñoaøn, 1 thö kyù vaø 3 uûy vieân. Hoûi coù maáy caùch choïn?
	ÑS: 4651200.
Töø 5 boâng hoàng vaøng, 3 boâng hoàng traéng vaø 4 boâng hoàng ñoû (caùc boâng hoa xem nhö ñoâi moät khaùc nhau), ngöôøi ta muoán choïn ra moät boù hoùa goàm 7 boâng, hoûi coù bao nhieâu caùch choïn boù hoa trong ñoù:
 	a/ Coù ñuùng 1 boâng hoàng ñoû?
 	b/ Coù ít nhaát 3 boâng hoàng vaøng vaø ít nhaát 3 boâng hoàng ñoû?
	ÑS: a/ 112	b/ 150.
Töø 8 soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 10 chöõ soá ñöôïc choïn töø 8 chöõ soá treân, trong ñoù chöõ soá 6 coù maët ñuùng 3 laàn, chöõ soá khaùc coù maët ñuùng 1 laàn.
	ÑS: 544320.	(HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Töø taäp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá:
 	a/ Chaün goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät vaø chöõ soá ñöùng ñaàu laø chöõ soá 2?
 	b/ Goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät sao cho 5 chöõ soá ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá chaün vaø 2 chöõ soá leû?
	ÑS: a/ 360.	b/ 2448.	(ÑH Caàn Thô, 2001)
a/ Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau (chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc 0), trong ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâng coù chöõ soá 1).
 	b/ Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá, bieát raèng chöõ soá 2 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá coøn laïi coù maët khoâng quaù moät laàn.
	ÑS: a/ 33600	b/ 11340.	(ÑH QG, Tp.HCM, 2001)
Ngöôøi ta vieát caùc soá coù 6 chöõ soá baèng caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 nhö sau: Trong moãi soá ñöôïc vieát coù moät chöõ soá xuaát hieän hai laàn coøn caùc chöõ soá coøn laïi xuaát hieän moät laàn. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö vaäy?
	ÑS: 1800.	(ÑH Sö phaïm Vinh, 1998)
Töø moät taäp theå 14 ngöôøi goàm 6 naêm vaø 8 nöõ trong ñoù coù An vaø Bình, ngöôøi ta muoán choïn moät toå coâng taùc goàm coù 6 ngöôøi. Tìm soá caùch choïn trong moãi tröôøng hôïp sau:
 	a/ Trong toå phaûi coù caû nam laãn nöõ?
 	b/ Trong toå coù 1 toå tröôûng, 5 toå vieân hôn nöõa An vaø Bình khoâng ñoàng thôøi coù maët trong toå?
	ÑS: a/ 2974.	b/ 15048.	(ÑH Kinh teá, Tp.HCM, 2001)
Moät ñoaøn taøu coù 3 toa chôû khaùc. Toa I, II, III. Treân saân ga coù 4 khaùch chuaån bò ñi taøu. Bieát moãi toa coù ít nhaát 4 choã troáng. Hoûi:
 	a/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho 4 vò khaùch leân 3 toa.
 	b/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho 4 vò khaùch leân taøu coù 1 toa coù 3 trong 4 vò khaùch noùi treân.
	ÑS: a/ 99.	b/ 24.	(ÑH Luaät Haø Noäi, 1999)
Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia soá hoïc sinh ñoù thaønh hai toå, moãi toå 8 hoïc sinh sao cho moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø moãi toå coù ít nhaát hai hoïc sinh khaù.
	ÑS: 3780.	(HVKT Quaân söï, 2001)
Daïng : Tìm soá toå hôïp trong caùc baøi toaùn hình hoïc
Trong maët phaúng cho n ñöôøng thaúng caét nhau töøng ñoâi moät, nhöng khoâng coù 3 ñöôøng naøo ñoàng quy. Hoûi coù bao nhieâu giao ñieåm? Coù bao nhieâu tam giaùc ñöôïc taïo thaønh?
	ÑS: 	· Soá giao ñieåm:	
	· Soá tam giaùc:	
Cho 10 ñieåm trong khoâng gian, trong ñoù khoâng coù 3 ñieåm naøo thaúng haøng.
	a) Coù bao nhieâu ñöôøng thaúng ñi qua töøng caëp ñieåm?
	b) Coù bao nhieâu vectô noái töøng caëp ñieåm?
	c) Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñænh laø 3 trong 10 ñieåm treân?
	d) Neáu trong 10 ñieåm treân khoâng coù 4 ñieåm naøo ñoàng phaúng, thì coù bao nhieâu töù dieän ñöôïc taïo thaønh?
	ÑS: a) 	b) 	c) 	d) 
Cho ña giaùc loài coù n caïnh (n ³ 4)
	a) Tìm n ñeå ña giaùc coù soá ñöôøng cheùo baèng soá caïnh?
	b) Giaû söû 3 ñöôøng cheùo cuøng ñi qua 1 ñænh thì khoâng ñoàng qui. Haõy tính soá giao ñieåm (khoâng phaûi laø ñænh) cuûa caùc ñöôøng cheùo aáy?
	ÑS: a) Û n = 5
	b) Giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo cuûa 1 ña giaùc loài (khoâng phaûi laø ñænh) chính laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo moät töù giaùc maø 4 ñænh cuûa noù laø 4 ñænh cuûa ña giaùc. Vaäy soá giao ñieåm phaûi tìm baèng soá töù giaùc vôùi 4 ñænh thuoäc n ñænh cuûa ña giaùc: 
Cho moät ña giaùc loài coù n-caïnh .
 	a/ Tìm soá ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc. Haõy chæ ra 1 ña giaùc coù soá caïnh baèng soá ñöôøng cheùo?
 	b/ Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñænh truøng vôùi ñænh cuûa ña giaùc?
 	c/ Coù bao nhieâu giao ñieåm giöõa caùc ñöôøng cheùo?
	ÑS: a/ 	 b/ 	 c/ . 
Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa:
 	a/ 10 ñöôøng thaúng phaân bieät? 	b/ 10 ñöôøng troøn phaân bieät?
 	c/ 10 ñöôøng thaúng vaø 10 ñöôøng troøn treân?
	ÑS: a/ 45.	b/ 90.	c/ 335.
Cho hai ñöôøng thaúng song song (d1), (d2). Treân (d1) laáy 17 ñieåm phaân bieät, treân (d2) laáy 20 ñieåm phaân bieät. Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ choïn treân (d1) vaø (d2).
	ÑS: 5950.	(ÑH SP Quy Nhôn, 1997)
Cho maët phaúng cho ña giaùc ñeàu H coù 20 caïnh. Xeùt caùc tam giaùc coù ba ñænh ñöôïc laáy töø caùc ñænh cuûa H.
 	a/ Coù taát caû bao nhieâu tam giaùc nhö vaäy? Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñuùng hai caïnh laø caïnh cuûa H?
 	b/ Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñuùng moät caïnh laø caïnh cuûa H? Coù bao nhieâu tam giaùc khoâng coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H?
	ÑS: a/ 1140; 20.	 	b/ 320 ; 80.	(HVNH, 2000, khoái D)
Coù 10 ñieåm A, B, C, ... treân maët phaúng trong ñoù khoâng coù 3 ñieåm naøo thaúng haøng.
 	a/ Noái chuùng laïi ta ñöôïc bao nhieâu ñöôøng thaúng? Trong ñoù coù bao nhieâu ñöôøng khoâng ñi qua A hay B?
 	b/ Coù bao nhieâu tam giaùc ñænh bôûi caùc ñieåm treân? Bao nhieâu tam giaùc chöùa ñieåm A? Bao nhieâu tam giaùc chöùa caïnh AB?
	ÑS: a/ 45; 28.	b/ 120 ; 36 ; 8.
Coù p ñieåm trong maët phaúng trong ñoù coù q ñieåm thaúng haøng, soá coøn laïi khoâng coù 3 ñieåm naøo thaúng haøng. Noái p ñieåm ñoù laïi vôùi nhau. Hoûi:
 	a/ Coù bao nhieâu ñöôøng thaúng?	b/ Chuùng taïo ra bao nhieâu tam giaùc?
	ÑS: a/ .	b/ .
Cho p ñieåm trong khoâng gian trong ñoù coù q ñieåm ñoàng phaúng, soá coøn laïi khoâng coù 4 ñieåm naøo ñoàng phaúng. Döïng taát caû caùc maët phaúng chöùa 3 trong p ñieåm ñoù. Hoûi:
 	a/ Coù bao nhieâu maët phaúng khaùc nhau?	b/ Chuùng taïo ra bao nhieâu töù dieän?
	ÑS: a/ b/ 
Cho p ñieåm trong ñoù coù q ñieåm cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn, ngoaøi ra khoâng coù 4 ñieåm naøo ñoàng phaúng. Hoûi coù bao nhieâu:
 	a/ Ñöôøng troøn, moãi ñöôøng ñi qua ba ñieåm?
 	b/ Töù dieän vôùi caùc ñænh thuoäc p ñieåm ñoù?
	ÑS: a/ b/ 
Tổng hợp C¸c bµi tËp vÒ phÐp ®Õm cã liªn quan ®Õn ho¸n vÞ, tæ hîp, chØnh hîp
Bµi 6. Cã 6 phong b× th­ kh¸c nhau vµ 5 tem th­ kh¸c nhau. Ng­êi ta chän vµ d¸n 3 tem lªn 3 b× th­, mçi b× th­ gi¸n mét tem. Hái cã bao nhiªu c¸ch lµm? §S: 1200.
Bµi 7(§H K D - 2004).Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u hái khã, 10 c©u hái trung b×nh, 15 c©u hái dÔ. Tõ 30 c©u hëi ®ã cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra, mçi ®Ò gåm 5 c©u hái kh¸c nhau, sao cho trong mçi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã ®ñ 3 lo¹i c©u hái vµ sè c©u hái dÔ kh«ng Ýt h¬n 2. §S: 56.875 c¸ch. 
Bµi 8 (§H K B - 2005). Mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn cã 15 ng­êi gåm 12 nam vµ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch ph©n c«ng ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn ®ã vÒ gióp ®ì 3 tØnh miÒn nói, sao cho mçi tØnh cã 4 nam vµ 1 n÷.	§S: 
Bµi 9. (§H K D- 2006). §éi thanh niªn xung kÝch cña mét tr­êng phæ th«ng cã 12 häc sinh gåm 5 häc sinh líp T, 4 häc sinh líp L, vµ 3 häc sinh líp H. CÇn chän 4 häc sinh ®i lµm nhiÖm vô, sao cho 4 häc sinh thuéc kh«ng qu¸ 2 trong ba líp trªn. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy? §S: 225 c¸ch 
Bµi 11. Cã 6 qu¶ cÇu xanh ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 6, 5 qu¶ cÇu ®á ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 5 vµ 4 qu¶ cÇu vµng ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 4. Hái cã bao nhiªu c¸ch lÊy ra 3 qu¶ cÇu võa kh¸c mµu võa kh¸c sè? §S: 64 c¸ch
Bµi 12. Cã bao nhiªu c¸ch ph©n phèi 5 ®å vËt kh¸c nhau cho 3 ng­êi, sao cho mçi ng­êi nhËn ®­îc Ýt nhÊt 1 ®å vËt.	 §S: 150 c¸ch
Bµi 13. Trong mét chi ®oµn cã 7 nam sinh vµ 4 n÷ sinh ­u tó (trong ®ã cã mét nam sinh tªn lµ C­êng, vµ mét n÷ sinh tªn Hoa). CÇn lËp mét ban c¸n sù líp tõ 11 ®oµn viªn ®ã, gåm 6 nguêi víi yªu cÇu cã Ýt nhÊt 2 n÷ ngoµi ra kh«ng cã mÆt ®ång thêi c¶ Hoa vµ C­êng. Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp?	§S: 260 c¸ch.
Bµi 14. Cho h×nh thËp gi¸c ®Òu. 
Hái cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu tam gi¸c cã ®Ønh lµ ®Ønh cña thËp gi¸c, nh­ng c¹nh cña tam gi¸c kh«ng lµ c¹nh nµo cña thËp gi¸c ®ã?	 §S: 50 tam gi¸c
Hái cã nhiªu h×nh ch÷ nhËt cã ®Ønh lµ ®Ønh cña thËp gi¸c ®ã ? §S: 10 
Bµi 15. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã cã ®óng hai ch÷ sè lÎ vµ hai ch÷ sè ®ã ®øng c¹nh nhau. 	 §S: 360 sè
Bµi 16. Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 6 ghÕ. Ng­êi ta muèn xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh tr­êng A vµ 6 häc sinh tr­êng B vµo bµn nãi trªn, Hái cã bao nhiªu c¸nh xÕp trong mçi tr­êng hîp sau:
BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ngåi ®èi diÖn nhau th× kh¸c tr­êng.
BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau th× kh¸c tr­êng.
§S: 1) 2.6!.6! 	2) 12.10.8.6.4.2.6!
Bài 17 ( chän vÞ trÝ). Cho tËp hîp A = { 1; 2; 3; 4; 5} Tõ tËp A lËp ®­îc bao nhiªu sè: 
Cã 6 ch÷ sè sao cho trong mçi sè ®ã sè 1 xuÊt hiÖn ®óng hai lÇn, c¸c ch÷ sè kh¸c xuÊt hiÖn ®óng mét lÇn?
Cã 7 ch÷ sè sao cho trong mçi sè ®ã ch÷ sè 1 xuÊt hiÖn hai lÇn, sè 2 xuÊt hiÖn ba lÇn cßn c¸c sè kh¸c xuÊt hiÖn kh«ng qu¸ 1 lÇn? §S: a) 360; b) 1260.
Bµi 18 ( chia tr­êng hîp). §éi «n thi HSG cã 12 häc sinh, gåm 5 häc sinh líp A1, 4 häc sinh líp A2, 3 häc sinh líp A3. CÇn chän 4 häc sinh ®i dù thi HSG cÊp thµnh phè, sao cho mçi líp cã Ýt nhÊt mét häc sinh. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän biÕt kh¶ n»ng mçi häc sinh lµ nh­ nhau? 	 §S: 270.
Bµi 19 (t¹o v¸ch ng¨n). Cã 6 häc sinh nam vµ 2 häc sinh n÷ ®­îc xÕp thµnh mét hµng ngang. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp sao cho hai häc sinh n÷ kh«ng ®øng c¹nh nhau? 
 §S: 30240.
Bµi 20 ( buéc c¸c phÇn tö). Mét nhãm häc sinh gåm 4 häc sinh líp A1, 3 häc sinh líp A2, 5 häc sinh líp A3. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp c¸c häc sinh trªn thµnh mét hµng ngang, sao cho 5 häc sinh líp A3 ®øng c¹nh nhau? §S: 8!.5!.
Bµi 21 ( xÕp bµn trßn). Cã bao nhiªu c¸c xÕp 5 häc sinh nam vµ 3 häc sinh n÷ ngåi quanh mét bµn trßn sao cho kh«ng cã hai häc sinh n÷ nµo c¹nh nhau? §S: 1440. 
Bµi 22. Trong mÆt ph¼ng cho 10 ®iÓm ph©n biÖt. Hái cã bao nhiªu tam gi¸c cã ba ®Ønh lµ ba trong 10 ®iÓm ®· cho. BiÕt:
10 ®iÓm kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng.
Trong 10 ®iÓm cã ®óng 5 ®iÓm th¼ng hµng.
Bµi 23. Cho tËp X = {1, 2, 3, 4, 5}. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n cã 5 ch÷ sè lËp ®­îc tõ X. TÝnh tæng c¸c sè nµy. 
Bµi 24. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 8 ch÷ sè, trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt ba lÇn, mçi ch÷ sè kh¸c cã mÆt ®óng mét lÇn? §S: 5880 sè.
Bµi 25. T×m sè c¸c nghiÖm nguyªn d­¬ng (x, y, z) cña ph­¬ng tr×nh: 
 x + y + z = 10.